Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Transkript

1 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra

2 Innhold 1 Om Geogebra Innstillinger Regning Tallregning Regnerekkefølge Tallet π Minne Kvadratrot Parenteser Brøk Store og små tall Potenser n-terøtter Funksjoner Tegning av grafer for hånd Tegning av rett linje Tegning av grafer på det digitale verktøyet Utregninger på grafen Finne y når du kjenner x Nullpunkter Finne x når du kjenner y Topp- og bunnpunkter Skjæringspunkter mellom grafer Lineær regresjon 16 5 Sannsynlighetsregning Simulering Økonomi Budsjett Regnskap Lån Serielån Annuitetslån med et fast årlig beløp Annuitetslån over et visst antall år

3 Innledning Dette heftet er ment som en beskrivelse av dataprogrammet Geogebra som digitalt verktøy i undervisningen i faget «Matematikk Vg1P», studieforbedredende utdanningsprogram. Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal Undervisning, og inneholder referanser til framstillingen der. Heftet er skrevet i samarbeid med Henning Bueie, Åretta ungdomsskole. Henvisninger fra boka Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitale verktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandler det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk 1P, 3. utgave, Gyldendal Undervisning, I den elektroniske utgaven av heftet er referansene klikkbare. Sidetall i læreboka Emne Avsnitt i dette heftet 12 Tallregning og regnerekkefølge Kvadratrøtter Store og små tall Tegne rett linje Skjæring av grafer Lage verditabell Tegne graf Toppunkt Lineær regresjon 4 85 Lineær regresjon Budsjett Regnskap Serielån Annuitetslån (beløp) Annuitetslån (år)

4 1 Om Geogebra Geogebra er et matematikkverktøy med funksjonalitet innenfor de fleste områdene i matematikk i videregående skole. Geogebra kan lastes ned fra Internett og kjøres som et frittstående program. Du kan også kjøre Geogebra direkte fra Internett. Du finner Geogebra på Dette heftet tar utgangspunkt i versjon 4.2. Skjermbildet i Geogebra ser slik ut: Skjermbildet består av: 1. Menylinje og knapperad. Viktig å merke seg at du får fram undermenyene ved å trykke på de små trekantene på knappene. 2. Algebravindu/resultatvindu. Her kommer det fram opplysninger om de ulike matematiske objektene du arbeider med, for eksempel skjæringspunkter, funksjonsverdier, resultater av beregninger og annet. 3. Funksjons- og geometrivindu. Her viser Geogebra grafer og geometriske figurer. 4. Regnearkvindu. 5. Inntastingsfelt. Her skriver du inn formler, funksjoner og regneoperasjoner. Resultatene av beregninger du gjør her havner i resultatvinduet. 4

5 1.1 Innstillinger Om du vil justere innstillingene i Geogebra, bruker du Innstillinger-menyen. Ønsker du for eksempel at programmet skal runde av til tre gjeldende siffer, velger Innstillinger > Avrunding > 2 desimaler. Det kan være lurt å la programmet runde av til et bestemt antall gjeldende siffer, slik at ikke små tall blir runda av til null. 2 Regning 2.1 Tallregning Du taster inn regnestykker omtrent som på en vanlig lommeregner, med for gange og «/» for dele. Desimaltall skrives inn med punktum som desimalkomma. Tallet 2, taster du altså inn som «2.5». Kommaet («,») brukes for å skille koordinater i punkter. Skriv inn i inntastingsfeltet. Resultatet av utregningen havner i resultatvinduet. 2.2 Regnerekkefølge Vanlig regnerekkefølge er innebygd i programmet. Så vi kan taste rett inn slik det står. Utregningen taster vi inn som det står og avslutter med enter. Geogebra bruker cirkumflex ( ) for potenser. På noen datamaskiner må man taste et mellomrom etter. 5

