TTK4180 Stokastiske og adaptive systemer. Datamaskinøving 2 - Parameterestimering

Transkript

1 Institutt for teknisk kybernetikk Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet EWR TTK4180 Stokastiske og adaptive systemer Datamaskinøving 2 - Parameterestimering Tid og sted: -Utdeling av oppgave: Fredag 3. februar -Innlevering av oppgave: Mandag 3. april (I boks på D238) Forslag til Matlab-kode finnes i filer som ligger på hjemmesida til faget. Koden kan lastes ned herfra og legges i din egen arbeidskatalog for videre editering og kjøring. Det vesentlige er at studenten får en forståelse av hvordan et augmenterte kalmanfilteret fungerer og får erfaring i en del praktiske forhold rundt parameterestimering. Det vil bli satt pris på tilbakemelding fra øvingen både mht. trykkfeil og generelt inntrykk. Øvingen er obligatorisk. Studenter som ikke får øvingen godkjent, får ikke adgang til eksamen. Det er tillatt å jobbe sammen to og to.

2 1. Prosessmodell I denne oppgava skal vi se litt på parameterestiemring ved hjelp av augmentert kalmanfilter, realisert og simulert i Matlab. Sentrale emner er identifiserbarhet, identifiserbarhetsgrad og 'optimale eksitasjoner'. Det henvises til kapittel 4 i kompendium Stokastiske systemer Analyse, estimering og regulering av Rolf Henriksen. Prosessen er valgt som et lineært, 2.ordens, monovariabelt system: ẋ=a x Bu v y=d x w (1) (2) der, systemets parametre er: A=[ a 11 a 12 ] a 21 a = 22 [ ] B=[ b 1 b 2] = [ 1 0 ] D=[d 1 d 2 ]=[0. 2d d ]= [1 5 ] I programmet er systemet (1) diskretisert ved Euler forovermetode: x k 1 =Φ x k Δu k v k (3) y k =D x k w k (4) der Φ=I AT og Δ=BT, T er tasteintervall. 2. Identifiserbarhet Det er begrenset hvor mange av et systems parametre det er mulig å estimere samtidig, dvs. utover dette antallet vil det være flere kombinasjoner av parametre som gir samme systemrespons (problemet blir underbestemt). Det minimale antall parametre som karakteriserer et lineært system, kan finnes ved å se på systemets transerfunksjon (-matrise) i s- eller z-planet: y s =h s u s y z =h z u z (der vi foreløpig ser bort fra støybidragene). Systemets respons er nå fullstendig bestemt av forsterkningen K eller tidskonstantene T 1, T 2,..., eller avledninger av disse. Dersom systemet ikke eksiteres, dvs. u=0, vil målingen ikke inneholde noen informasjon om systemparamtre siden y=0. Disse kan da ikke estimeres. Ethvert reelt system vil til en viss grad være eksitert ved normal drift (av naturlige forstyrrelser, referanseendringer, osv.) Hvorvidt disse eksitasjonene er tilstrekkelig til at parametre kan identifiseres, eller om det kreves kunstige eksitasjoner i tillegg, vil avhenge av det enkelte tilfellet. Vi skal i denne øvingen se på hvilken eksitasjon som gir størst grad av identifiserbarhet (raskest konvergens).

3 Ved å tegne AFF-diagram for prosessmodellen (1), kan vi foreta en enkel følsomhetsanalyse for systemet. Ved hvilken frekvens (hvilke frekvenser) er systemet mest følsom overfor variasjoner i gitte parametre? h(jω) h ( s) 1 = 1 + Ts Figur 1: Første ordens system 1 T ω Vi ser at dersom vi eksiterer systemet med et signal med frekvens ω 1/T får h(s) maksimal følsomhet med hensyn på variasjoner i T (estimatet). For ω << 1/T er responsen 'flat' og dermed ufølsom for variasjoner i T. Når ω >> 1/T vil følsomheten svekkes fordi forsterkningen h(ω) er liten. For mer kompliserte transerfunksjoner kan det bli nødvendig å eksitere systemer med signaler som inneholder flere frekvenskomponenter. Signaler som inneholder like mye av alle komponenter gir som kjent hvit støy. 3. Oppgaver Vi ønsker altså å estimere tilstandene x 1, x 2, samt parameterne a 11, a 21, a 22 og d. Anta at de andre systemparametrene er kjente, og videre at målingen legger 5 ganger så stor vekt på x 2 som x 1, men vi kjenner ikke forsterkningen d. Fornuftige verdier på kovariansmatrisene er funnet ved 'intelligent' gjetting: WW=0.01 VV=diag(0.0001,0.0001,0.1,0.1,0.1,0.1) XP(0)=diag(1,1,4,4,4,4) (der elementene som karakteriserer måle- og prosesstøy er satt i overensstemmelse med virkelig støy der denne benyttes). Prosess og estimator kan eksiteres gjennom pådraget: u=u 1 a 1 sin ω 1 t a 2 sin ω 2 t GNOIS σ der GNOIS er normalfordelt hvit-støy med standardavvik σ. 1. Sett opp systemligningene for det augmenterte systemet med x a t =[ x 1 x 2 a 11 a 21 a 22 d ] T som tilstandsvektor som forklart i avsnitt 4.8 i

