Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. 7.1 Stokastisk prosess Lineær prediktor AR-3 prosess...

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. 7.1 Stokastisk prosess Lineær prediktor AR-3 prosess..."

Kaare Jakobsen
4 år siden
Visninger:

1 Stavanger, 1. september 013 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE500 Signalbehandling, 013. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. Innhold 7.1 Stokastisk prosess Lineær prediktor AR-3 prosess Løsningsforslag, øving Stokastisk prosess a) Hvis simultan pdf (sannsynlighetstetthetsfunksjonen), og dermed alle stokastiske egenskaper, til den stokastiske prosessen x(n) er uavhengig av tidsskift (tidssteget n) så er prosessen strengt stasjonær. f x(n) (x) = f x(m) (x), m Med simultan mener vi pdf-en for alle tidssteg samtidig, cdf er da F x(n) (x) = Prob[, x(n 1) x 1, x(n) x 0, x(n + 1) x 1, Merk at x her er brukt i to betydninger samtidig, som subskript for å vise til et navngitt signal og med subskript for bestemte verdier, input argument i cdf. Svakt satsjonær (eller bare stasjonær) hvis E[x(n) = µ x, konstant og uavhengig av n Karl Skretting, Institutt for data- og elektroteknikk (IDE), Universitetet i Stavanger (UiS), 4036 Stavanger. Sentralbord Direkte E-post: karl.skretting@uis.no.

2 r xx (l; n) = E[x(n)x (n l) = r xx (l) rxx(0) = E[ x(n) <, (effekt signal) b) med µ x = 0 r xx (m) = E[x(n)x (n m) = E[x(n)x (n + m) σ x = E[ x(n) µ x σ x = E[ x(n) = E[x(n)x (n) = r xx (0) Videre ser vi på r xx (m) og følger hintet E[ x(n + m) x(n) = E[(x(n + m) x(n))(x(n + m) x(n)) = E[(x(n + m) x(n))(x (n + m) x (n)) = E[x(n + m)x (n + m) x(n + m)x (n) x(n)x (n + m) + x(n)x (n) = E[x(n+m)x (n+m) E[x(n+m)x (n) E[x(n)x (n+m)+e[x(n)x (n) som gir = r xx (0) r xx (m) r xx (m) + r xx (0) 0 r xx (0) r xx (m) Det vil si at en zero-mean stokastisk prosess sin autokorrelasjonsfunksjon for m = 0 (altså σ x = r xx (0) = E[x(n)x (n)) er den høyeste verdien for autokorrelasjonsfunksjon, et sample er mer korrelert med seg selv enn noe annet sample. r xx (m) gir et mål på hvor mye et sample i prosessen er korrelert til samplet m tidssteg før (eller etter). c) Wiener-Kinchine: S xx (ω) = F{r xx (m)} = r xx (m) = F 1 {S xx (ω)} = 1 π m= r xx (m)e jωm S xx (ω)e jωm dω S xx (ω) er effektspektraltetthet og brukes til å studere frekvensegenskaper til signalet. Fouriertransformen eksisterer ikke for stasjonære stokastiske prosesser (signaler) fordi de har uendelig energi. Ved å bruke S xx (ω) ut fra r xx (m) kan en likevel studere hvordan energien er fordel for de ulike frekvenser (frekvensområder). d) S xx (ω) =, (hvitt signal/støy)

3 r xx (m) = F 1 {S xx (ω)} = 1 π e jωm dω = 1 π e jωm dω Integralet her blir 0 for alle m ulik 0, og for m = 0 blir det π. Altså {, m = 0 r xx (m) = δ(m) = 0, ellers. 7. Lineær prediktor ˆx(n) = a 1 x(n 1) a x(n ). Optimal prediktor fås når vi minimerer E[ ˆx(n) x(n) med hensyn på koeffisientene {a 1, a }. E[ ˆx(n) x(n) = E[( a 1 x(n 1) a x(n ) x(n)) = E[(a 1 x(n 1) + a x(n ) + x(n)) (a 1 x(n 1) + a x(n ) + x(n)) = E[a 1 x(n 1)a 1 x(n 1) + E[a 1 x(n 1)a x(n ) + E[a 1 x(n 1)x(n) +E[a x(n )a 1 x(n 1) + E[a x(n )a x(n ) + E[a x(n )x(n) +E[x(n)a 1 x(n 1) + E[x(n)a x(n ) + E[x(n)x(n) = a 1rxx(0) + a 1 a r xx (1) + a 1 r xx (1) +a a 1 r xx (1) + a r xx (0) + a r xx () +a 1 r xx (1) + a r xx () + r xx (0) (a 1 + a + 1)r xx (0) + (a 1 a + a 1 )r xx (1) + a r xx () Deriverer nå uttrykket over med hensyn på koeffisientene {a 1, a } og setter at dette skal være 0. d da 1 ( ) = a 1 r xx (0) + (a + )r xx (1) = 0 r xx (0) a 1 + r xx (1) a = r xx (1) d da ( ) = a r xx (0) + a 1 r xx (1) + r xx () = 0 r xx (1) a 1 + r xx (0) a = r xx () Disse to ligningen kan skrives på matriseform [ [ rxx (0) r xx (1) a1 = r xx (1) r xx (0) Eller med fornuftig definerte vektorer og matriser a R a = r (1) [ rxx (1) r xx () 3

