En innføring i Fourrierrekker

Transkript

1 En innføring i Fourrierrekker Matematiske metoder 2 Kristian Wråli, Sivert Ringstad, Mathias Hedberg 0 Innholdsfortegnelse Kapittel Side 1 Innledning Introduksjon Maple 2 2 Teori Introduksjon av teori Periodiske funksjoner Odde- og like-funksjoner Fourierrekker Fouriersinus- og Fouriercosinusrekker Parseval's teorem Komplekse Fourierrekker 28 3 Anvendelse Introduksjon Anvendelse Frekvensmodulasjon med et harmonisk båndsignal Bessel-funksjoner Carsons regel NRK P3 4 Kilder 42

2 1 Innledning 1.0 Introduksjon En tallfølge er en ordnet liste med tall i en mengde der hvert tall blir adskilt med et komma. Tallfølgen kan være uendelig lang, eller den kan slutte etter to tall, det er opp til matematikeren å definere hvor lang tallfølgen skal være. En rekke bygger videre på tallfølger og er summen av en tallfølge. Avhengig av tallfølgen som rekken er en sum av, kan vi dele rekker inn i to hovedpartisjoner: endelige og uendelige rekker. En endelig rekke, basert på summen av en endelig tallfølge, blir et tall vi kan finne ved å summere tallfølgen. En uendelig rekke, basert på summen av en uendelig tallfølge, må matematisk utledes. Dersom rekka har en endelig verdi, kalles rekken konvergent. Dersom rekken ikke har en endelig verdi kalles rekken divergent. Vi skal se på harmoniske rekker, nærmere bestemt Fourierrekker. Fourierrekker brukes til å uttrykke sammensatte svingninger som en sum av enkle svingninger. Fourierrekker er veldig sentrale i regning av signaler som feks radio og lydbølger. I denne rapporten skal vi se på frekvensmodulasjon (FM), vi vil derfor nytte oss av to andre viktige definisjoner, kjent som Bessel-funksjoner og Carsons regel. Vi begynner rapporten med en innføring i bruk av maple, så litt grunnleggende teori, og til slutt en anvendelse (FM). 1.1 Maple Deklarasjon Når vi skal deklarere en funksjon eller en variabel kan vi ikke bare skrive =, det vil ikke maple forstå som en deklarasjon, men heller en test. For å deklarere skriver vi :=. Dette gjør at variablen blir lagret med satt verdi. Eksempel ( ) 2 ( ) Dersom vi vil deklarere en funksjon må vi deklarere funksjonen som en variabel avhengig av en annen variabel. Dette gjør vi ved å nytte oss av nok et nytt tegn -, dette gjør at maple forstår deklarasjonen som en funksjon istedet for en variable. Siden vi også allerede har deklarert en variabel kan vi nå nytte oss av den i funksjonen. Eksempel 2 ( ) ( ) restart Før man skal starte med en rekke funksjoner, er det lurt å starte med funksjonen restart. Denne

3 funksjonen gjør så alle funksjoner ignorerer alle tidligere deklarasjoner. Eksempel. 2 y ( ) ( ) ( ) plot( ) Om vi ønsker å vise funksjonen grafisk. Kan vi bruke funksjonen plot(). I plot() kan vi inkludere flere funksjonsuttrykk ved hjelp av klammeparentes og komma {, }, vi kan begrense visningsvindu ved å oppgi grenser for x og y. Vi kan også legge til beskrivende tekst under grafen ved å skrive caption="", og skrive teksten mellom anførselstegnene. Eksempel. ( ) ( )

4 1.1.4 piecewise( ) Dersom vi ønsker å representere funksjonen med forskjellige funksjonsutrykk på forskjellige intervall, kan vi bruke piecewise(). Vi plotter funksjonsutrykkene ved å først oppgi intervallet og skille endene med "and", før vi deretter oppgir utrykket, prosessen repeteres for antall funskjonsutrykk. Eksempel.

