Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas.

Transkript

1 Stavanger, 26. juni 2017 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Innhold 5 To-tank system Differensialligninger for systemet Ventil- og punpekarakteristikk Linearisering og diskretisering Utvidet Kalman-filter på SimuLink modell Utvidet Kalman-filter på målte data To-tank system. Denne øvinga er basert på totankanlegget på rom E-459. Mange av dere har brukt dette før i (videregående) reguleringsteknikk med Tormod Drengstig. I forbindelse med denne øvinga bør dere igjen se på det dere eventuelt har gjort før. Spesielt bør dere se på oppgaven med forklaring av anlegget. Uansett, nedenfor er listet nødvending informasjon om totankanlegget og relevant teori. totank1.pdf, av Tormod Drengstig, øving 1 i MIK140 for noen år siden, med nødvendig beskrivelse av prosessen notat1.pdf, spesielt delene om linearisering og diskretisering av tilstandsrommodell, kapittel 3.1 og 3.4. notat3.pdf inneholder utledningen av Kalman-filter. Karl Skretting, Institutt for data- og elektroteknikk (IDE), Universitetet i Stavanger (UiS), 4036 Stavanger. Sentralbord Direkte E-post: karl.skretting@uis.no.

2 q 3 To-tank system x 1 q 2 u 1 q 1 u 2 x 2 P u 3 Stor tank y = x 2 Figur 1: Prinsippskisse av to-tank system. 5.1 Differensialligninger for systemet u 1 u 2 u 3 x 1 x 2 y Figur 2: Enkel skisse av to-tank systemet slik vi ser det her. I totank1.pdf blir prosessen betraktet som to sammenkoblede system, et for hver tank. Systemene beskrives av differensialligningene, ligningene (11) og (12) i totank1.pdf. Vi ser her på begge tankene i totankanlegget som ett system, helt enkelt skissert i figur 2. Vi forenkler her notasjonen noe, ved å bruke litt kortere navn på noen av signalene og konstantene, og ved å sløyfe argumentet (t), eller hvis det er diskretisert (k), for signalene, se tabell 1. Funksjoner, signaler og konstanter skilles ikke alltid helt tydelig fra hverandre i notasjonen, men når en vet hva 2

3 Symbol her Symbol i totank1 Kommentar LV001 Ventil ved utløp av tank 1 LV002 Ventil ved utløp av tank 2 PA001 Pumpe fra resovoar til tank 1 h 1 (t), h 2 (t) Vannivå i tank 1, tank 2 h LV 001, h LV 002 Høyde fra avløpsventil til bunn av tank. x 1 h 1 (t) + h LV 001 Tilstandsvariabel for tank 1 x 2 h 2 (t) + h LV 002 Tilstandsvariabel for tank 2 c K v 3600 ρ g/ En konstant som samler flere størrelser, K v = K v,lv 001 = K v,lv 002 u 1 z LV 001 (t) Pådrag, ventilåpning for LV001 u 2 z LV 002 (t) Pådrag, ventilåpning for LV002 u 3 u P A001 (t) Pådrag til pumpe PA001 f V f 1, f 2 En funksjon for ventilkarakteristikken f P f 3 En funksjon for pumpekarakteristikken se del 4.2 og del 4.5 i totank1 q 1 q LV 001 (t) q 2 q LV 002 (t) Volumstrøm i LV001, q 1 = cf V (u 1 ) x 1 Volumstrøm i LV002, q 2 = cf V (u 2 ) x 2 q 3 q P A001 (t) Volumstrøm fra pumpe PA001, q 3 = f P (u 3 ) For ventilligning se del 4.1 i totank1 og for pumpe se del 4.5 i totank1 b 1 1/A 1 Den inverse av arealet i tank 1, her b 1 = 100 b 2 (x 2 ) 1/A 2 ( h2 (t) ) Den inverse av arealet i tank 2, merk h 2 = x 2 h LV 002 som med ligning 13 i totank1 gir b 2 (x 2 ) = 1/(0.07x ) Tabell 1: Tabell med oversikt over symboler brukt her og i totank1. Merk at volumstrømmene er funksjoner av tilstand og pådrag, q 1 (x 1, u 1 ) og q 2 (x 2, u 2 ) og q 3 (u 3 ). 3