4 kompendiet Stokastiske Systemer. Sett også opp filterligningene og sjekk at det stemmer med programkoden i filen est1.m som kan lastes ned fra nettet. 2. Bestem hvor mange parametre det er mulig å identifisere av systemet (1) og (2). 3. Vi vil i det følgende se på det deterministiske tilfellet, dvs. ingen virkelig støy. Vi antar videre at systemet representerer en prosess i likevekt slik at det ikke er eksitert på normal måte, men vi kan sette på et testsignal av typen (5). Det er ikke nødvendig å ta ut kurveplot for hvert punkt under, men noter under hvilke forhold forsøket gjøres, og hovedresultater som hvor raskt estimatet konvergerer (evt. ikke konvergerer), med hvilken kovarians osv. a) Vi skal se på estimering av én parameter: a 11. Vis at ω 1.0 gir den optimale eksitasjon av systemet når det påtrykkes et signal med en enkel frekvens (tips: bruk AFFdiagram). b) Simuler/estimer. i) Har det noen betydning hvilken amplitude vi benytter? Forklar. ii) Konvergerer filterforsterkningen K? iii) Hvordan har man i koden sørget for å få riktig verdi på de andre parametrene a 21, a 22 og d og unngått at disse blir oppdatert selv om de er modellert i filteret? c) Kovariansmatrisene VV og XP(0) er valgt ut fra prøving og feiling. Kan dere ved å endre disse verdiene få raskere konvergens på parameterestimatene? (Uten å forandre elementene for tilstandsestimatene.) Benytt de opprinnelige verdiene på VV og XP i resten av oppgaven! d) Forsøk å estimere a 11 ved forskjellige frekvenser: i) ω =1.0 ii) ω=0.1 iii) ω= Hvordan stemmer konvergenshastigheten overens med 'følsomhetsanalysen' fra a? Hva skjer med kovariansen XP? 5. Estimer nå to parametre: a 11 og d a) Eksiter systemet med en enkel frekvens, sammenlign med resultat fra pkt. 3. b) For å få bedre konvergens, vil vi prøve et testsignal med to frekvenser ω 1 og ω 2. Bør ω 2 være større eller mindre enn 1.0 for å gi best mulig konvergens? c) Eksiter systemet med bare hvit støy. Hvilken båndbredde har den diskretiserte hvitstøyprosessen? 6. La oss anta at prosessen er naturlig eksitert gjennom prosess- og målestøy, v og w, som begge er hvitstøy kilder med E[v(t)] = 0 og E[w(t)] = 0. Estimer de samme to parametrene som under pkt. 4, nå med støyprosessene v og w. a) Kjør filteret uten kunstige eksitasjoner (u(t)=0). Er dette tilstrekkelig for å gi god konvergens av estimatet? Kommenter.

5 b) Legg til kunstig eksitasjon. Bedres estimatene vesentlig? Observer kovariansen til estimatene i forhold til a). 7. Estimer alle 4 parametrene (med og uten prosess- og målestøy). 8. Hva om vi forsøker å estimere enda flere parametre? Filteret vil da forsøke å estimere begge elemenetene i målematrisa d 1 og d 2 istedet for bare d; D = [d 1 d 2]. Den nye tilstandsvektoren blir: 9. =[ x1 x a k x 2 a 11 a 21 a 22 d 1 d 2 ]k Finn de nye matrisene i kalmanfilteret og editer koden. Forsøk å estimere de fem parametrene. Går det an å trekke noen fornuftige konklusjoner av estimatene nå? 4. Kommentar Angi omtrentlig tidsforbruk. Kritikk av oppgaven: - Utbytte - Trykkfeil - Forslag til endringer