13.1 Fourierrekker-Oppsummering

Transkript

1 3. Fourierrekker-Oppsummering Fourierrekken til en periodisk funksjon f med periode = L er gitt ved F f (x) = a + a n cos(nωx) + b n sin(nωx) der x D (konvergensområdet) a = / / f(x) dx = L b n = f(x) dx, / / a n = / f(x) sin(nωx) dx = L / f(x) cos(nωx) dx = L f(x) sin(nωx) dx f(x) cos(nωx) dx der ω = π/ og n =,,,... Ved å bruke L =, kan vi forenkle integralene: a = f(x) dx, a n = f(x) cos(nωx) dx L L b n = L f(x) sin(nωx) dx Dersom grafen til f er symmetrisk om y-aksen (jamn funksjon), er b n = og a = / f(x) sin( πnx ) dx = L F f (x) = a + f(x) dx, a n = 4 a n cos( L x) / f(x) cos( πnx ) dx = L f(x) cos( L x) dx Dersom grafen til f er symmetrisk om origo ( funksjon), er a = a n = og b n = 4 / f(x) sin( πnx ) dx = L F f (x) = b n sin( L x) f(x) sin( L x) dx, Konvergensteorem for fourierrekker Hvis en periodisk funksjon f(x) med periode og er stykkvis kontinuelig på intervallet / x / og har venstrederivert og høyrederivert i hvert punkt i intervallet. Da gjelder: a) fourierrekken til f(x) er konvergent, b) dens sum er lik f(x ) for alle x = x bortsett fra i sprangene til f(x). c) I sprangene (x = x ) er summen gjennomsnittet av høyre og venstre grenseverdi til f(x), det vil si ( [f(x ) + (f(x+ )]), 3. Fourierrekker-Oppsummering 4. februar 6 Side

2 3. Kontrollspørsmål(refleksjon over definisjoner og teorier) Oppgave 3..: Kryss av foran rett svar (a, b, c eller d): En funksjon y = f(x) kan ha fourierrekker dersom f er: (a) Periodisk (b) Kontinuerlig (c) Stykkevis konintuerlig (d) Periodisk og stykkevis kontinuerlig Oppgave 3..: En funksjon er -periodisk funksjon. (a) Perioden er /. (b) f tilfredsstiller: f(x + ) = f(t) (c) f tilfredsstiller: f(x + ) = f(t) (d) f tilfredsstiller: f(x + π) = f(t) Oppgave 3..3: Fourier-rekken for en -periodisk jamn funksjon(ω = π (a) a + a n cos(nωt) + b n sin(nωt) (b) a + a n cos(nωt) (c) b n sin(nωt) (d) a + b n sin(nωt) ) kan skrives som: Oppgave 3..4: Fourier-rekken for en -periodisk odd funksjon(ω = π ) kan skrives som: (a) a + a n cos(nωt) + b n sin(nωt) (b) a + a n cos(nωt) (c) b n sin(nωt) (d) a + b n sin(nωt) x + når < x Oppgave 3..5: Gitt den periodiske funksjonen f(x) = x når < x f(x + 4) Hva konvergerer fourierekken mot i x =? (a) s() = [f( ) + (f( + )] = (b) s() = f() (c) s() = f( + ) = (d) Ikke definert. x når π < x π Oppgave 3..6: Gitt den periodiske funksjonen f(x) = x π når < x π f(x + π) Bestem middelverdien til funksjoner over et intervall med lengden like stor som perioden. 3. Kontrollspørsmål(refleksjon over definisjoner og teorier) 4. februar 6 Side

3 3.3 Kontrolloppgaver(fordypning av metoder og teorier) Oppgave 3.3.: Gitt den periodiske funksjonen f(x) = x for x < ; f(x + 4) = f(x) i) Lag en skisse av grafen til f i intervallet 4 x 4. Angi perioden og regn ut f( ) og f(). Regn ut gjennomsnittsverdien til f(x). ii) Regn ut fourierkoeffisientene og vis at rekken blir ( ) n+ F f (x) = 4 sin(x) Oppgave 3.3.: Her er det gitt grafen til periodisk funksjon. 3 3 a) Sett opp funksjonsuttrykket (en oppdelt funksjon). Angi peridoen og eventuelle symmetri egenskaper. b) Regn ut funksjonensmiddelverdi over et intervall med periodens lengde. Hva konvergerer fourierrekken mot i x = og x =? Oppgave 3.3.3: Her er det tegnet grafen til tre priodiske funksjoner. a) Sett opp funksjonsuttrykket. Angi peridoen og eventuelle symmetri egenskaper. b) Sett opp fourierrekken. Hva konvergerer fourierrekken mot i x =? (i) 3 3 (ii) 3 3 (iii) Kontrolloppgaver(fordypning av metoder og teorier) 4. februar 6 Side 3