5 1.1.5 int( ) & sum( ) For å ta et bestemt integral av en funksjon over et gitt intervall kan vi bruke både funksjonen int() eller vi kan bruke symbolet for bestemt integral fra "expression"-menyen. Vi trenger bare bruke funksjonen når symbolet ikke fungerer, symbolet for integral fungerer oftest, men kan feile ved bruk av variabler i grensene. Når vi skal ta en sum av ei rekke kan vi som med integral velge mellom symbolet fra "expression"-menyen, eller vi kan bruke funksjonen sum(). Vi trenger kun bruke sum() når symbolet ikke fungerer. Symbolet fungerer fint for de fleste rekker, inkludert Fourier, foruten om komplekse fourierrekker, da må vi bruke funksjonen sum(). Både int() og sum() tar funkjsonsutrykk som første argument etterfulgt av grensene som andre argument. Eksempel. ( )

6 ( ) ( ) evalf( ) & abs( ) Maple gir svar i brøk som standardformat, dette er fint for nøyaktige beregninger, men er ikke alltid like intuitivt. For å få ut svar i desimalform kan vi bruke funksjonen evalf(), med denne funksjonen kan vi angi antall siffer vi vil ha ut som gir brukeren muligheten til å alltid opprettholde rett antall gyldige siffer. Funksjonen tar lengden av desimaltallet som første argument i klammeparentes før funksjonsutrykket inne i en vanlgi parentes. Eksempel. ( ) Dersom vi ønsker å skrive absoluttverdien til en variabel eller funksjon, er vi nødt til å ta i bruk funksjonen abs(). abs() tar variablen eller funksjonsutrykket som eneste argument, og returnerer absoluttverdien. Eksempel ( ) ( ) 2 Teori

7 2.0 Introduksjon av teori Denne teoridelen inneholder informasjon om emnene som senere blir brukt under punktet anvendelse. Vi tar for oss temaene periodiske funksjoner, odde- og like-funksjoner, samt Fourierrekker av forskjellige typer. Dette gjør vi for å friske opp teamene, fordi det er svært viktig at vi forstår de grunnleggende prinsippene før vi kan bruke teorien i praktiske anvendelser. Hvert punkt under inneholder forklarende tekst, formler og grafer, som sammen gjør at man skal kunne forstå matematikken som inngår i Fourierrekker. 2.1 Periodiske funksjoner En periodisk funksjon er en funksjon der funksjonsverdien gjerntar seg med jevne mellomrom. For at en funksjon skal være periodisk må den oppfylle ligningen:

8 Fra figuren over kan vi se at funksjonenverdien til cos(t) gjentar seg med det jevne Videre kan vi bygge ut cos(t), ved å gi den en bestemt amplitude, en faseforskyvning og forandre likvevektslinja. Dette gjør vi ved å gange funksjonen med en konstant A, dette er utslagene funksjonen gjør på hver sin side av likevektslinjen, også kalt amplitude. Vi adderer en fast verdi d periodiske funksjonen, dette faseforskyver hele grafen. Vi kan også forandre på vinkelfrekvensen, men da må vi huske at vinkelfrekvensen og perioden henger sammen, forandrer vi vinkelfrekvens variablen, inne i den periodiske funksjonen. Den utvidede periodiske funksjonen vil da se slik ut: (3.2.1) frekvensen til funksjonen. (3.2.2) (3.2.3) Vi kan nå sette verdier for konstantene ovenfor. Amplituden: Faseforskyvningen: (3.2.4) (3.2.5) Forskyvning av likevektslinjen: Vinkelfrekvensen: (3.2.6) (3.2.7)

9 Vinkelfrekvensens påvirkning av perioden: (3.2.8) Vi kan nå tegne funksjonen f(t) for å se forskjellen disse variablene gjorde på den originale funksjonen Vi kan nå lage en annen periodisk funkjson. Vi kaller denne for g(t), vi skal senere addere f(t) sammen med g(t). (3.2.9)

10 Vi kan forutse hvordan g(t) + f(t), vil se ut., dette vil si at f(t) kan omskrives til: Nå har vi noen regneregler som sier at: Den felles amplituden for to, eller flere, periodiske funksjoner er: Faseforskyvningen på grunn av adderingen: (3.2.10) (3.2.11)

11 Vinkelfrekvensen er lik, så vi trenger ikke gjøre noe med den. Likevektskonstantene adderes sammen. Vår ligning blir da Vi kan nå teste om vi har regnet riktig ved å plotte funksjonen og teste om dette blir det samme som plottingen av f(t) + g(t).

