7 Tilstandsestimering for smelteovn.

Transkript

1 Stavanger, 9. august 2016 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. Innhold 7 Tilstandsestimering for smelteovn Simulering Estimering Utvidet måling Lengre tidssteg Noe relevant Matlab-kode Tilstandsestimering for smelteovn. I øving 6 modellerte og diskretiserte dere en smelteovn. Denne diskrete modellen skal så brukes med en tilstandsestimator basert på et generelt Kalman-filter. Som et utgangspunkt for Matlab-fil(er) dere skal lage i denne oppgaven er det på slutten i dette dokumentet med en del Matlab-kode. Herfra kan dere kanskje finne nyttige hint til hvordan dere kan løse ulike deler av oppgaven. La oss repetere systemet. Vi skal utvikle en tilstandsestimator for temperaturen i en ovn som består av en metallsmelte. Vi antar at smelten er agresssiv mot konvensjonelle temperatursensorer (f.eks. PT100 element), og at disse vil ha redusert levetid under kontinuerlig bruk. Eneste tilgjengelige kontinuerlige måling er kjølevannstemperaturen til ovnen. En prinsippskisse av ovnen er gitt i figur 1. Karl Skretting, Institutt for data- og elektroteknikk (IDE), Universitetet i Stavanger (UiS), 4036 Stavanger. Sentralbord Direkte E-post: karl.skretting@uis.no.

2 Q s T i F kv T kv F kv T s m s c p,s h A T kv m kv c p,kv hvor: T s - temperatur i smelten [K] (tilstand1/måling1) T kv - Kjølevannstemperatur [K] (tilstand2/måling2) T i - Temperatur på kjølevann inn [K] c p,s - Spesifikk varmekapasitet i smelte [J/K kg] c p,kv - Spesifikk varmekapasitet i kjølevann [J/K kg] h A - Produktet av varmeoverføringskoeffisient og areal mellom smelte og kjølevann [J/K s] Q s - Effektpådrag i smelten [J/s] F kv - flow av kjølevann [kg/s] m kv - mengde kjølevann i kappen [kg] m s - mengde smelte [kg] Figur 1: Prinsippskisse av smelteovn. 2

3 7.1 Simulering I mangel på en virkelig prosess med virkelige målinger kan man benytte modellen som vi nå har utviklet til å generere tenkte målinger fra prosessen. Dette hadde vi ikke behøvd å gjøre om vi hadde tilgang til virkelige målinger. Følge prosess- og målestøy er brukt ved simulering: Initielle verdier for tilstandene x start = [810, 77] T. Sampleintervall T = 30 sekund. Standardavvik for målestøy w lik 0.2 [ C]. Standardavvikene for (de kontinuerlig) prosesstøyene v 1 og v 2 er antatt å være i størrelseområdet [ C/s]. Siden varians for kontinuerlig prosesstøy kan akkumuleres opp til varians for (diskret) prosesstøy, når en antar hvit støy (ny støy uavhengig av tidligere støy, men lik sannsynlighetsfordeling), får en et diskret standardavvik på omtrent 0.4 [ C per tidssteg] med T = 30 [s]. Dette skal vises i oppgave 7.2.a. Simulator for de 2 tilstandene i smelteprosessen, T s og T kv, er laget, koden viser i slutten av dette dokumentet. Prøv å sette dere inn i hvordan denne genererer signalene, spesielt hvordan de ulike støyledd virker. Simulering gjøres med den diskretiserte modellen. Merk at simulatoren krever at Φ og Γ er satt riktig. Etter at simulering er gjort kan en plotte pådrag og simulerte (virkelige) tilstander, dette er gjort her og vises i figur 2. Dere skal her simulere prosessen og sjekke at dere får samme resultat som vist i oppgaven. 7.2 Estimering Dere skal her lage en estimator basert på et prediktor-korrektor Kalman-filter. Når det gjelder initialtilstander kan en legge merke til at ligningene som oppsummerer Kalman-filteret i del 3 i notat3 krever initielle verdier. Disse kan være gitt som enten 1. ˆx(k 1) og ˆP (k 1), eller 2. x(k) og P (k), når første steg en kjører Kalman-filteret for er for steg k. Merk at i tilfelle b utfører en da ikke de to første ligningene førse gang siden en har gitt (gjettet) disse verdiene. Nedenfor antar en at apriori-estimatene er gitt, tilfelle b. 3

