Eksamen i STK4500 Vår 2007

Transkript

1 Eksamen STK4500 Vår 2007 Prosjektoppgave. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Utlevering fredag 15. juni kl Innlevering mandag 18. juni kl Oppgaven skal innen fristen leveres pr. e-post som et pdf-dokument til 1

2 I denne oppgaven skal du analysere den finansielle risikoen til en portefølje av verdipapirer. Investeringsuniverset består av 7 verdipapirer: 1. Norske aksjer 2. Nordiske aksjer 3. Internasjonale aksjer 4. Hedgefond 5. Obligasjoner 6. Eiendom 7. Pengemarked Vi antar sannsynlighetsegenskapene til verdipapir i er gitt av rekursjonsformelen: (( ) ) St i = St 1 i exp µ i σ2 i + Xt i i, X t N(0,V ) (1) 2 V er en matrise og µ er en vektor hentet fra boken Alternative investeringer (2006) skrevet av ansatte i Orkla Finans. Choleskydekomposisjonen av V gis notasjon W. µ, V og W er gitt i filene mu.txt, V.txt og W.txt. Utskrift av filene finnes til slutt i oppgaven. Investeringene i de forskjellige papirene er gitt av vektoren ω. Som default lar vi ω i = i a) Still opp en algoritme du vil følge for å generere en simulert realisasjon av porteføljens verdi i T år fremover, basert på trekninger av uavhengige standard normalfordelte stokastiske variable. (Hint: W t.w = V ). Denne algoritmen kan fungere som formeldokumentasjon og oppskrift for senere implementering. 2

3 b) Finn estimater for øvre og nedre 2.5% persentil samt 50% persentil hvert år, basert på simulerte realisasjoner av porteføljens verdi. Lag en graf som viser de aktuelle persentilene i 40 år fremover og en tabell som viser tallverdier etter 1, 3, 5, 10, 20, 30 og 40 år. c) Finn tilsvarende estimater som i b) for geometrisk gjennomsnitt av årlige avkastninger 1. d) µ og V angir verdier for modellparametere. Finn vektoren med årlige forventningsverdier og matrisen med kovarianser for årlige avkastninger. (Hint: Oppgave 2.) e) Regn ut korrelasjonsmatrisen for de årlige verdiene. Kommenter. f) Plott den effisiente fronten som funksjon av forventet avkastning, når shorting er tillatt. Finn det effisiente settet av vekter, i de to alternativene hvor maksimalt standardavvik er på 3% og 6%. Vi skal nå ta for oss en 30 år gammel person som har årslønn L 0 = og som pensjoneres som 67-åring, og vi innfører notasjonen n = Folketrygdens grunnbeløp G 0 er Dynamikken i fremtidig utvikling i lønn og i folketrygdens grunnbeløp antas å følge følgende stokastiske prosess: G t = (1 + λ) G t 1 + θ δ G t G t 1 ; t = 1,...,n (2) L t = (1 + λ) L t 1 + θ δ L t L t 1 ; t = 1,...,n (3) λ = 0.03 θ = med støy-ledd (δ1 G,δ1 L ), (δ2 G,δ2 L ),..., (δn G,δn) L i.i.d. N( ( ( ) 0 1 0, 8 0, 0, 8 1 (Tilsvarende som i Oppgave 6, men slik at vi nå som en generalisering har pos- 1 For årlige avkastninger a 1, a 2,...,a t er det geometriske gjennomsnittet definert som: [Π t s=1(1 + a s )] 1 t 1. ) ). 3

4 itivt korrelerte støydrivere, Cov(δ G t,δ L t ) = 0, 8, i stedet for felles støydrivere for begge prosesser.) Anta at personen er med i en ytelsesbasert pensjonsordning, hvor alderspensjonen bestemmes som følger: P(L,G) = 0, 20 min{l G, 5 G} I(L > G) + Vi innfører: 0, 48 min{l 6 G, 6 G} I(L > 6 G) (4) V t : Avsetningskrav for påløpt pensjonsforpliktelse på tid; t = 0, 1,...,n og antar at avsetningskravet regnes ut som følger: V t = t n P(L t,g t ) n t v s s p 30+t ds; t = 0, 1,...,n (5) der vi har benyttet standard notasjon fra livsforsikringsmatematikken: 1 v = 1 + i i = grunnlagsrente/diskonteringsrente sp x = Pr [T x s] T x = gjenstående levetid for person i alder x g) Redegjør for hva avsetningskravet i (5) går ut på. Vi innfører videre følgende størrelser: F t : Faktisk opparbeidet forsikringsfond på tid t = 0, 1,...,n C t : Nødvendig innbetaling til (evt.mulig utbetaling fra) forsikringsfondet på tid t = 0, 1,...,n 4

5 Med realisert avkastning a t for tidsrommet [t 1,t ; t = 0, 1,...,n fastsettes premiebetalingsplanen for alderspensjonen ved følgende dynamikk: C 0 = 0 C t = V t (1 + a t )(V t 1 + C t 1 );t = 1,...,n (6) h) Forklar og kommenter hva premiebetalingsplanen i (6) går ut på. Gjør spesielt rede for hvorfor vi oppnår F t = V t ; t = 0,...,n. I det følgende skal vi se på risikoegenskaper ved denne premiebetalingsplanen i de to alternativene fra f) med effisiente vekter for maksimalt standardavvik på hhv. 3% og 6%. For beregningene skal vi anta at det forsikringstekniske beregningsgrunnlaget for utregning av V t er diskonteringsrente i = 3, 0% og Gompertz-Makeham dødsintensitet, µ x+t = α + β c x+t, med parametre α = 0,β = , 27,c = 10 0,042. i) Finn estimater for øvre og nedre 5.0% persentil samt 50% persentil for nødvendig innbetaling (evt. mulig utbetaling) hvert år, basert på simulerte realisasjoner av porteføljens verdi, og vis beregningsresultatene i tabell. Lag en graf som viser de aktuelle persentilene over hele perioden til og med fylte 67 år, med begge alternativer for porteføljesammensetning i samme grafiske fremstilling. Kommenter. Som mål på den totale pensjonskostnaden over hele premiebetalingsperioden, T C, skal vi bruke kontantverdien av de årlige premieinnbetalingene (evt. utbetalingene), med diskonteringsrente 5% (begrunnet med at dette er ca. på nivå med dagens riskikofrie markedsrente), dvs. TC = n (1, 05) t C t t=0 j) Regn ut ved simulering og illustrer grafisk approksimasjon til sannsynlighetstettheten for T C, med begge alternativer for porteføljesammensetning i samme grafiske fremstilling. Kommenter. 5