Sampling ved Nyquist-raten

Transkript

1 Samplingsteoremet Oppgavegjennomgang, 7.mai Oversikt Presisering av samplingsteoremet Løse utsendt oppgave om sampling Løse oppgave, V Løse oppgave 3, V If a function f (t contains no frequencies higher than W cps, it is completely determined by giving its ordinates at a series of points spaced /(W seconds apart. Claude E. Shannon Hentet fra artikkelen "Communication in the presence of noise", publisert i Proceedings of the IRE, januar 99. Teoremet var allerede kjent i matematiske kretser, men i andre former. Innen kommunikasjonsteori var resultatet kjent gjennom arbeider gjort av Nyquist og Gabor, men Shannon var den første til å gi et formelt bevis. INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK Signalbehandlingslitteraturen er ikke helt konsekvent i sin presentasjon av samplingsteoremet. Gitt et signal x(t, med spektrum X(jω = for ω > ω max Det vil si at signalet x(t kan inneholde vinkelfrekvensen ω max, slik at den maksimale sykliske frekvensen er f max = ω max π Sampling ved Nyquist-raten Vi sampler signalet x(t = sin(3πt + φ ved Nyquist-raten f s = ( Hz. x[n] = sin(3π n+φ = sin(πn+φ 3 for faseverdiene φ = {, π/3, π/, π/} x(t og x[n] for φ = ± kπ x(t og x[n] for φ = π/3 Ulike kilder hevder da enten at samplingsfrekvensen f s må velges slik at eller slik at f s f max f s > f max.... x(t og x[n] for φ = π/.... x(t og x[n] for φ = π/ Forskjellen ligger i om Nyquist-raten f max godtas som nedre samplingsfrekvens INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK

2 Faseforskyvninger φ ±kπ sikrer at ikke alle samplene er null, men vi kan miste amplitudeinformasjon hvis φ er ukjent. En måte å unngå hele problemet på er å velge f s > f max. Da kan vi, fra sampelsekvensen x[n] = x(nt s, eksakt rekonstruere opprinnelig signal x(t. x(t og x[n] for f s = 3 Hz x(t og x[n] for f s = Hz V, oppgave a Inngang, n < x[n] = cos( ˆωn + π/3, n Filter med differensligning y[n] =.x[n] + x[n ] +.x[n ] x(t og x[n] for f s = 6 Hz x(t og x[n] for f s = 9 Hz Filteret er kausalt, lineært og tidsinvariant. Det har orden M = og lengde L = M + = Ideell rekonstruksjon INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6 V, oppgave c Filteret har impulsrespons h[n] =.δ[n] + δ[n ] +.δ[n ] V, oppgave b Uttrykk for y[ ], y[] og y[]. y[ ] =.x[ ] + x[ ] +.x[ 3] = y[] =.x[] + x[ ] +.x[ ] =. cos(π/3 =. y[] =.x[] + x[] +.x[ ] =. cos( ˆωn + π/3 +. Frekvensresponsen finnes da som H(e j ˆω = M k= h[k]e =.e j + e j ˆω +.e j ˆω = e j ˆω( + cos( ˆω med magnitude- og faserespons H(e j ˆω = + cos( ˆω og H(e j ˆω = ˆω Ettersom cos( ˆω er monotont avtagende når ˆω går fra til π, har vi et lavpassfilter Magnituderespons til filter h[n] =.δ[n] + δ[n ] +.δ[n ]. H(e jω INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8