4 Figur 2: Figur som viser pådrag og simulerte tilstander. 4

5 I Matlab starter en indeksering med 1, slik at det er naturlig å starte med k = 1 som første steg, (ikke k = 0 som vi ofte har brukt ellers). En kan legge merke til at tidspunkt for hvert tidsteg er i vektoren t, gitt i timer med desimalverdi etter komma. En ser at t(1)=0, t(2)=0.0083, 30 sekund er 30/3600=1/120= Dere skal nå kjøre Kalman-filteret med ulike initialverdier som gitt i tabellen nedenfor. x T (1) er startverdi for estimator (her i grader Celcius). x(k) er som x(k) en kolonnevektor, i tabellen står den transponerte og det er da en linjevektor. P er startverdi for kovariansmatrisen til estimeringsavviket. Merk: R v er prosesstøy-matrisen Q. Her lar vi denne matrisa være diagonal, og har altså v 1 uavhengig av v 2, noen som forøvrig ikke er et krav for Kalman-filteret. Og til slutt R w er målestøy-matrise R. Q = R v og R = R w er matriser der en kan for estimering prøve ulike verdier for å se hvordan det påvirker konvergensegenskaper for Kalman-filteret. x T (1) [ C] P (1, 1) P (2, 2) R v (1, 1) R v (2, 2) R w 1 [810,77] [810,77] [810,77] [810,77] [830,80] [830,80] [830,80] Prøv gjerne noe mer her Svar på følge spørsmål. a. Vis hvordan en kan finne standardavvik for prosesstøy (til bruk under simulering) ut fra kontinuerlig prosesstøy. Standardavvikene for (de kontinuerlig) prosesstøyene v 1 og v 2 er antatt å være i størrelseområdet [ C/s]. b. Lag kurver med virkelig (det vil si de simulerte) og de estimerte verdiene for smeltetemperatur og kjølevannstemperatur. Hvilken temperatur klarer en best å estimere, forklar hvorfor. c. Lag kurver som viser hvordan elementene i K og diagonalelementene i ˆP utvikler seg med tiden. Forklar hvorfor en her får ulike verdier ved ulike initialverdier, hva er sammenhengen mellom initialverdiene og de stasjonære verdier? d. Se på resultene for simulering når initialtilstandene er mye feil, linje 5-7 i tabellen. Hvor lang tid tar det før filteret har svinget seg inn? Hvorfor svinger kjølevannstemperaturen seg raskere inn enn smeltetemperaturen? 5

6 e. Se på resultene for simulering når initialtilstandene er som i linje 3-4 i tabellen. Forklar betydningen av forholdet R v /R w. f. Se på resultene for simulering når initialtilstandene er som i linje 6 i tabellen. Hvorfor blir estimert smeltetemperatur så glatt. Hvorfor blir K(1) (og K(2)) så liten? g. Hvorfor har elementet ˆP (1, 1) generelt større verdi enn ˆP (2, 2)? 7.3 Utvidet måling Anta at en operatør måler smelte temperaturen annenhver time, første gang etter en halv time. og legger denne informasjonen inn i styresystemet av prosessen. Utvid estimatoren (Kalman-filteret) med denne målingen og studer hvordan estimatet av smeltetemperaturen oppdateres når målingen er tilgjengelig. Her er standardavviket for målingen 1. Tips: Med to separate målinger vil D matrisen vanligvis være [ ] (1) mens den vil skifte til [ 1 ] i akkurat det samplet som målingen foregår. Altså er D tidsvariere, en har D(k). Husk også å utvide andre aktuelle matriser, vektorer, lagringsmatriser. Startverdier: (2) x T (1) [ C] P (1, 1) P (2, 2) R v (1, 1) R v (2, 2) R w (1, 1) R w (2, 2) 11 [830,80] Prøv gjerne noe mer her Hvordan ser elementene i P matrisen nå ut? Hvorfor? 7.4 Lengre tidssteg. En vil nå kjøre estimering med lengre tidsteg, T = 120 sekund. Er dette greitt i forhold til systemets egenverdier? Hvor stort kunne en da gjerne satt tidssteget? 6

