UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i STK45 Livsforsikring og nans. Eksamensdag: Mandag 8. juni 215 Tid for eksamen: Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Formelark Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Oppgave 1. (1 poeng) Betrakt en permanent uføreforsikringsmodell (permanent disability model). I denne modellen er tilstandene av forsikringstakeren X t S modellert ved hjelp av en regulær Markovkjede med tilstandsrom S = {,, }, hvor ="aktiv", ="uføre"og =død". La oss anta at overgangsratene (transition rates) i denne modellen er gitt ved følgende konstanter: µ (t) =.2, µ (t) =.45, µ (t) = µ (t). (i) Finn en eksplisitt formel for overgangssannsylighetene (transition probabilities) p ij (s, t), i, j S. (ii) Regn ut p (x, x + 2) and p (x, x + 2) for x = 4 (år). Oppgave 2. (1 poeng) En 1 år-risikoforsikring med investeringsvalg (1 year unit-linked term insurance) blir solgt til en 55 år gammel forsikringstaker. Engangspremien er P = 125$. Det er gebyrer rett ved begynnelsen av kontrakten på 3% som trekkes fra P og resten av premien blir investert i en fond (f.eks, equity fund). Anta at tidsdynamikken av fondsverdien S t er beskrevet av Black- Scholes-modellen, hvor S = 1. I tillegg til det, er det forvaltningsgebyrer på β =.4% per år som trekkes fra kontoen av forsikringstakeren på daglig basis (dvs. i form av et kontinuerlig fratrekk m.h.p. diskonteringsfaktoren e βt ). Ved denne kontrakten blir 125% av fondsverdien utbetalt, hvis forsikringstakeren dør innen kontraktperioden. Anta at (i) overgangsraten (transition rate) er konstant og gitt ved µ (t) =.11 (Fortsettes på side 2.)

2 Eksamen i STK45, Mandag 8. juni 215 Side 2 (ii) den risikorie renten (risk free rate of interest) er r = 3% per år (kontinuerlig diskontering). (iii) volatiliteten av S t er σ = 25% per år. Regn ut den prospektive reserven av forsikringsutbetalingene (benets) på tidspunkt t =. Oppgave 3. (1 poeng) La oss se på en 1-år pure endowment (opplevelsesforsikring). Forsikringstakeren er 45 år gammel ved tegning av kontrakten. Ved denne forsikringsformen blir det utbetalt et beløp på 13$ (endowment amount) på slutten av kontraktperioden, hvis forsikringstakeren overlever kontraktperioden. Anta for denne policen stokastiske renter r(t) beskrevet av Vasicek-modellen med parametrene r() =.25, a =.4, b =.35 og σ =.1. La λ = 1 (risikopremie) og µ (t) =.4 være den konstante overgangsraten (transition rate). Regn ut den prospektive reserven av forsikringsutbetalingene (endowment payment) på tidspunkt t =. Oppgave 4. (1 poeng) Betrakt en permanent uførepensjonsforsikring (permanent disability insurance). La x = 55 år være alderen av den friske forsikringstakeren i begynnelsen av kontrakten. Løpetiden på kontrakten er 2 år og det er kontinuerlig innbetaling av premier over hele kontraktperioden så lenge forsikringstakeren er frisk. Den årlige uførepensjonsutbetalingen (disability benet) er gitt ved 5$. Anta at overgangssannsynlighetene (transition probabilities) er gitt ved p (55, 55 + t) = 2 3 exp(.15t) exp(.1t), p (55, 55 + t) = 1 exp(.1t). (i) Anta at δ = 3.5% (renteintensitet eller interest rate intensity) og bruk ekvivalensprinsippet til å regne ut de årlige premiene P. (ii) La B t, t T være en 1 dimensjonal Brownsk bevegelse. Finn sannsynlighetstettheten av T X def = B s ds. Oppgave 5. (6 poeng) Betrakt et (1-dimensjonalt) Black-Scholes-marked med en konstant markedsrente r og en aksje med en aksjeprisdynamikk S (1) t som er beskrevet av S (1) t = x + µs (1) u du + σ 1 S (1) u db u, t T, (Fortsettes på side 3.)