4 Oppgave 3.3.4: Gitt den periodiske funksjonen { x + når x f(x) = x når < x og f(x + 4) = f(x). a) Angi peridoen og eventuelle symmetri egenskaper. b) Sett opp fourierrekken. Angi middelverdien til funksjonen over en periode. Hva konvergerer fourierrekken mot i x =? 3.3 Kontrolloppgaver(fordypning av metoder og teorier) 4. februar 6 Side 4

5 Fasit Oppgave 3..: (d) er korrekt. Oppgave 3..: (b) er korrekt. Oppgave 3..3: (b) er korrekt. Oppgave 3..4: (c) er korrekt. Oppgave 3..5: f er ikke kontinuerlig i x =. f( ) = og f( + ) = : (a) s() = [f( ) + (f( + )] = Oppgave 3..6: Første ledd i fourierrekken er middelverdien f(x) = Her har vi en Jamn funksjon: a = π x π π dx = [ π Oppgave 3.3.: f(x)dx = a. π x ] π = i) 4 4 Grafen viser at f er en odde funksjon; den er symmetrisk om origo. f( ) = f( + 6 4) = f() = og f() = f( 5 4) = f() =. Gjennomsnittsverdien er første ledd i fourier-rekken og for en odde funksjon er dette lik. Det betyr at alle koeffisientar a og a n er lik, og b n -koeffisientane kan vi regne ut som b n = l l f(x) sin( l ) dx 4. februar 6 Side 5

6 der = 4 er periodelengden og l = =. Vi får altså koeffisientene b n = x sin( = 4( )n+ x) dx = 4 sin( x) n π x cos( x) Bemerk sin() = når n =,,,... og Fourierrekken er dermed Oppgave 3.3.: F f (x) = ( ) n+ b n sin(x) = 4 x når < x (a) f(x) = x når x < 3 f(x + 4)(Perioden er 4) = [ ( )] 4 cos() sin( x ) (b) Første ledd i fourierrekken er middelverdien f(x) = f(x)dx = a. a = ( ( x dx + ( x + ) dx)) = [ ] [ ( x + ] x + x = ) Fourierrekken konvergerer mot : F f () = f() = (f er kontinuerlig i x = ) Funksjonen er ikke kontinuerlig i x = og dermed: (f( ) + f( + )) = ( + ( )) =. Grenseverdiene i begge sider er like. Oppgave 3.3.3: (i) (a) f(x) = x, < x og Perioden er : f(x+) = f(x). Symmetri om origo. (b) F f (x) = b n sin(x) = ( ) n+ sin(x) Fourierrekken konvergerer mot : F f () = f() = (f er kontinuerlig i x = ) I formelarket som du får til eksamen, står det at du kan regne slik selv om funksjonen er kontinuerlig: (f( ) + f( + )) =. { x når x < (ii) (a) f(x) = og Perioden er : f(x+) = f(x). Symmetri om y-aksen(jamn x når < x funksjon: b n = ). (b) F f (x) = + 4 π cos((n )πx). (n ) F f () = (f( ) + f( + )) = (f er ikke kontinuerlig i x = (ikke definert i origo)). 3.3 Kontrolloppgaver(fordypning av metoder og teorier) 4. februar 6 Side 6

7 { når x < (iii) (a) f(x) = og Perioden er 4: f(x+) = f(x). Ingen symmetri egenskaper. når x < (b) F f (x) = )πx cos((n ). π n Oppgave 3.3.4: F f () = (f( ) + f( + )) = ( + ) =, 5 (f er ikke kontinuerlig i x = ) a) Perioden er 4: f(x + 4) = f(x). Grafen kan hjelpe oss å angi symmetri egenskaper. Symmetri om origo (odde) 4 4 b) b n = (x ) sin( x) dx = x sin( x) dx sin( x) dx [ ] 4 = n π sin( x [ x) cos( x) ] cos( x) [ ( )] [ 4 cos() = cos(x) + ] der vi har brukt at sin() = når n =,,,... : b n = ( + cos ) = ( + ( )n ) = () (n)π = Bemerk ( + ( ) n er lik hvis n er et odde tall og er lik når n er et partall. Fourierrekken er dermed F f (x) = b n sin(x) = π Middelverdien til f over en periode er f(x) = n sin( x) = π f(x)dx = a =. F f () = (f( ) + f( + )) = ( + ( )) = (f er ikke kontinuerlig i x = ). n sin(x) 3.3 Kontrolloppgaver(fordypning av metoder og teorier) 4. februar 6 Side 7