12 Vi kan se at vi har regnet riktig, og vi har da en regneregel for å forenkle sinus og cosinusutrykk med samme vinkelfrekvens. 2.2 Odde- og like-funksjoner Når vi snakker om odde og like funksjoner, så er det snakk om sammenhenget mellom verdiene til funksjonen ved positiv og negativ side av den vertikale aksen. Ved symmetri for funksjonen på den vertikale aksen, sier vi at funksjonen er en like funksjon. Det vil si at dersom enhver funksjon av en t verdi gir samme resultat som funksjonen med -t, er funksjonen like. Den matematisk måten å skrive dette på vil være: (3.3.1) Cosinus er et eksempel på en odde funksjon. cos(t) vil altså gi samme resultat ved positiv og negativ t. Dersom vår funksjon ved -t gir en verdi som er det negative av funksjonen sin verdi ved t, så

13 kaller vi den for en odde funksjon. Dette kan vi uttrykke matematisk som: Et eksempel på en like funksjon er y=cos(x) Som vi ser fra figuren under, er grafen like stor på positiv og negativ side for enhver x verdi. (3.3.2) Er også en like funksjon. Dette kan vi se fra figur Tilsvarende ville også like funksjon. vært en

14 En funksjon så enkel som y=10 kan også være like. Som vi ser under er y=10 en like funksjon.

15 Vi kan med regning vise at en funksjon er like eller ikke. Skal vi for eksempel vise at : er like, så kan vi gjøre følgende: Dersom funksjonen er like, vil: er derfor en like funksjon, ut ifra definisjon. Vi definerte tidligere at dersom en funksjon er odde, ville: Et eksempel på en odde funksjon er y=sin(x) Som vi ser fra figur 2.2.4, er grafen negativ på den ene siden av den vertikale aksen, i forhold den samme absoluttverdi av x. Grafen er altså speilvendt om origo. Resultatet er det vi ser under:

16 Samme ser vi for y=3x

17 Vi kan også ha funksjoner som har forskjellige verdier på forskjellige tidsintervaller. (3.3.3)

18 På samme måte som med like funksjoner, kan vi med regning vise om en funksjon er odde eller ikke: Dersom funksjonen er odde, vil: er derfor en odde funksjon, ut ifra definisjon. Dersom vi for eksempel skal gange sammen to eller flere funksjoner, har vi tre regler som sier om produktet blir en odde eller like funksjon: Dersom vi skal integrere en funksjon, kan vi gjøre funksjonen lettere å regne ut dersom vi vet om funksjonen er odde eller like. Om funksjonen er odde, og vi skal integrere fra -a til a, så vet vi at funksjonen er like stor, med

19 motsatt fortegn, på hver side av den vertikale aksen. Derfor når vi integrerer den, vil summen være 0. Vi kan også bevise dette ved å gjøre den om til to integrasjoner, fra -a til 0 og fra 0 til a. Det samme gjelder også dersom vi bruker produktregelen som vi definerte tidligere. Integrerer vi produktet av to funksjoner, som til sammen blir odde, blir summen 0. Dersom funksjonen er like, og vi skal integrere den fra -a til a, så vet vi at den er like stor fra -a til 0, som den er fra 0 til a. Derfor kan vi da velge om vi skal integrere fra -a til 0, eller 0 til a, og så gange resultatet med 2. Det er også mulig å bruke produktreglene som vi definerte tidligere, i samarbeid med integralreglene dersom vi ganger sammen to eller flere funksjoner. Disse reglene er gode byggeklosser for videre regning. 2.3 Fourierrekker Fourierrekker består av funksjonene sinus og cosinus. Sinus og cosinus er spesielle funksjoner funksjonsverdien gjentar seg selv regelmessig. Definisjonen er: Funksjonen f(t) er periodisk med perioden T dersom den for alle argumet t oppfyller ligningen Lineære kombinasjoner av sinus og cosinus er også periodiske. Sinus og cosinus funksjoner er greie å ha med å gjøre, dette fordi de lett kan deriveres, integreres osv. En annen viktig egenskap er at de er komplette, med det mener vi at nesten en hver periodisk funksjon kan bli uttrykt som en lineær kombinasjon av sinus og cosinus, uten at man trenger andre funksjoner. Vi kan si de er byggesteinene man bruker til å konstruere periodiske funksjoner, ved å addere de sammen.