7 De simulerte data beholdes, men samples ned med en faktor fire, det vil si at en bare beholder samplene for k = 4, 8, 12,..., 4000, i alt 1000 sampler. Hvordan dette kan gjøres i Matlab viser i vedlagte eksempelkode. Kjør så estimering med dette lengre tidssteget med initelle verdier nå som x T (1) [ C] P (1, 1) P (2, 2) R v (1, 1) R v (2, 2) R w 21 [830,80] Prøv gjerne noe mer her Prøv gjerne også andre initielle verdier for å forsikre dere om at programmet nå er riktig. 7.5 Noe relevant Matlab-kode. function res = ov7(no) ov7 ELE620, øving 7 Smelteovn. Løsningsforslag Denne fila har alt en trenger for øving 7 Modellen lages og diskretiseres, så kjøres simulering, før en tar Kalmanfilter for estimering. Til slutt vises en del figurer. ov7(no); no - Hvilket sett av startparametre som skal brukes 0 : viser kun simulering, pådrag og tilstand ellers : de ulike parametersett i oppgaven oktober 2007 Karl Skretting 30 juni 2008, KS 1 august 2013, KS 23 september 2015, KS (liten smelteovn) if (nargin==0); no=0; ; Definisjon av diverse modell/simulator størrelser NoOfSamples = 4000; antall sample som skal simuleres T = 30; steglengde i sekund nx = 2; antall tilstander nu = 2; antall pådrag ny = 1; antall målinger Ti_kv = ; [K], er her et fast pådrag og hele tilstandsrommodellen [A,B,C,D,E,phi,gamma,omega] = ov6trm(t); Pådraget Q_s skal variere noe, dette kan gjøres på flere måter, noen er med nedenfor i de ulike delene. En av disse må være sann. Jeg anbefaler at dere bruker samme pådrag inn på prosessen hver gang dere kjører fila. Dette kan være greit for å kunne sammenligne flere kjøringer. For eksempel som gitt nedenfor. if 0 7

8 if 1 Qlow = ; Qhigh = ; Q_s = Qlow*ones(1,NoOfSamples); Q_s(501:2000) = Qhigh; Q_s(3501:NoOfSamples) = Qhigh; pådrag med steg på "tilfeldige tider" rng(3477); Q_offset = ; [b,a] = butter(4,0.002); et meget lavpass-filter r = filter(b,a,randn(1,noofsamples)); Q_s = 20000*sign(r) + Q_offset; [J/s] [W] if 0 henter fra en fil load Q_s kan ha lagret signalet med følge kommando: save Q_s Q_s Simulator, realiserer prosessen og får (virkelige verdier) fasit for Kalmanfilteret. xsim skal være ukjent for Kalmanfilteret mens ysim mottas fortløpe, en verdi for hvert tidssteg. Tar først spesifikasjon av støy for simulering Std_pros = 0.4; Std_maal = 0.2; Genererer støyen, merk samme varians for prosesstøy til begge tilstander. rng(730); for å få like resultat hver gang Pros_stoy = Std_pros*randn(nx,NoOfSamples); Maal_stoy = Std_maal*randn(ny,NoOfSamples); xsim = zeros(nx,noofsamples); ysim = zeros(ny,noofsamples); t = (T/3600)*(0:(NoOfSamples-1)); t(1) er da tid 0, og videre tid i timer for hvert tidssteg startverdier ved tid 0 er gitt ved simulering xsim(1,1) = ; Ts (smeltetemp) xsim(2,1) = ; Tkv (kjølevannstemp) ysim(:,1) = D*xsim(:,1)+ Maal_stoy(:,1); måling lik Tkv for k = 2 : NoOfSamples SIMULATOR (egentlig prosess) benytter phi og gamma matrisene xsim(:,k) = phi*xsim(:,k-1) + gamma*[q_s(k-1) Ti_kv] +... omega*pros_stoy(:,k-1); ysim(:,k) = D*xsim(:,k) + Maal_stoy(:,k); if (no == 0) viser pådraget og tilstander figure(2); clf; subplot(3,1,1); plot(t,q_s/1000, b- ); V=axis; V(3)=V(3)*0.95;V(4)=V(4)*1.05; axis(v); title( Pådraget Q_s som jeg har brukt det her. ); ylabel( kw ); subplot(3,1,2); plot(t,xsim(1,:)-273, b- ); title( Simulert (virkelig) tilstand x_1 eller T_s. ); ylabel( grader Celsius ) subplot(3,1,3); plot(t,xsim(2,:)-273, b- ); title( Simulert (virkelig) tilstanden x_2 eller T_k_v. ); ylabel( grader Celsius ) xlabel( Tid i timer ); 8