4 7.3 AR-3 prosess Vi har en AR-3 prosess der x(n) tenkes modellert ved x(n) = a 1 x(n 1) a x(n ) a 3 x(n 3) + w(n), der w(n) er hvit. x(n) kan også ses på som utgang av et (kausalt) IIR-filter med impulsrespons {h(l)} og med inngang w(n): x(n) = og da har vi også x(n + k) = Fra AR-3 modellen har vi h(l)w(n l) h(l)w(n + k l) x(n) + a 1 x(n 1) + a x(n ) + a 3 x(n 3) = w(n) Denne ligningen multipliserer vi med x(n + k) på begge sider av likhetstegnet og tar forventningsverdien, merk at på høyresiden uttrykkes x(n + k) som en konvolusjonssummen over. Vi får E Nå får vi [( ) x(n) + a 1 x(n 1) + a x(n ) + a 3 x(n 3) = E [ w(n) h(l)w(n + k l) r xx (k) + a 1 r xx (k + 1) + a r xx (k + ) + a 3 r xx (k + 3) = h(l) E [w(n)w(n + k l) = = x(n + k) h(l) r ww (k l) h(l) σw δ(k l) = h(k) σw Siden h(l) er impulsresponsen til et kausalt IIR-filter er h(k) = 0 for k < 0. x(n) er reellt WSS signal og har r xx ( k) = r xx (k) Når vi bruker dette på uttrykket over får vi ei ligning for hver k k = 1 r xx (1) + a 1 r xx (0) + a r xx (1) + a 3 r xx () = 0 k = r xx () + a 1 r xx (1) + a r xx (0) + a 3 r xx (1) = 0 k = 3 r xx (3) + a 1 r xx () + a r xx (1) + a 3 r xx (0) = 0 4

5 Dette er tre lineære ligniger med tre ukjente a 1, a og a 3. Men det er enda en ukjent som skal finnes, nemlig σ w. Denne kan finnes med ligningen en får med k = 0 k = 0 r xx (0) + a 1 r xx (1) + a r xx () + a 3 r xx (3) = h(0) σ w h(0) er responsen fra IIR-filteret, altså x(n), når inngangssignalet, altså w(n), er en impulsrespons. For impulsresponsen har en (fra ligning gitt i oppgaven) h(n) = a 1 h(n 1) a h(n ) a 3 h(n 3) + δ(n), og med kausalt IIR-filter, h(k) = 0 for k < 0, får vi da h(0) = 1. Ligningene for k = 0, 1,, 3 skrives på matriseform r xx (0) r xx (1) r xx () r xx (3) 1 σw r xx (1) r xx (0) r xx (1) r xx () r xx () r xx (1) r xx (0) r xx (1) a 1 a = 0 0 r xx (3) r xx () r xx (1) r xx (0) a 3 0 [ [ 1 σ på matriseform: R 4 = w a 0 Der R 4 er den 4 4 autokorrelasjonsmatrisa (med r xx (0) langs hoveddiagonalen), a er en 3 1 vektor med de tre ukjente a-ene og 0 er en 3 1 vektor med bare nullere. Det er gjerne hensiksmessig å dele dette opp slik at de ukjente lettere kan isoleres, og dermed kan likningene enkelt løses (med Matlab). Vi skrver da R 3 a = r 3 (1) Der R 3 er 3 3 autokorrelasjonsmatrisa og r 3 (1) her er korrelasjonsvektor som starter med r xx (1) og har tre elementer, dimensjon 3 1. a som over. Vi ser at vi får nøyaktig samme ligning for koeffisientene som om vi skulle konstruere en optimal 3dje ordens lineær prediktor, se resultat i forrige oppgave. Når ligningen over er løst finner en variansen direkte med σ w = r xx (0) + a T r 3 (1) 5

Like dokumenter

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning.

Stavanger, 6. august 013 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE500 Signalbehandling, 013. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. Innhold 5.1 Implementering av IIR filter....................