6 Resultatvinduet viser at svaret blir 44. Dersom vi skal omgå regnerekkefølgen, må vi angi ønsket rekkefølge med parenteser, som for eksempel i utregningen 7 ( ( 3)) 2, som tastes inn slik: 7*(-4^2-5*(-3))^2 Geogebra har hurtigtaster for skrive eksponenter. Dersom du taster alt + 2 (hold inne alt-knappen og tast 2), så ser du at programmet skriver «opphøyd i andre» direkte. 2.3 Tallet π Programmet har en egen hurtigknapp for π. Dessuten kan vi bruke tastesnarveien alt + p. 2.4 Minne Geogebra lagrer automatisk resultater fra utregninger i variabler (minne) etter hvert som resultatene kommer fram. Hvert nye svar blir tilordnet en ny variabel. La oss si at du har regnet ut (4 + 5) 2 3 og fått 72. Da vil Geogebra lagre verdien 72 i variabelen a. Dette kommer fram i resultatvinduet. Dersom du nå ønsker å multiplisere savret med π, skriver du a π i inntastingsfeltet. Resultatet av denne regneoperasjonen lagres i variabelen b. Siden resultatet b er avhengig av verdien av a, kalles b for et avhengig objekt. Du kan også lagre verdier i variablene direkte. For å lagre 2 i 2 og 71 i b, skriver du a = 2 og b = 71 i inntastingsfeltet. Deretter kan du skrive a b. Da angir Geogebra svaret som c = 142. Svaret blir angitt som et avhengig objekt, siden svaret c er avhengig av variablene a og b. 6

7 2.5 Kvadratrot For å regne ut kvadratroten av et tall, bruker du kommandoen «sqrt()». For å regne ut 4, skriver du inn «sqrt(4)». I resultatvinduet viser programmet at svaret er 2. Husk på parenteser, slik at programmet vet hva som skal inkluderes i kvadratroten Eksempel: Vi skal regne ut. Da taster vi inn «sqrt(2*40/9.8)». Resultatvinduet viser at svaret er 2, 9, Parenteser Når vi skriver for hånd, skriver vi ofte brøker og kvadratrottegn uten parenteser, da vi er enige om hvordan de skal regnes ut. For eksempel er = 12 6 = 2 Dersom vi vil regne ut svaret uten mellomregning i programmet, må vi hjelpe til med å slå parenteser om telleren og nevneren: (5+7)/(2*3) I resultatvinduet ser vi at svaret på utregningen er Brøk Brøker taster du inn med vanlig deletegn i stedet for brøkstrek. Pass på å slå parenteser om telleren og nevneren dersom de består av flere ledd. Brøkene regnes om til desimaltall og svaret gis som desimaltall. Dessverre finnes det ikke en egen brøkfunksjon i Geogebra. Skal vi for eksempel regne ut slår vi parenteser om den første telleren og den siste nevneren og får: (2+3)/3-8/(7-3) Resultatvinduet viser 0,33 som svar. 7

8 Ved utregning av brudden brøk er det også nødvendig å bruke parenteser. Skal vi regne ut brøken taster vi det inn med parenteser rundt telleren og nevneren i hovedbrøken. ((1/2)/(1/3)) Resultatvinduet viser 1,5 som svar. 2.8 Store og små tall Når tallene blir svært store eller svært små, skriver programmet dem på standardform. Dette avhenger noe av hvilke valg du har gjort på Innstillinger > avrunding. Du velger selv om du taster inn på standardform eller ikke. Skal du taste inn , kan du velge å taste rett inn alle sifrene eller å taste «2.4 E 7». Når vi regner ut , vil Geogebra normalt svare I visse tilfeller svarer programmet E11, som betyr at svaret er 1, Potenser Potenser tastes inn med cirkumflex,. Vi regner ut 2 5 ved å taste 2 5. Resultatvinduet gir oss svaret 32. For å taste inn potenser med flere elementer i eksponenten, slår du en parentes om eksponenten. Vi regner ut 2 5 ved å taste 2 ( 5) og ved å taste 2 (2/3) n-terøtter Geogebra har innebygd funksjoner for kvadratrot og tredjerot, henholdsvis «sqrt()» og «cbrt()». For andre røtter må vi bruke at n a = a 1 n. Eksempel: For å beregne 5 7,34 gjør vi slik: 7.34^(1/5) Resultatvinduet gir oss svaret 1,

