Optimal long-term investment in general insurance

Transkript

1 Optimal long-term investment in general insurance Didrik Saksen Bjerkan May 11, / 1

2 2 / 1

3 Introduksjon Ruinsannsynligheten for et forsikringsselskap med mulighet for å invistere deler av egenkapitalen i aksjemarkedet. Azcue og Muler (2009) uendelig tidsperspektiv. Normalt vil 5 til 15 år være mer enn nok. Denne oppgaven forsøker å finne optimale dynamiske strategier for mer realistiske tidsperspektiver. 3 / 1

4 Modeller Balansen til et forsikringsselskap ved tidspunkt n Y n, er gitt ved følgende prosess. Y n = (1 + R n) (π + Y n 1) X n Y 0 = y 0 Avkastningen R n kommer fra investeringer i aksjer og pengemarkedet, og er beskrevet som R n = ω R s n + (1 ω) r 4 / 1

5 Modeller Verdien på tidspunkt t for aksjen er beskrevet som (µ σ2 S t = S 0e 2 ) t+σb t hvor S 0 er start verdien, µ prosentvis drift, σ volatiliteten er konstant og B t er Brownsk bevegelse. For avkastningen i pengemarkedet vil jeg anta at r er konstant. 5 / 1

6 Modeller Forsikringskravene X n er beskrevet ved XN n X n = Z i Her er N antall skader, som er Poissonfordelt med parameter λ. Z i er skadestørrelse og er simulert med 2 langhalede fordelinger, Pareto og Eksponensial. Premien for en periode er gitt ved: π = E(X 1) (1 + γ) 6 / 1

7 Monte Carlo simuleringer Y 1(ω) = (1 + ω R s 1 + (1 ω) r) (π + y 0) X 1 Y vanskelig sannsynlighetsfordeling, bruker derfor Monte-Carlo. Y1 i (ω) = (1 + ω R s i 1 + (1 ω) r) (π + y 0) X1 i for i (1,m) 7 / 1

8 Monte Carlo simuleringer Ruinsannsynlighet for en periode: ψ 1(y 0,ω 0)=P (Y 1 < 0 ω 0) H(Y 1,..., Y N )= j 0, min(y1,..., Y N ) > 0 1, min(y 1,..., Y N ) < 0 ψ 1(y 0,ω 0)= 1 m mx H(Y i 1 (ω 0)) Ruinsannsynlighet for en periode med optimal strategi: ˆψ 1(y 0) = inf ω 0 ψ 1(y 0,ω 0) 8 / 1

9 Introduksjon til dynamisk programmering I 1940 innførte Richard Bellman dynamisk programmering som metode for å løse et problem hvor vi har mulighet til å endre vår strategi for hver tidsperiode. Dynamisk programmering bryter et optimaliseringsproblem i to problemer, gjør en første beslutning basert på startkapital og tar beslutninger for resten av perioden der vi bare har en sannsynlighet for hva balansen vil bli. 9 / 1

10 Dynamisk programmering Ruinsannsynligheten for en n periode beskrevet med dynamisk programmerings rekursive metode: ψ n(y 0,ω 0)= Z Bruker Monte-Carlo: Z H(y 1) P (y 1 y 0,ω 0)dY + ˆψ n 1(y 1) P (y 1 y 0,ω 0)dY ψ n(y 0,ω 0)= 1 m mx H(Y1 i (ω 0)) + 1 Xm ˆψ n 1(Y m 1 i (ω 0)) 10 / 1

11 Dynamisk programmering Ruinsannsynligheten for en n periode med optimal invisteringsstrategi: ˆψ n(y 0) = inf ω 0 { 1 m mx H(Y1 i (ω 0)) + 1 Xm ˆψ n 1(Y m 1 i (ω 0))} Bellmans prinsipp om optimalitet Rekursiv funksjon 11 / 1

12 Løser med datamaskin ψ 1(y 0,ω 0)= 1 m mx H(Y i 1 (ω 0)) ˆψ 1(y 0) = inf ω 0 ψ 1(y 0,ω 0) Funksjonen til ψ jevnt synkende i forhold til y 0, kan bruke interpolasjon til å lage en funksjon som kalles ˆψ 1 (y0) som erstatter ˆψ 1(y 0). for n =2 ψ 2(y 0,ω 0)= 1 m mx Ved tidspunkt n har vi en funksjon for n-1. H(Y1 i )+ 1 Xm ˆψ m 1(Y 1 i ) 12 / 1

13 Løser med datamaskin Ruinsannsynlighet for n periode med optimale investeringsstrategier som løses med Monte-Carlo og interpolasjon: ˆψ n(y 0) = inf ω 0 { 1 m mx H(Y1 i )+ 1 Xm ˆψ m n 1(Y 1 i )} 13 / 1

14 Numeriske eksperimenter Eksperimenter under samme vilkår som i Azcue og Muler for å sammenligne. Pareto og Eksponensial fordelingene har begge forventet skade 1, så forskjellen i ligger volatiliteten. Aksjeavkastningen er simulert med µ =0.04, σ =0.1, r =0, og skadekravene er simulert med λ =1, ξ =1, σ z =0.4. Premien er π = / 1

15 Numeriske eksperimenter Survival probability for Pareto Survival probability for Exponential surv(y0) years 10 years 25 years surv(y0) years 10 years 25 years Initial capital Initial capital 15 / 1

16 Optimale vekter Pareto Exponential Initial weight on equity years 10 years 25 years Initial weight on equity years 10 years 25 years Initial capital Initial capital 16 / 1

17 Optimale vekter ruin probability function ruin probability initial weight Figure: the ruin probability for the first year with exponential distributed claims and an initial capital of five, depending on the initial weight. 17 / 1

18 Oppsummering Numeriske løsningmetoder gjør det mulig å løse kompliserte problemer uten å forenkle. Vi fant strategier for endelige tidsperspektiver, med en analytisk metode så man kun på uendelige tidperspektiver. Metoden virker godt for vårt problem, kan også bli brukt på andre finansielle problemstillinger. F.eks Reassuranse. 18 / 1