4 symbolet representerer bør misforståelser unngås. Også for den tidsderiverte bruker vi enklere notasjon, for eksempel x 1 = x 1 (t) eller x 1 = x 1 (k) og ẋ 1 = dx 1(t) dt (1) For derivering med hensyn på variabler bruker vi full notasjon med symbol for partiell deriverte unntatt hvis det kun er en variable der vi bruker derivertmerket. For eksempel har vi her, i {1, 2}, q i = cf V (u i ) x i 2 = q i(x i, u i ) x i 2x i q i u i = c x i f V (u i ). (2) a. Vis at b 2 (x 2 ) = 1/(0.07x ). b. Vis at differensialligningene for systemet nå kan skrives Måleligningen er helt enkel y = x 2. ẋ 1 = b 1 ( q3 (u 3 ) q 1 (x 1, u 1 ) ) (3) = b 1 ( fp (u 3 ) cf V (u 1 ) x 1 ) ẋ 2 = b 2 (x 2 ) ( q 1 (x 1, u 1 ) q 2 (x 2, u 2 ) ) (4) = b 2 (x 2 ) ( cf V (u 1 ) x 1 cf V (u 2 ) x 2 ) 4

5 5.2 Ventil- og punpekarakteristikk Dette har Tormod forklart ganske grundig i del 4 i totank1.pdf. Her, i ligningene (3) og (4), er f V ventilkarakteristikk for hver av de to like ventilene. Uttrykket som ble benyttet for denne funksjonen i totank1.pdf (ligning 6) er f V (z) = 1 e 1 1 (ez1.2 1) (5) Når disse funksjonene skal brukes trenger en å kunne finne verdier og den deriverte for argument mellom 0 og 1. I totank1 ble det gjort på samme måte for både f V og f P, nemlig ved å tilnærme de med et polynom av høy orden. Det er ofte en god måte, men det er flere alternativer. For ventilkarakteristikken kan en her like gjerne bruke (5) direkte, den kan deriveres til f V (z) = d dz f V (z) = 1.2 e 1 1 z0.2 e z1.2 (6) For pumpekarakteristikken, her f P, ble funksjonen definert ut fra en tabell. I Matlab kan det gjøres med %% Pumpekarakteristikk (loggede sammenhenger) u_pa001 = [ ]; q_pa001 = [ ]; q_pa001 = q_pa001/60000; % liter/min -> m3/s fp interp1(u_pa001, q_pa001, x); I Matlab kan også funksjoner tilnærmes med piecewise polynomial, for eksempel spline som gir kontinuerlig og deriverbar funksjon også i overgangene mellom de ulike intervallene. Ved å ha alle intervallene mellom tabellpunktene som egne områder, og tilnærme disse med rette linjer så får en lineær interpolasjon, dette er også et vanlig alternativ. Men det er gjerne litt verre med den deriverte siden den ikke er kontinuerlig for den stykkevis lineære funksjonen. En kan imidlertid, ut fra de gitte punkt, lage en tabell også for den deriverte. Matlab-funksjonen interp1 kan brukes for interpolering i tabellen, omtrent tilsvarende som SimuLink-blokka Lookup Table. Denne tabellen kan lages på flere måter, alt etter hvordan en gjør det i overgangen mellom linjestykkene. En kan ha trappetrinnsfunksjon eller linjer mellom midtpunkt i trappetrinnene. c. Velg en hensiktsmessig metode. Lag en tabell for den deriverte av pumpefunksjonen, gi Matlab-kode i løsningen. Plott også funksjonen. 5