9 3 Funksjoner 3.1 Tegning av grafer for hånd Når du tegner grafer for hånd, er det praktisk å bruke digitalt verktøy til å regne ut funksjonsverdier for funksjonen. Vi regner ut funksjonsverdier i Geogebra ved å taste inn funksjonsuttrykket i inntastingsfeltet og så be om funksjonsverdiene enkeltvis. Eksempel: Vi skal arbeide med funksjonen f(x) = x x Vi taster inn funksjonsutrykket i inntastingsfeltet i Geogebra. Så kan vi regne ut de funksjonsverdiene vi vil ved å sette inn i f(x). Om vi nå taster f(0) i inntastingsfeltet, vil resultatvinduet vise a = , som betyr at f(0) = 0. Tilsvarende taster jeg f(100) i inntastingsfeltet, og Geogebra viser b = i resultatvinduet. Altså er f(100) = Fortsetter vi på denne måten, kan vi lage en verditabell: x y Når vi så har laget verditabellen, merker vi av punktene i et koordinatsystem og tegner en glatt kurve gjennom dem y x 3.2 Tegning av rett linje Vi skal tegne grafen til en rett linje y = ax+b. Først taster vi funksjonsuttrykket inn i inntastingsfeltet. Deretter lager vi verditabell slik det er beskrevet i avsnitt 3.1 på side 9. Det hender oppgaven ber oss om et spesifikt intervall for x. I så fall bruker vi det. Verditabellen bruker vi til å stille vinduet riktig. 9

10 Eksempel: Vi skal tegne linja K = 2x Vi taster K(x) = 2x i inntastingsfeltet. Det ser slik ut: Så lager vi verditabell for x [0, 3000]. Vi taster inn K(0), K(500), K(1000), K(2000) og K(3000). Da ser resultatvinduet vårt slik ut: Altså må vi la x gå fra 0 til 3000 og y fra 0 til Nå velger vi Innstillinger > Grafikkfelt. Der setter vi x til å gå fra 200 til Så klikker vi på «yakse» midt i vinduet og setter y til å gå fra 1000 til Vi bruker en liten negativ verdi som nedre grense på begge aksene, slik at aksene syns. Da ser grafen slik ut: 10

11 3.3 Tegning av grafer på det digitale verktøyet Vi skal tegne grafen til en funksjon f(x). Vi taster funksjonsuttrykket inn i inntastingsfeltet. Ut fra funksjonens definisjonsmengde lager vi deretter en verditabell slik det er beskrevet i avsnitt 3.1 og stiller inn vinduet etter dette. Det hender oppgaven ber oss om et spesifikt intervall for x. I så fall bruker vi det. Som eksempel skal vi nå tegne grafen til f(x) = 0, 0001x 2 + 0, 45x 200 for x mellom 0 og Først legger vi inn funksjonen. Så regner vi ut en verditabell. Når vi har tastet inn f(0), f(1000), f(2000), f(3000), f(4000) og f(5000), ser resultatvinduet vårt slik ut: Dette betyr at verditabellen er denne: x y Vi ser av tabellen at om vi lar x gå fra 0 til 500, må y være mellom 200 og 300. Nå velger vi Innstillinger > Grafikkfelt. For at grafen og aksene skal synes godt, lar vi området være litt større enn verditabellen tilsier: Vi setter x til å gå fra 200 til Så klikker vi på «yakse» midt i vinduet og setter y til å gå fra 450 til 350. Da ser grafen slik ut: 11

12 Dersom du vil forstørre eller forminske grafen, kan du gå på Innstillinger > Grafikkfelt igjen. Men du kan også bruke verktøyene for forstørrelse eller forminskning på verktøylinja, evt. bare dra i aksene. 3.4 Utregninger på grafen Finne y når du kjenner x Om vi skal finne funksjonsverdien av en bestemt verdi a av x, taster vi inn f(x). Eksempel: Vi lar f være f(x) = 0,001x 3 + 0,09x Vi taster inn f(1) i inntastingsfeltet. Resultatvinduet viser oss da at a = 18, altså har vi f(x) = Nullpunkter Du finner nullpunkter til en graf f ved å skrive «Nullpunkt[f]» i inntastingsfeltet. Eksempel: La f(x) = 0,5x 3 + 2x 2 + 3x 6. Vi skal finne nullpunktene. Vi taster inn funksjonsuttrykket tilpasser vinduet vårt som beskrevet i avsnitt 3.3. Så taster 12