3 Eksamen i STK45, Mandag 8. juni 215 Side 3 hvor B t, t T er en Brownsk bevegelse og µ R, σ 1 > er konstanter. Dessuten, la oss se på en aksjeprisprosess S (2) t som er gitt ved ds (2) t = x + µs u (2) du + σ 2 S u (2) db u, t T m.h.p. et annet Black-Scholes-marked med en konstant markedsrente r, hvor σ 2 > σ 1 er en konstant. La p i være den arbitrasjefrie prisen av en europeisk kjøpsopsjon på tidspunkt t = med forfallsdato T (maturity) og strike-pris K på en enhet av S (i) T for i = 1, 2. La oss nå anta at aksjeprisprosessen S t på et Black-Scholes-marked med en konstant markedsrente r tilfredsstiller S t = x + µs u du + σ(u)s u db u, t T, hvor volatiliteten er stokastisk og modellert ved hjelp av en adaptert stokastisk prosess σ(t), t T slik at σ 1 σ(t) σ 2 for alle t. Prisen p på tidspunkt t = av en europeisk kjøpsopsjon med forfallsdato T og strike-pris K av S T kan deneres som p = E P [e rt max(, S T K)], hvor P er det sannsynlighetsmålet slik at den diskonterte aksjeprosessen blir en martingal. Vis at p [p 1, p 2 ]. Hint: Black-Scholes partiell dierensiallikning: C t (t, x) + σ2 x C x (t, x) + rx C (t, x) rc(t, x) 2 x =, t [, T ), x > C(T, x) = f(x). Slutt (Fortsettes på side 4.)

4 Eksamen i STK45, Mandag 8. juni 215 Side 4 Vedlegg: Formelark a) Forlengs-Kolmogorov-likning: d dt p ij(s, t) = p ij (s, t)µ j (t) + p ik (s, t)µ kj (t), i, j S k j med p ij (s, s) =, hvis i j, p ij (s, s) = 1, hvis i = j, hvor µ j (t) = k j µ jk(t). b) p jj (s, t) = p jj (s, t) = exp( k j s µ jk (u)du), j S. c) Prospektiv reserve (i kontinuerlig tid): V j + (t) = 1 v(t) { v(s)p jg (t, s)da g (s) g S (t, ) + v(s)p jg (t, s)( a gh (s) µ gh (s))ds}, g S (t, ) h S, h g for j S, hvor a i (t) (pension payments) og a ij (t) (benet payments) er betalingsfunksjoner. d) Black-Scholes-modell: S t = x + µs u du + σs u db u, t T, hvor σ og µ er konstanter og hvor B t, t T er en Brownsk bevegelse. e) Prisingsformel for opsjoner (contingent claims) X: ClaimV alue t = E P [e (T t) r X G t ], t T ClaimV alue = E P [e (T t) r X], hvor P (equivalent martingale measure) er et sannsynlighetsmål slik at S t = e rt S t, t T (m.h.p. Black-Scholes-modellen) er en martingal med hensyn på P. f) Vasicek-modell: r(t) = x + for konstanter a, b og σ, som ikke er negative. a(b r(u))du + σb t (Fortsettes på side 5.)

5 Eksamen i STK45, Mandag 8. juni 215 Side 5 g) Obligasjonsverdi (bond value) på tidspunkt t = (m.h.p. Vasicek-modellen): hvor R(s, x) P (, T ) = exp( T R(T, r())), = (b (λσ)/a σ2 2a 2 ) 1 σ2 [((b (λσ)/a a s 2a 2 ) x)(1 e as ) σ2 4a 2 (1 e as ) 2 ]. h) Sannsynlighetstetthet f av X: y P (X y) = f(z)dz for alle y. i) Europeisk kjøpsopsjon: max(, S T K)