9 print(gcf, -dpng, -r300, ov7sim ); return; if (no > 20) dette er for del 4 av øvinga T = 4*T; ganger T med 4 --> samples=4:4:noofsamples; tar kun hvert fjerde sample NoOfSamples = length(samples); xsim = xsim(:,samples); ysim = ysim(:,samples); Q_s = Q_s(samples); t = t(samples); [phi,gamma,d,e] = c2dm(a,b,d,e,t, zoh ); eventuelt alt [A,B,C,D,E,phi,gamma,omega] = ov6trm(t); Definisjon av resultatmatriser Definer aprioriestimat og aposterioriestimat samt prediktert måling. legg merke til at disse lagres for hvert steg. xapr = zeros(nx,noofsamples); x strek (apriori) xapo = zeros(nx,noofsamples); x hat (aposteriori) Definer kovariansmatriser, (overskrives ved hvert tidssteg) P_apo = zeros(nx,nx); aposteriori, P hat P_apr = zeros(nx,nx); apriori, P strek K = zeros(nx,ny); korreksjonsmatrise for Kalmanfilteret Rv = zeros(nx,nx); eller Q, er fast i hver kjøring Rw = zeros(ny,ny); eller R, er fast i hver kjøring Definer historiedata for (diagonalelement i) kovariansar og korreksjoner P_hist = zeros(nx,noofsamples); K_hist = zeros(nx,noofsamples); Initialverdier, her er verdier som kan passe å starte med if (no==1) nær verdier brukt i simulering, initiell P stor x_start = 273+[810,77] ; P_start = diag([100,100]); Rv = diag([ 0.16, 0.16 ]); Rw = 0.04; if (no==2) nær verdier brukt i simulering, initiell P liten x_start = 273+[810,77] ; P_start = diag([0.01,0.01]); Rv = diag([ 0.16, 0.16 ]); Rw = 0.04; if (no==3) Rv/Rw stor x_start = 273+[810,77] ; P_start = diag([1,1]); Rv = diag([ 100, 100 ]); Rw = ; if (no==4) Rv/Rw liten x_start = 273+[810,77] ; P_start = diag([1,1]); Rv = diag([ , ]); Rw = 100; if (no==5) initial temperatur for høy, Rv/Rw passe 9

10 x_start = 273+[830,80] ; P_start = diag([1,1]); Rv = diag([ 0.16, 0.16 ]); Rw = 0.04; if (no==6) initial temperatur for høy, Rv/Rw liten x_start = 273+[830,80] ; P_start = diag([1,1]); Rv = diag([ , ]); Rw = 100; if (no==7) x_start = 273+[830,80] ; P_start = diag([900,100]); Rv = diag([ 0.16, 0.16 ]); Rw = 0.04; if (no==8) ledig, test noe if (no==9) ledig, test noe if (no==10) ledig, test noe initial temperatur feil og vi vet det if (no==11) x_start = 273+[830,80] ; P_start = diag([1,1]); Rv = diag([ 0.16, 0.16 ]); Rw = diag([ 1, 0.04]); if (no==12) ledig, test noe if ((no >= 11) && (no <= 20)) initial temperatur feil, men ekstra målinger utvidet måling ny = 2; D = [0,0; 0,1]; målinger av T_s har også litt målestøy ysim = [xsim(1,:) + randn(1,noofsamples); ysim]; lengre tidssteg if (no==21) x_start = 273+[830,80] ; P_start = diag([1,1]); Rv = diag([ 0.16, 0.16 ]); Rw = 0.04; if (no==22) Selve estimeringen i Kalman-filteret spesielt for tilfellet no==11 HER MÅ DERE SKRIVE KODE Viser resultatet res = struct( Phist,P_hist, Khist,K_hist, t, t,... Rw,Rw, Rv,Rv, Pstart,P_start, no,no,... xapo,xapo, xapr,xapr, xsim,xsim, ysim,ysim ); if 0 10