3 V, oppgave d Fasen til frekvensresponsen er H(e j ˆω = ˆω Den er linær i ˆω, og derfor sier vi at filteret har lineær fase. Vi ser at π H(e j ˆω π for π < ˆω π. Dette er prinsipalverdien til faseresponsen, så vi unngår brudd. H(e jω 3 Faserespons til filter h[n] =.δ[n] + δ[n ] +.δ[n ] V, oppgave e For n har inngangen x[n] definerte verdier for alle elementer x[n], x[n ] og x[n ] som inngår i differensligningen. Filtrering av eksponentialet e j ˆωn+φ gir y[n] = H(e j ˆω e j ˆωn+φ = H(e j ˆω e j( ˆωn+φ+ H(ej ˆω Dette kan utvides til en regel for filtrering av sinusoiden cos( ˆω n + φ y[n] = H(e j ˆω cos( ˆω n + φ + H(e j ˆω INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK Samme resultat kan også finnes direkte fra differensligningen. For vår inngang x[n] = cos( ˆωn + π/3, n blir utgangen for n y[n] = H(e j ˆω cos( ˆωn + π/3 + H(e j ˆω = ( + cos( ˆω cos( ˆωn + π/3 ˆω = ( + cos( ˆω cos ( ˆω(n + π/3 Filteret introduserer både skalering og en fast forsinkelse på M/ = tidsskritt. y[n] =. cos( ˆωn + π/3+ cos( ˆω(n + π/3+. cos( ˆω(n + π/3 =. cos( ˆω(n + ˆω + π/3+ cos( ˆω(n + π/3+. cos( ˆω(n ˆω + π/3 =. cos( ˆω(n + π/3 cos( ˆω. sin( ˆω(n + π/3 sin( ˆω+ cos( ˆω(n + π/3+. cos( ˆω(n + π/3 cos( ˆω+. sin( ˆω(n + π/3 sin( ˆω = cos( ˆω(n + π/3 cos( ˆω+ cos( ˆω(n + π/3 = ( + cos( ˆω cos ( ˆω(n + π/3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK

4 V, oppgave f Nytt filter, nå med differensligning z[n] =.x[n] + x[n ] +.x[n ] og impulsrespons h z [n] =.δ[n] + δ[n ] +.δ[n ] Ettersom cos( ˆω er monotont avtagende når ˆω går fra til π, vil H z (e j ˆω være økende over samme intervall. Vi har da et høypassfilter. Magnituderespons til filter h[n] =.δ[n] + δ[n ] +.δ[n ] Frekvensresponsen blir da H z (e j ˆω = M k= h[k]e =.e j + x[n ]e j ˆω.e j ˆω = e j ˆω( cos( ˆω med magnitude- og faserespons H z (e j ˆω = cos( ˆω og H z (e j ˆω = ˆω H(e jω H(e jω Faserespons til filter h[n] =.δ[n] + δ[n ] +.δ[n ] INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK Filtrene følger sammenhengen h s = h[n] + h z [n] = δ[n ] og i frekvensdomenet H s (e j ˆω + H z (e j ˆω j ˆω = e Summen av filtrene er et rent forsinkelsesfilter, som i tillegg skalerer inngangen med (uavhengig av frekvens. På den måten utfyller filtrene hverandre, og vi sier at de er komplementære. H s (e jω Magnituden til summen av frekvensresponsene for lav og hoypassfilteret Fasen til summen av frekvensresponsene for lav og hoypassfilteret V, oppgave 3 a Rektangulært filter med impulsrespons h[n] = L k= L δ[n k] = L L k= δ[n k] Hvis vi antar at transientperioden er over og inngangen er en konstant vil utgangen være y[n] = L L k= x[n] = A x[n k] = A L L = A H s (e jω INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6

5 Frekvensresponsen er R(e j ˆω = = L L k= h[k]e L k= e Illustrasjon av magnitude og fase til frekvensresponsen, for L = og L =. Magnituden har nullpunkt for alle ˆω L = ±kπ Det vil si at L = gir nullpunkt ved ˆω = ± {.π,.π,.6π,.8π, π} og L = gir nullpunkt ved { ˆω = ± π, π, 6 π, 8 } π, π = L = L ( e j ˆωL e j ˆω ( e j ˆωL/ (e j ˆωL/ e j ˆωL/ e j ˆω/ (e j ˆω/ e j ˆω/ ( sin( ˆωL/ = e j ˆω(L / L sin( ˆω/ H(e jω H(e jω Magnituderespons, glidende middel, L=.. Magnituderespons, glidende middel, L= H(e jω, i enheter av π H(e jω, i enheter av π.. Faserespons, glidende middel, L=.... Faserespons, glidende middel, L=.... INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8 V, oppgave 3 b Hann-filter. ( cos(πn/l, n L h[n] = a, ellers Hva må a være for at enn konstant inngang x[n] = A skal gi utgangen y[n] = A. y[n] = = L k= L h[k]x[n k] a. ( cos(πk/l A k= = A a ( = A L a L L k= cos(πk/l For å oppnå y[n] = x[n] = A, må da a = /L. V, oppgave 3 c Et filter har impulsrespons h[n] = b k δ[n k] og frekvensrespons A(e j ˆω = b k e Hvis alle koeffisientene multipliseres med det komplekse eksponentialet e j ˆωn får vi et nytt filter med koeffisienter b n e j ˆωn og impulsrespons h [n] = b k e j ˆωk δ[n k] og frekvensrespons A (e j ˆω = b k e j ˆωk e = b k e j( ˆω ˆωk = A(e j( ˆω ˆω INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK

6 V, oppgave 3 d Hann-filterets impulsrespons kan skrives som h[n] = a a (e j πn πn L j + e L ( al ( al = h R [n] ( al πn e j L h R [n] ej = h [n] + h [n] + h 3 [n] Frekvensresponsene blir derfor ( al H (e j ˆω = R(e j ˆω πn L h R [n] ( al H (e j ˆω = R(e j( ˆω π L ( al H 3 (e j ˆω = R(e j( ˆω+π L Illustrasjon av magnituderesponsen til et Hann-filter med lengde L =. H(e jω Magnituderespons, Hann filter, L= Med a = /L er total frekvensrespons H(e j ˆω = R(e j ˆω ( R(e j( ˆω π L + R(e j( ˆω+π L INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK Sampling og aliasing, deloppgave Sampling med f s = Hz holder ettersom f s > max(f, f Sampling og aliasing, deloppgave Kontinuerlig-tid signalet x(t = 3 cos(πt + cos(πt er periodisk ettersom begge frekvensene f = Hz og f = Hz er heltallsmultipler av en felles grunnfrekvens f = Hz. Fundamentalperioden er T = f = s Det samplede signalet er x[n] = 3 cos(π(/n+ cos(π(/n = 3 cos(.πn + cos(.πn Sekvensen er periodisk med periode amplitude 3 N p = T = = sampler T s x(t og x[n] x(t x[n] INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK

7 Sampling og aliasing, deloppgave Sampling med f s = 8 Hz gir aliasing. x[n] = 3 cos(π(/8n+ cos(π(/8n = 3 cos(.πn + cos(.πn = 3 cos(.πn + cos((.7π + πn = 3 cos(.πn + cos(.7πn x(t, x[n] og rekonstruert signal x r (t x(t x r (t x[n] 3 Sampling og aliasing, deloppgave 3 amplitude Rekonstruert signal blir x r (t = 3 cos(.π8t + cos(.7π8t = 3 cos(πt + cos(6πt INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6 Ettersom cos( ˆω er monotont avtagende når ˆω går fra til π, vil amplituden Sampling og aliasing, deloppgave Filteret med impulsrepsponsen h[n] = δ[n] cos(.πδ[n ] + δ[n ] har frekvensrespons H(e j ˆω = M k= med magnitude h[k]e = e j cos(.πe j ˆω + e j ˆω = e j ˆω( e j ˆω cos(.π + e = e j ˆω( cos( ˆω cos(.π H(e j ˆω = (cos( ˆω cos(.π j ˆω være det samme (cos( ˆω cos(.π Amplitude til frekvensrespons H(e jω På grunn av negative amplitudeverdier for.π < ˆω π må fasen skrives som ˆω π, π < ˆω.π H(e j ˆω = ˆω,.π < ˆω.π ˆω + π,.π < ˆω π INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8

8 Sampling og aliasing, deloppgave 6 Vi ser av magnituden H(e j ˆω = (cos( ˆω cos(.π at filteret har et nullpunkt i ˆω =.π Komponenter med denne normaliserte frekvensen vil fjernes av filteret. H(e jω 3 Magnituderespons til filter h[n] = δ[n] + cos(.π δ[n ] + δ[n ] Finne utgang ved regning, dersom inngangen er sekvensen uten aliasing x[n] = 3 cos(.πn + cos(.πn sendes gjennom filteret. y[n] = H(e j.π 3 cos(.πn + H(e j.π + H(e j.π cos(.πn + H(e j.π = + cos(.π cos(.π cos(.πn +.π = cos(.π cos(.π(n + Faserespons til filter h[n] = δ[n] + cos(.π δ[n ] + δ[n ] = cos(.π cos(.π(n + H(e jω i enheter av π.. = cos(.π cos(.π(n INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 Figuren viser både tidsforskyvingen og at komponenten med normalisert frekvens ˆω =.π er fjernet. Referansesignal cos(.π n. amplitude Utgang y[n], gitt inngang x[n] = 3 cos(.π n + cos(.π n, utenom transienter amplitude INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3