6 5.3 Linearisering og diskretisering Systemet skal nå diskretiseres, med Eulers forovermetode, og lineariseres. Diskretisering er da som i notat1 kapittel For lineariseringen, etter Eulers forovermetode, får en da her at Φ = Φ(k) = (x + T ẋ) x og Γ = A (x + T ẋ) u (7) A Tidsteget er T og x er tilstandene og u pådragene, merk at x og u er vektorer. ẋ er differensialligningene i (3) og (4) samlet som en vektor. Arbeidspunktet, A, ved et bestemt tidspunkt t, eller et bestemt tidssteg k, er eller A = {h 1, h 2, u 1, u 2, u 3 } (8) A(t) = {h 1 (t), h 2 (t), u 1 (t), u 2 (t), u 3 (t)}. d. Vis at når en lineariserer i arbeidspunktet A så får en [ 1 T b 1 q 1 2x Φ = 1 ( 0 1 T 0.07 b 2 2 (q 1 q 2 ) + b 2 q 2 T b 2q 1 2x 1 2x 2 ) ] (9) og Γ = T [ b1 c x 1 f V (u 1) 0 b 1 f P (u 3) b 2 c x 1 f V (u 1) b 2 c x 2 f V (u 2) 0 ] (10) For at dette skal stemme med hensyn til enheter så må b 1 og b 2 ha enhet [m 2 ] og b 2 2 har da enhet [m 4 ], konstanten 0.07 som inngår i Φ 22 må da ha enhet [m], helt i tråd med formelen nederst i tabell 1. e. Hva er enhet på f V (u 1)? 5.4 Utvidet Kalman-filter på SimuLink modell I denne oppgaven skal dere kjøre og forstå en SimuLink modell som er laget fra før, totankekf.mdl. Det er også laget ei Matlab m-fil som setter verdi til en del variabler (i workspace), laster et datasett, og kjører en SimuLink modell og lager figurer med resultatet, ov5sim.m. Deres jobb er i første omgang å forstå de ulike delene av SimuLink modellen. Modellen er i øverste halvdel av figuren, og Kalmanfilteret er i nederste halvdel. Til høyre er et scope, det viser resultatene. Likevel fortrekker vi her å lage egne figurer med Matlab for å presentere resultatene nøyaktig slik vi ønsker det. Det er data som eksporteres til variabelen KFhist som da plottes. Dere må også forstå Matlab m-fila og den embedda Matlab-funksjonen, det ser kanskje enkelt ut men ikke la dere 6

7 lure, det er mange detaljer som må stemme overens for at dette skal virke. Til slutt må dere også forstå, og forklare, resultatene. Modell for simulering og tilhørende utvidede Kalmanfilteret er implementert som vist i figur 3. Modellen inneholder to deler som vist i figur 4 og tank 1 er videre vist i figur 5. Tank 2 er ikke vist her i oppgaven, men dere bør også åpne, se og forstå denne. Selve koden for Kalmanfilteret er i Embedded MATLAB Function, fcnekf. Det er et begrenset utvalg av Matlab-kommandoer som er tilgjengelige i en embedda funksjon. Det utvida Kalmanfilteret er laget ganske slavisk etter malen i del 5 i notat3.pdf. Dere må se grundig på fcnekf-funksjonen, og forstå det som gjøres, merk spesielt hvilke innganger og utganger som er definert og hvordan de brukes. For eksempel brukes ikke måling y1 av selve Kalmanfilteret, men må være med som inngang siden den er med som utgang i KFdata (KFhist). I figurene 6, 7 og 8 viser resultater som en får med ov5sim.m og data valgt som i oppgave f nedenfor. Dere skal nå lage nøyaktig de samme figurer, og så 3 nye sett. Altså: f. Datasettet tankdata. Prosesstøyen Q v = er en tuningsparameter som defineres i workspace. Den andre tuningsparameteren, målestøyen, settes fast i Kalmanfilteret. Hva er denne? Resultatene er her laget og viser i figurene 6, 7 og 8. g. Datasettet tankdata, Q v = Lag figurene som viser resultatene her. h. Datasettet tankdata, Q v = Lag figurene som viser resultatene her. i. Datasettet tankdata2, Q v = Lag figurene som viser resultatene her. Svar så på følgende spørsmål. j. Hva skjer med forsterkningsfaktoren K 1 når tuningsparameter Q v endres? Forklar hvorfor dette er rimelig. k. Hva skjer med kovariansmatrisa, her kun element (1,1) altså ˆP 1,1, når tuningsparameter Q v endres? Forklar hvorfor dette er rimelig. l. For datasettet tankdata2 (og Q v = ) så er det et konstant avvik mellom estimert høyde og målt høyde for tank 1 til å begynne med, og så etter ca 50 sekund et stort fall i estmert høyde. Prøv å forklare dette. 7