11 figure(1); clf; plot(t,xapo(1,:), r, t,xsim(1,:), b-. ); leg( Aposteriori estimat, Virkelig temperatur,1); title(sprintf( P= diag[.4g.4g] Rw=.4g Rv=diag[.4g.4g] \n Smeltetemp,... P_start(1,1),P_start(2,2),Rw, Rv(1,1),Rv(2,2))); xlabel( timer ); if 0 figure(2); clf; subplot(221); plot(t,k_hist(1,:)); title( Optimal forsterkning K(1,1) ); xlabel( timer ); subplot(222); plot(t,k_hist(2,:)); title( Optimal forsterkning K(2,1) ); xlabel( timer ); subplot(223); plot(t,p_hist(1,:)); title( Kovariansmatrisa P(1,1) ); xlabel( timer ); subplot(224); plot(t,p_hist(2,:)); title( Kovariansmatrisa P(2,2) ); xlabel( timer ); if 1 en figur som har med mye figure(2); clf; subplot(321); plot(t,xsim(1,:)-273, b:, t,xapo(1,:)-273, r- ); ylabel( Grader Celcius ); leg( Virkelig temperatur, Aposteriori estimat ); title(sprintf( P= diag[.4g.4g] Rw=.4g Rv=diag[.4g.4g] \n Smeltetemp, initielt.4g [C],... P_start(1,1),P_start(2,2), Rw(1), Rv(1,1),Rv(2,2),x_start(1)-273 )); xlabel( timer ); subplot(322) plot(t,xsim(2,:)-273, b:, t,xapo(2,:)-273, r- ); leg( Virkelig temperatur, Aposteriori estimat ); title(sprintf( Initialverdisett.4g \n Kjølevannstemp, initielt.4g [C], no, x_start(2)-273 )); xlabel( timer ); viser normalt bare de første 500 sampler for matrisene K og P_apo samples=1:500; if (no==11); samples=1:noofsamples; ; subplot(323); plot(t(samples),k_hist(1,samples)); title([ Optimal forsterkning K(1), ved slutt =,num2str(k_hist(1,noofsamples))]); xlabel( timer ); subplot(324); plot(t(samples),k_hist(2,samples)); title([ Optimal forsterkning K(2), ved slutt =,num2str(k_hist(2,noofsamples))]); xlabel( timer ); subplot(325); plot(t(samples),p_hist(1,samples)); title([ Kovariansmatrisa P(1,1), ved slutt =,num2str(p_hist(1,noofsamples))]); xlabel([ timer, P(1,2) =,num2str(p_apo(1,2))]); subplot(326); 11

12 plot(t(samples),p_hist(2,samples)); title([ Kovariansmatrisa P(2,2), ved slutt =,num2str(p_hist(2,noofsamples))]); xlabel([ timer, P(2,1) =,num2str(p_apo(2,1))]); s1=int2str(no); if (no<10); s1=[ 0,s1]; ; print(gcf, -dpng, -r300, [ ov7i,s1] ); if 1 en figur som har med litt mindre figure(1); clf; subplot(211); plot(t,xsim(1,:)-273, b:, t,xapo(1,:)-273, r- ); ylabel( Grader Celcius ); leg( Virkelig temperatur, Aposteriori estimat ); title(sprintf( P= diag[.4g.4g] Rw=.4g Rv=diag[.4g.4g] \n Smeltetemp, initielt.4g [C],... P_start(1,1),P_start(2,2), Rw(1), Rv(1,1),Rv(2,2),x_start(1)-273 )); xlabel( timer ); subplot(212) plot(t,xsim(2,:)-273, b:, t,xapo(2,:)-273, r- ); ylabel( Grader Celcius ); leg( Virkelig temperatur, Aposteriori estimat ); title(sprintf( Initialverdisett.4g \n Kjølevannstemp, initielt.4g [C], no, x_start(2)-273 )); xlabel( timer ); 12