13 vi inn «Nullpunkt[f]». Da ser resultatvinduet vårt ut slik: Dette betyr at nullpunktene har koordinater ( 2, 0), (1,27, 0) og (4,73, 0). Dersom en funksjon ikke har noe nullpunkt, vil Geogebra skrive «udefinert». Eksempel: La f(x) = x 2 5x 12. Vi skal finne funksjonens nullpunkter. Vi taster inn f(x) og skriver «Nullpunkt[f]». Resultatvinduet ser da slik ut: Dette betyr at f ikke har noen nullpunkter. Noen funksjoner har Geogebra problemer med. Eksempel: La f være funksjonen f(x) = 2,3 x 6. Vi skal finne eventuelle nullpunkter. Vi prøver å taste «Nullpunkt[f]», men får ingen respons når vi trykker linjeskift. En unøyaktig nødløsning kan da være å legge et punkt på grafen og dra punktet til det kommer til x-aksen: Velg «Nytt punkt» fra verktøylinja og klikk på grafen til f. Bytt til vanlig verktøy (flytt) og flytt punktet til det ligger omtrent på x-aksen. Koordinatene til punktet er tilnærmet koordinatene til nullpunktet. Altså har nullpunktet x 2, Finne x når du kjenner y Om vi skal finne hvilken x-verdi som svarer til en bestemt y-verdi, legger vi inn denne y-verdien som en ny funksjon g(x). Deretter finner vi skjæringspunktene med «skjæring[f,g]». Eksempel: La f være funksjonen 0,0025x 3 + 0,075x for x [0, 20]. Vi skal 13

14 finne når f(x) oppnår verdien 4,1. Da legger vi inn en ny funksjon g(x) = 4,1 og skriver inn «skjæring[f,g]». Da får vi dette: Altså ser vi at f(x) = 4,1 når x er ca. 7,4. De andre skjæringspunktene er ikke innenfor funksjonens definisjonsmengde Topp- og bunnpunkter Topp- og bunnpunkter til en funksjon f(x)finner vi ved å skrive «ekstremalpunkt[f]». Da vises ekstremalpunktene i resultatvinduet og markeres på grafen. Eksempel: La O(x) = x x Vi skal finne toppunktet. Vi skriver inn «Ekstremalpunkt[O]» og får dette: 14

15 Altså er koordinatene til toppunktet (390, ). Dersom det i tillegg er bunnpunkter på grafen, vil også disse bli merket av Skjæringspunkter mellom grafer Skjæringspunkter mellom to grafer f og g finner vi ved å skrive «skjæring[f,g]». Eksempel: Vi skal finne skjæringspunktene mellom K = 2x og I = 6x. Vi definerer K og I ved å taste K(x) = 2x og I(x) = 6x i inntastningsfeltet. Så taster vi «skjæring(k,i)». Da får vi denne: 15

16 Altså er skjæringspunktet (2000, ). 4 Lineær regresjon Regresjon i Geogebra gjøres ved at vi legger inn verditabellen i et regneark, lager en liste av tabellen og utfører regresjon på lista. Eksempel: Vi skal utføre lineær regresjon på følgende tabell. x y Først henter vi fram regnearkvinduet, nemlig Vis > Regneark. 16

17 Så legger vi inn x-verdiene og y-verdiene i regnearket. Vi markerer tabellen, høyreklikker på den og velger «Lag liste med punkter». Da viser resultatvinduet at en liste {(0, 868), (5, 735), (10, 566), 12, 548),... av punkter er opprettet under navnet «liste1». Punktene er tegnet inn i funksjonsvinduet, men vi må kanskje tilpasse vinduet for å se dem. Vi går til Innstillinger > Grafikkfelt. Der setter vi x til å gå fra 1 til 17, litt utenfor intervallet [0, 16]. Så klikker vi på «yakse» midt i vinduet og setter y til å gå fra 30 til 900, som dekker intervallet [421, 868]. Da ser vinduet slik ut: 17

18 Til slutt taster vi inn «RegLin[liste1]» i inntastingsfeltet. Da får vi tegnet inn regresjonslinja. Likningen for regresjonslinja vises i resultatvinduet. For å få den på formen y = ax + b, høyreklikker vi på likningen i resultatvinduet og velger «Likning y = ax + b»: Da ser vinduet vårt slik ut: Dette betyr at regresjonslinja er y = 27, 9x + 868, 3. 18

19 5 Sannsynlighetsregning 5.1 Simulering Kommandoen «tilfeldigmellom[p,q]» gir oss et tilfeldig tall mellom p og q. Det er mulig å bruke dette til å simulere enkle uniforme modeller. Eksempel: Vi skal simulere terningkast. Vi skriver inn «tilfeldigmellom[1,6]». Da får vi et tilfeldig tall større enn eller lik 1 og mindre enn eller lik 6. Vi taster oppoverpil og enter pånytt og får et nytt tilfeldig tall. Gjentar vi dette, får vi en simulering av en rekke med terningkast: 6 Økonomi Geogebra versjon er fortsatt ikke veldig godt egnet til arbeid med regneark. Vi anbefaler at du istedet bruker et eget program til dette. 19