8 5.5 Utvidet Kalman-filter på målte data Dere så (forhåpentligvis) i forrige del at Kalman-filter følger modellen svært bra, begge er jo basert på de samme ligninger. For datasettene så er det også med målte verdier. Her skal dere nå se hvordan samme Kalman-filter stemmer med virkelige data. Dere skal nå endre SimuLink modellen til å bli som vist i figur 9, og ny modell lagres som i figur totankekf2.mdl. Forskjellen fra før er at modellen av totankanlegget er tatt bort og (de simulerte) målingene er erstattet av data (som er virkelige målinger fra vårt totankanlegg). Et tredje alternativ kunne vært å sette inn den virkelig prosessen her, og dermed bruke online målinger mens prosessen kjører. Men siden Kalmanfilteret her ikke brukes for regulering, det vil si styre pådragene, så er det like greit å ha Kalmanfiltereret offline slik som i totankekf2.mdl. Kjør nå det utvidede Kalman-filteret som nedenfor og lag figurer tilsvarende figurene 6, 7 og 8. m. Her brukes totankekf2.mdl med datasettet tankdata, Q v = Må den embedda funksjonen endres for å virke i den nye modellen? Forklar i så fall hvilke (små justeringer) som må gjøres, eller hvorfor en muligens ikke trenger å gjøre noen endringer i det hele. n. Nå brukes totankekf2n.mdl med datasettet tankdata, Q v = totankekf2n.mdl er identisk med totankekf2.mdl med en viktig endring som gjør at dere nå skal bruke målingen av tank 1 (en gang) hvert 20 sekund i Kalmanfilteret. Den embedda funksjonen, nå gjerne med navn fcnekf2n, må dermed endres slik at en har en hovedvariant for de flest steg (uten måling av tank 1) og en variant som bare brukes en gang hver 20/0.07 gang (uten måling av tank 1 tas med). 8

9 Figur 3: Simulinkmodellen av totanksystem med utvidet Kalman-filter. Systemet er i den grå Modell av totanksystem-boksen, som viser i figur 4. Den har de tre pådragen som innganger, de grønne boksene til venstre, og resultatet vises på Scope-boksen. Både linearisering og Kalmanfilteret er implementert som en Embedded MATLAB Function, fcnekf. Det utvidede Kalmanfilteret har pådrag og målinger som innganger, legg merke til at det er flyt i pumpe fp som er inngang her og ikke pådraget til pumpe u3. Måling y1 brukes normalt ikke. Utgangen KFdata er mange verdier som for hvert steg legges til en variabel i arbeidsområdet, KFhist. KFstateInn og KFstateUt er tilstanden for Kalmanfilteret som må lagres fra et steg til neste, initielle verdier ˆP (0) og ˆx(0) er i Unit Delay-boksen. Tuningsparametre (unntatt Qv), og konstanter, er gitt dirkete inn i fcnekf-funksjonen. 9

10 Figur 4: Simulinkmodellen av totanksystemet for simulering. Figur 5: Simulinkmodellen av tank 1 i totanksystemet. Dette er som Tormod laget det i MIK140, med et lite tillegg som viser nederst til høyre i figuren. En har en terskel på nivået slik at hvis det er under ei grense så blir flyt i utløpsventilen null. Figur 6: Simuleringsresultat for tank 1. Datasettet tankdata, Qv =

11 Figur 7: Simuleringsresultat, kovariansmatrise og forsterkningsfaktor. Datasettet tankdata, Qv = Figur 8: Simuleringsresultat for tank 2. Datasettet tankdata, Qv =

12 Figur 9: Simulinkmodellen av totanksystem med utvidet Kalman-filter. Her med målte data i stedet for modell. 12