20 Vi vet nå at en fourierrekke er en rekke som har flere periodiske funksjoner som ledd. Vi vet fra tidligre at en rekke kan konvergere eller divergere. Konverer rekken vet vi at den går mot et bestemt tall, divergerer rekken vet vi at summen vil øke i det uendelige. Vi vet at fourierrekker gir en tilnærming til en tilfeldig periodisk funksjon. Så en fourierrekke kan da konvergere mot en gitt funksjon, og ikke et gitt tall. Antall ledd bestemmer hvor nøyaktig man kommer funksjonen som var utgangspunktet for rekken. Jo flere ledd man tar med i utregningen, jo nærmere kommer man. Formelen for fourierrekker er som følger: Funksjonen f(t) er definert i intervallet 0 < t < T, og er periodisk med periode T. Under visse betingelser er da fourierrekken gitt ved: er konstanter kalt Fourier koeffisienter, og gjelder for n positive heltall. Disse regnes ut

21 med formelene: Vi kan selv velge om vi vil integrere fra 0 til T, eller fra til. Det eneste kriteriet er at vi integrerer over en hel periode T. Eksempel: -Finn Fourierrekken til følgende funksjon: (3.4.1)

22 (3.4.2) (3.4.3) (3.4.4) (3.4.5)

23 (3.4.5) (3.4.6) (3.4.7) 2.4 Fouriersinus- og Fouriercosinusrekker En gang iblant får vi oppgitt en funksjon som bare er definert mellom 0<t<(T/2). I slike tilfeller

24 kan vi likevel bruke Fourieranalyse, men vi må definere om funksjonen vi skal få ut skal være en like- eller en oddefunksjon. Dette er fordi vi må vite hvordan funksjonen skal utbre seg mellom (- T/2)<t<0. Dersom vi skal lage en odde-funksjon av den gitte funksjonen, bruker vi formlene : Dersom vi skal lage en like-funskjon av den gitte funksjonen, bruker vi formlene: Vi kan på denne måten få to forskjellige utbredninger av samme funksjon avhengig av hvilken måte vi velger. Dersom vi er gitt funksjonen: f(t)=t i intervallet 0 til 1.

25 (3.5.1) Vi ønsker en like-utbredning av funksjonen f(t). (3.5.2) (3.5.3)

26 (3.5.4) Vi ønsker også for eksemplets skyld en odde-utbredning av f(t).

27 (3.5.5) (3.5.6) 2.5 Parseval's teorem Dersom en funksjon f(t) er periodisk med perioden T og har Fourierkoeffisientene og, kan vi skrive:

28 Dette er veldig nyttig i effektberegninger der gjennomsnittseffekten er skrevet ved utrykket: Dersom vi nå er oppgitt et utrykk for v(t), kan vi enkelt regne ut gjennomsnittseffekten. (3.6.1) 2.6 Komplekse Fourierrekker Man kan også skrive Fourierekker i en annen form, denne formen inkluderer komplekse nummer, som nytter seg av formelen: Dersom vi bruker denne formelen kan vi skrive om klassiske Fourierrekker til formatet: Vi kan bruke funksjonen f(t)=t, som eksempel.

29 (3.7.1) (3.7.2) (3.7.3)

30 For å vise at den nye funksjonen er periodisk kan vi utvide det grafiske vinduet til å vise mer enn en periode. 3 Anvendelse 3.0 Intruduksjon Anvendelse Vi har valgt å anvende Fourierrekker i frekvensmodulasjon (FM), vi vil se på FM med et harmonisk båndsignal, som vil si et signal med lite frekvensbredde som for eksempel radio. Vi vil derfor nytte oss av Bessel-funksjoner samt Carsons regel, for å videre finne ut mer om FM. Først vil vi forsøke å finne Fourierrekken til et harmonisk båndsignal som er frekvensmodulert. Vi må da bruke teorien om Bessel-funksjoner for å finne fourierkoeffisientene. Finner vi

31 Fourierrekken til båndsignalet, vil vi kunne teste om det er en forskjell mellom det modulert og det originale signalet. En annen viktig ting når man sender ut informasjon med radiobølger, er å ha riktig båndbredde, slik at signalet kommer frem uten å interferere med andre signaler. Med for liten båndbredde, utnytter vi ikke vårt frekvensområde i spekteret. Med for stor båndbredde, vil man bruke unødvendig effekt, og ta opp frekvenser som antas at brukes av andre, derav skape interferens med nabokanalene dine. Oppgaven er skape et signal som passer innenfor 200kHz som er standarden for frekvensmodulert radio i store deler av Europa. Dette skal vi benytte Carsons regel til. Som eksempel vil vi bruke frekvensen til radiokanalen NRK P3, som sender på frekvens 93.5 MHz. Vi skal forsøke å presentere forskjellen mellom båndsignalet og bære signalet, slik at vi på en bedre måte kan se hvordan frekvensmodulasjon fungerer. 3.1 Frekvensmodulasjon med et harmonisk båndsignal Vi skal modulere signalet fra en cosinusfunksjon på bæresignalet. Dette er et enkelt signal å modulere, som gjør at det er et ypperlig eksempel. Under kan man se utledningen av Fourierrekken til et frekvensmodulert signal, som i dette tilfellet er cos( ). Dersom ønskelig går det ann å putte inn en annen periodisk funksjon i dets plass. (4.2.1) Fourierkoeffisientene til kan skrives som J(n,x) på grunn av:

32 3.2 Bessel-funksjoner Besselfunksjoner brukes som Fourierkoeffisient når vi ser på frekvensmodulasjon. Det generelle utrykket for besselfunksjoner er: Men siden vi ser på en funksjon av en sum, kan vi velge å forandre på besselfunksjonene slik at de kun er gyldige for heltall. Dette gir formelen: (4.3.1) (4.3.2) (4.3.3)

33 3.3 Carsons regel Carsons regel, som omhandler telekommunikasjon, definerer omtrentlig båndbreddekrav for kommunikasjonsystemkomponenter for et bæresignal som er frekvensmodulert med et kontinuelig eller bredt spektrum av frekvenser i stede for en enkelt frekvens. Carsons regel tilsier at minimum 98% av den sendte effekten vil ligge innenfor denne båndbredden, man regner ut ved hjelp av Carsons bånbredde. Når det modulerte signalet inneholder diskontinuiteter, fungerer ikke carsons regel svært godt. Carsons båndbredde: Carsons regel:

34 (4.4.1) 3.4 NRK P3 NRK P3 sender på 93,5 MHz. Dette gir: (4.5.1) (4.5.2) (4.5.3) Vi setter modulasjonsfrekvensen til 25 khz vi regner så ut vinkelfrekvensen og perioden til båndsignalet. Deretter setter vi amplituden til 3. (4.5.4)

35 (4.5.5) (4.5.6) (4.5.7) Vi kan nå putte inn våre verdier i Besselfunksjonene vi fant i punkt 3.1, vi setter amplituden til 3 i Besselfunksjonene. Dette gir oss forksjellige bidrag/amplituder for hver besselfunksjon. Illustrert Figur (4.5.8)

36 (4.5.9) Vi tegner opp Fourierrekken.

37 Vi tegner opp det originale signalet, som en sammeligning til Fourierrekken

38 Vi plotter inn fourierrekken, det originale signaler samt båndsignalet. Vi ser at Fourierrekken og det frekvensmodulerte signalet er tilnærmet like. Vi skiller derfor mellom disse for å lettere kunne sammenligne dem. Vi gjør dette ved å multiplisere signalet med en halv. Vi vil se båndsignalet som en rett strek, dette fordi vinkelfrekvensen er så veldig mye lavere enn i bæresignalet.

39 Vi kan bruke Carsons regel for å finne båndbredden: (4.5.10) Båndbredden blir 200 KHz. Vi tester båndbredden med Carsons regel, som sier at over 98% av signalets effekt, vil ligge innenfor denne båndbredden.

40 (4.5.11) Ut ifra dette ser vi at effekten passerer 98%. Altså 99,60% av all effekten til signalet er innenfor båndbredden vår som er 200 KHz. I figur viser vi en grafisk fremstilling av frekvensutbredningen av signalet. Vi gjør dette ved å definere bærebølga med vinkelfrekvens. Videre angir vi amplituden ved hjelp av besselfunksjonene vi har definert til å være avhengig av et økende heltall n og konstanten A. Vi definerer deretter det frekvensmodulerte signalet ved hjelp av som vi trekker fra og legger til, med det økende heltall n.

41 Vi ser her at vi har klart å regne oss frem til en båndbredde på 200 KHz hvor 99.6% av signalet inngår. Vi ser at Carsons regel stemmer. Vi har også klart å svare på forskjellen mellom bånd- og bære-signalet. Dette viser vi grafisk i figur og forskjellen på de er hovedsaklig at båndbredden er avhengig av båndsignalet, mens

42 sendefrekvensen er avhengig av bæresignalet. På denne måten stiller vi inn radioen for å treffe bæresignalet, mens vi mottar data over båndsignalet. Dette siden det er båndsignalets oppgave å modulere dataen, mens det er bæresignalets oppgave å frakte den. 4 Kilder Croft, R. Davison og M. Hargreaves, Engineering Mathematics (4th Edition), Pearson, FM og Bessel.pdf - fra its learning FM.mv - fra its learning