Fourier-Transformasjoner IV

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Fourier-Transformasjoner IV"

Ada Markussen
8 år siden
Visninger:

1 Fourier-Transformasjoner IV Lars Vidar Magnusson March 1, 2017 Delkapittel 4.6 Some Properties of the 2-D Discrete Fourier Transform

2 Forholdet Mellom Spatial- og Frekvens-Intervallene Et digitalt bilde f (x, y) er en samplet utgave av en kontinuerlig funksjon f (t, z). Vi har M N samples tatt med et mellomrom på henholdsvis T og Z. Mellomrommet mellom de korresponderende diskrete frekvens-variablene blir.. u = 1 M T og v = 1 N Z Merk at intervallene i frekvens-domenet er invers-proporsjonale med både intervallstørrelsen i spatial-domenet og antall samples.

3 Translering og Rotering Man kan translere en DFT med... f (x, y)e j2π(u0x/m+v0y/n F (u u 0, v v 0 ) Man kan translere et bilde med... f (x x 0, y y 0 ) F (u, v)e j2π(ux0/m+vy0/n Med polarkoordinater så har vi følgende... x = r cos θ y = r sin θ u = ω cos ϕ v = ω sin ϕ og vi får dette rotasjonsparet f (r, θ + θ 0 ) F (ω, ϕ + θ 0 )

4 Periodiskhet Både f (x, y) og F (u, v) er periodiske. F (u, v) = F (u + k 1 M, v) = F (u, v + k 2 N) = F (u + k 1 M, v + k 2 N) f (x, y) = F (x + k 1 M, y) = F (x, y + k 2 N) = F (x + k 1 M, y + k 2 N) Dette er et nyttig faktum når vi skal implementere transformasjonen.

5 Flytting av Origo i Frekvens-Domenet Vi foretrekker typisk å flytte origo i frekvensdomenet til (M/2, N/2). Vi skal se senere at dette gjør det enklere å få et riktig inntrykk av frekvensene.

6 Flytting av Origo i Frekvens-Domenet Vi kan flytte origo ved hjelp av translering. Vi kan translere til (M/2, N/2) i frekvens-domenet ved å multiplisere f (x, y) med følgende eksponent. Vi får altså følgende... e j2π([m/2]x/m+[n/2]y/n) = e jπ(x+y) = ( 1) x+y f (x, y)( 1) x+y F (u M/2, v N/2)

7 Symmetri Et viktig resultat fra funksjonsanalyse er at alle reelle og komplekse funksjoner kan skrives som summen av en even (lik) og en odd (ulik) funksjon. w(x, y) = w e (x, y) + w o (x, y) Hvor den like og ulike funksjonen er definert som.. w e (x, y) = w o (x, y) = w(x, y) + w( x, y) 2 w(x, y) w( x, y) 2

8 Symmetri Like funksjoner blir ofte kalt symmetriske. w e (x, y) = w e ( x, y) Ulike funksjoner kalles ofte antisymmetriske. w o (x, y) = w o ( x, y)

9 Diskret Symmetri Det er ikke like intuitivt å visualisere like og ujevne funksjoner av diskrete variable. Like funksjoner blir følgende... w e (x, y) = w e (M x, N y) og ulike blir.. w o (x, y) = w o (M x, N y) M er bredden og N er høyden til et bilde i vårt tilfelle.

10 Diskret Symmetri Vi har følgende resultater fra funksjonsanalyse Produktet av to like funksjoner er en lik funksjon Produktet av to ulike funksjoner er en lik funksjon Produktet av en lik og en ulik funksjon er en ulik funksjon Vi vet også at elementene i en ulik funksjon må summere til 0. Vi får da følgende interessante resultat. M 1 N 1 w e (x, y)w o (x, y) = 0 x=0 y=0

11 Et 1D Eksempel på Lik Funksjon La oss ta en titt på et enkelt eksempel i en dimensjon. f (x) = [2, 1, 1, 1] Vi ser at M = 4, som betyr at f (x) = f (4 x) må være oppfylt for at funksjonen skal være lik. f (0) = f (4) siden 4 faller på utsiden (kan være hva som helst) f (1) = f (3) f (2) = f (2) Vi kan konkludere at funksjonen er lik. Alle funksjoner med 4 elementer må ha følgende form for å være lik. f (x) = [a, b, c, b]

