UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Side Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS4 Kvantefysikk Eksamensdag: 8. juni 5 Tid for eksamen: 9. (4 timer) Oppgavesettet er på fem (5) sider Vedlegg: Ingen Tillatte hjelpemidler: Rottman: "Matematisk formelsamling" Øgrim og Lian: "Fysiske størrelser og enheter" Angell og Lian: "Fysiske størrelser og enheter" Godkjent kalkulator Ett A4 ark med egne notater (begge sider av arket) Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene.

2 Oppgave Variasjoner over hydrogen Løsningen av den tidsuavhengige Schrødingerligningen for potensialet til hydrogenatomet V (r) = k ee r, () er som kjent ψ nlm (r, θ, φ) =R nl (r)yl m (θ, φ), () hvor R nl (r) er løsningene av den tilhørende radialligningen og Yl m (θ, φ) er de sfæriske harmoniske. Disse løsningene har energiene hvor E n = k ee a n = 3.6 ev, n =,,..., (3) n a = =.59 nm, (4) m e k e e er Bohrradien og m e =.5 MeV/c er massen til elektronet. Vi bruker sfæriske koordinater x = r sin θ cos φ, (6) y = r sin θ sin φ, (7) z = r cos θ, (8) hvor = ( r r ) + r r r sin θ ( sin θ ) + θ θ r sin θ φ, (9) ˆL z = i φ. () a) Gi normeringsbetingelsen for bølgefunksjonene ψ nlm ikartesiskeogsfæriske koordinater. [4 poeng] b) Vi antar separat normering av R nl og Yl m.visatnormeringsbetingelsen for Yl m da er [4 poeng] Y m l (θ, φ) sin θdθdφ=. () c) Y er en konstant. Vis at den er gitt ved Y (θ, φ) = 4.[4poeng] Under tilnærmingen at protonmassen er uendelig stor. Skal man ta hensyn til den enedelige massen til protonet må man istedetbrukeden reduserte massen hvor m p er protonmassen. µ = memp m e + m p, (5)

3 Bølgefunksjonen til grunntilstanden kan skrives ψ (r, θ, φ) =N e r/a, () hvor N er en normeringskonstant. d) Finn N. Hint: Du kan få bruk for følgende integral [5 poeng] x n e λx dx = n! λ (n+). (3) e) Finn forventningsverdien for kinetisk energi K for tilstanden ψ. Vi vil ha den numeriske verdien også. [8 poeng] f) Finn forventningsverdien for den potensielle energien V for tilstanden ψ.vivilhadennumeriskeverdien.[poeng] Nøyaktig det samme potensialet som for hydrogenatomet vil finnes mellom et elektron og et positivt ladet positron (antipartikkelen til elektronet). Disse kan også inngå i en bundet tilstand som vi kaller positronium. Riktignok så finnes det en sannsynlighet for at elektronet og positronet interagerer og utsletter hverandre ved å bli til fotoner, så positronium lever ikke så lenge. g) Vis at energinivåene til positronium er gitt ved [3 poeng] E n = m eke e4 4, n =,,... (4) n h) Positronium i grunntilstanden ψ kan finnes i en spinn-singlet-tilstand, hvor spinnet til elektronet og positronet er motsatt rettet, eller i en tripplett, hvor de er rettet i samme retning. Hvor mange fotoner kan man få ved annihilasjon av elektron positron-paret for hver av de to tilstandene? Hint: Fotonerharspinn.[4poeng] Oppgave Harmonisk oscillator i to dimensjoner En partikkel med masse m beveger seg i et to-dimensjonalt harmonisk oscillatorpotensial gitt ved V (x, y) = mω (x + y ), (5) og beskrives ved hjelp av en bølgefunksjon ψ(x, y). 3 Vi minner om at grunntilstanden og den første eksiterte tilstanden til en én-dimensjonal harmonisk 3 Det finnes spennende fysiske eksempler på bevegelse begrenset til to dimensjoner, f.eks. er elektronene i grafen fanget på en to-dimensjonal overflate. 3

4 oscillator kan skrives på formen hvor α = mω/. ( ) α /4 ψ (x) = e αx, (6) ( α 3 ) /4 ψ (x) = xe αx, (7) a) Hva er enheten til ψ(x, y)? Gienbegrunnelse.[3poeng] b) Anta separasjon av variable for bølgefunksjonen, ψ(x, y) =ψ x (x)ψ y (y), og vis at den tidsuavhengige Schrödingerligningen i to dimensjoner ( ) m x + y ψ(x, y)+v (x, y)ψ(x, y) =Eψ(x, y), (8) da kan skrives som to uavhengige én-dimensjonale Schrödingerligninger for ψ x (x) og ψ y (y) med hvert sitt harmonisk oscillator-potensial og hver sin energi E x og E y.[6poeng] c) Vis at de tillatte energiene er gitt ved E n = ω (n +), (9) og angi hva slags verdier som er mulige for n. [4poeng] d) Definer begrepet degenerasjon og bestem degenerasjonsgraden til energinivå n ivårtpotensial.[4poeng] e) Hvor mange spinn -fermioner, for eksempel elektroner, kan du sette inn i de to laveste energinivåene? Anta at de ikke vekselvirker. [ poeng] f) Forklar hvorfor tilstandene ( ) α / ψ (x, y) = e αr, () ( ) α / ψ (x, y) = xe αr, () ( ) α 4 / ψ (x, y) = ye αr, () hvor r = x + y,erløsningeravdentidsuavhengigeschrödingerligningen for det to-dimensjonale harmonisk oscillator-potensialet. [4 poeng] 4

5 g) Vis at tilstandene ψ ± = (ψ ± iψ ), (3) er egentilstander for operatoren ˆL z = i (ˆxˆp y ŷˆp x ) og finn egenverdiene. [6 poeng] h) Finn uskarphetsrelasjonen mellom energien E og L z.[6poeng] i) Vi preparerer systemet i begynnelsestilstanden Ψ(x, y, ) = ψ (x, y). (4) Hva er sannsynligheten for å observere en verdi L z = for angulærmomentet på et senere tidspunkt? Og hvilken tilstand vil systemet være ida?[4poeng] j) Dersom vi har en partikkel med ladning q og masse m som er begrenset til å bevege seg i xy planet, med et magnetfelt B = B e z perpendikulært på planet, vil det gi følgende potensial V = qb m L z + q B 8m (x + y ). (5) Finn løsningene av den tidsuavhengige Schrödingerligningen og de tilhørende energiene for dette potensialet. Merk: Det holder at du skriver ned de tre egentilstandene med lavest energi og forklarer hvordan de andre kan konstrueres. [7 poeng] 5