12 Et 1D Eksempel på Ulik Funksjon Under har vi et nytt eksempel. f (x) = [0, 1, 0, 1] Vi ser at M = 4, som betyr at f (x) = f (4 x) må være oppfylt for at funksjonen skal være ulik. f (0) = 0 som er påkrevd f (1) = f (3) f (2) = 0 som er påkrevd for funksjoner hvor M er et partall Vi kan konkludere at funksjonen er ulik. Alle funksjoner med 4 elementer må ha følgende form for å være ulik. f (x) = [0, b, 0, b] Alle funksjoner hvor M er et partall har f (0) = 0 og f (M/2) = 0, mens de resterende bare har f (0) = 0

13 Et 1D Eksempel Vi fant at [0, 1, 0, 1] er ulik, men hva med den tilsynelatende ulike f (x) = [0, 1, 0, 1, 0] Vi ser at M = 5, som betyr at f (x) = f (5 x) må være oppfylt for at funksjonen skal være ulik. f (0) = 0 f (1) f (4) Denne er altså ikke ulik (den er heller ikke ulik).

14 Et 2D Eksempel Det samme gjelder for to dimensjoner Denne er ulik. Hvis vi hadde lagt til en rad og en kolonne hadde den ikke vært hverken lik eller ulik.

15 Symmetriske Egenskaper En mye brukt egenskap er den Fourier-transformerte av en reell funksjon f (x, y) er konjugert symmetrisk (conjugated symmetric). F (u, v) = F ( u, v) Hvis f (x, y) er imaginær så er den Fourier-transformerte konjugert antisymmetrisk. F ( u, v) = F (u, v)

16 Symmetriske Egenskaper f (x, y) real F (u, v) = F ( u, v) f (x, y) imaginary F ( u, v) = F (u, v) f (x, y) real R(u, v) even; I (u, v) odd f (x, y) imaginary R(u, v) odd; I (u, v) even f ( x, y) real F (u, v) complex f ( x, y) complex F ( u, v) complex f (x, y) complex F ( u, v) complex f (x, y) real even F (u, v) real even f (x, y) real odd F (u, v) imaginary odd f (x, y) imaginary even F (u, v) imaginary even f (x, y) imaginary odd F (u, v) real odd f (x, y) complex even F (u, v) complex even f (x, y) complex odd F (u, v) complex odd

17 Fourier-Spektrum og Fasevinkel Siden DFT er kompleks så kan vi utrykke den på polarform F (u, v) = F (u, v) e jφ(u,v) Magnituden til F (u, v) kalles Fourier-spektrum (frekvensspektrum) og kan finnes med.. F (u, v) = [R 2 (u, v) + I 2 (u, v)] 1/2 Fasevinkelen (phase angle) kan finnes med.. [ ] I (u, v) φ(u, v) = arctan R(u, v) Power-spectrum kan finnes med.. P(u, v) = R(u, v) 2 + I (u, v) 2

18 Egenskaper ved Fourier-Spektrum og Fasevinkel Fourier-transformasjonen til en reell funksjon er konjugert symmetrisk. Dette impliserer at Fourier-spektrumet er lik. F (u, v) = F ( u, v) Fasevinkelen er ulik φ(u, v) = φ( u, v)

19 Et Eksempel Under har vi et enkelt bilde og dets Fourier-transformasjon.

20 Et Eksempel Under har vi dets Fourier-transformasjon etter at funksjonen er multiplisert med ( 1) x+y.

21 Et Eksempel Under har vi dets log transformerte Fourier-transformasjon etter at funksjonen er multiplisert med ( 1) x+y.

22 Et Eksempel med Translering Under har vi et lignende bilde, bare translert, og dets Fourier-transformasjon. Merk den Fourier-transformerte er lik som ved det opprinnelige bildet.

23 Et Eksempel med Translering Under har vi et lignende bilde, bare translert, og dets Fourier-transformasjon.

Like dokumenter

Fourier-Transformasjoner

Fourier-Transformasjoner Lars Vidar Magnusson February 5, 2018 Delkapittel 4.1 Background Delkapittel 4.2 Preliminary Concepts Delkapittel 4.3 Sampling and the Fourier Transform of Sampled Functions Delkapittel