UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i STK2520 Problemer og metoder i aktuarfag. Eksamensdag: Onsdag 4. desember 2013 Tid for eksamen: Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Formelark Tillatte helpemidler: Godkent kalkulator Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Oppgave 1. (10 poeng) Se på følgende brannforsikringsdata til Copenhagen Reinsurance i perioden fra 06/30/1990 (dvs. 30. uni 1990) til 07/17/1990: Dato Krav i DKM 07/01/ /05/ /09/ /10/ /13/ /15/ /16/ /17/ Brannforsikringskravene X i i tabellen er uttrykt i millioner av danske kroner. Anta at tiden W i mellom to krav (inter-arrival time) er beskrevet av Cramér-Lundberg-modellen. (i) Beregn maximum-likelihood-estimatet λ til hoppeintensiteten av kravtellingsprosessen N(t). (ii) Regn ut og P (W 1 > 4) P (T 2 > 3), hvor T 2 = W 1 + W 2 er ankomsttiden (arrival time) av kravet X 2. (Fortsettes på side 2.)

2 Eksamen i STK2520, Onsdag 4. desember 2013 Side 2 (iii) Bruk den empiriske forventningsverdien (sample mean) til estimering av E[X 1 ] og regn ut premien p EV (t) m.h.p. totalskadesummen S(t) som er gitt ved (1 + ρ)e[s(t)], hvor ρ er et påslag (safety loading) med ρ = 0.27 og t = 1 (år). Oppgave 2. (10 poeng) La oss se på en sammensatt livsforsikring som varer i 4 år (4 years endowment). Ved denne forsikringsformen blir det utbetalt enten summen c k+1 på slutten av dødsåret k + 1 hvis k = 1, 2, 3 eller E på slutten av kontraktperioden, hvis k 4. Anta at E = 2.5 og k år c k+1 q x+k Som motytelse for denne garantien kreves årlige premier (annual net premiums) Π k = Π 0 ( k), k = 0, 1, 2, 3 som innbetales ved begynnelsen av året så lenge forsikringstakeren er i live. Eektivrenten er i = (i) Regn ut Π 0. (ii) Beregn netto-premiereservene k+1 V, k = 0, 1, 2, 3 til kontrakten. Oppgave 3. (10 poeng) Betrakt to porteføler av brannforsikringskontrakter med totalskadesummer som er modellert av S i (t) = N i (t) =1 X (i), i = 1, 2. De kravtellingsprosessene N 1 (t) og N 2 (t) er modellert av homogene Poissonprosesser med intensitet λ 1 = 1 3 og λ 2 = 3 7, respektivt. Det antas at N i(t) er uavhengig av de i.i.d brannkravene (X (i) ) 1 for hvert i = 1, 2. Dessuten kreves det at totalskadesummene er uavhengige og at kravene i de tilsvarende portefølene har følgende fordelinger: P (X (1) = 0) = 0 P (X (1) = 2) = 2 7 P (X (1) = 3) = 5 7 P (X (2) = 0) = 0 P (X (2) = 1) = 2 3 P (X (2) = 2) = 1 3 for alle 1. Valutaen er uttrykt i millioner av danske kroner. Regn ut den eksakte fordelingen til den samlede totalskadesummen, dvs. P ( S(t) n), (Fortsettes på side 3.)

3 Eksamen i STK2520, Onsdag 4. desember 2013 Side 3 hvor S(t) = S 1 (t) + S 2 (t) for n = 0,..., 3 i millioner av danske kroner og t = 1 (dag). Oppgave 4. (5 poeng) (i) Anta at dødsintensiteten (force of mortality) µ x+t er gitt ved for 0 t < 85. Regn ut 20 p x. µ x+t = 1 85 t t (ii) Anta at den genværende levetiden T = T (x) er Gamma-fordelt med parametre α = 3 og λ = 1 5 for x = 60 år. Beregn e x = E[T ]. (iii) Betrakt den genværende levetiden S = T [T ] i dødsåret. La T være Gamma-fordelt som i Oppgave 4, (ii). Beregn forventningsverdien av S. Oppgave 5. (5 poeng) La kravtellingsprosessen N(t), t 0 være beskrevet av Cramér-Lundberg-modellen. Anta at N(t), t 0 har hoppeintensitet λ > 0 og anta en i.i.d-følge (X i ) i 1 av kravstørrelser (f.eks. brannforsikringskrav) med X 1 Exp(λ). La X () være det te minste kravet av kravene X 1,..., X n. Derfor er X (1)... X (n). Betrakt den samlede skadesummen R(t) på tidspunkt t gitt ved overskudd av tap som er større enn det k-te største kravet, dvs. N(t) R(t) = (X (N(t) i+1) X (N(t) k+1) ) + for N(t) k og k 2, hvor (a) + def = max(a, 0) for a R. (i) Utled en formel for sannsynligheten for k 2. P (R(t) x N(t) k) (ii) Beregn P (R(t) 5 N(t) k) for k = 5, λ = λ = 1 og t = 10. Hint: Vis at (X (1),..., X (n) ) har samme fordeling som ( X n n, X n n 1,..., X n n X 2 2, X n n X 1 1 ). Slutt (Fortsettes på side 4.)

4 Eksamen i STK2520, Onsdag 4. desember 2013 Side 4 Vedlegg: Formelark a) X Exp(λ) med intensitet λ > 0, hvis fordelingsfunksonen F til X er gitt ved F (x) = 1 e λx, x 0. b) Y Γ(α, λ) er Gamma-fordelt med parametre α = 1, 2, 3,... og λ > 0, hvis fordelingsfunksonen F til Y er gitt ved α 1 F (x) = 1 e λx k=0 (λx) k, x 0 k! med E[Y ] = α λ and V ar[y ] = α λ 2. c) N P ois(λ), hvis P (N = k) = e λ λk, k = 0, 1,... k! d) Likelihood-funkson: n L(λ) = f(w i ) for i.i.d W i stokastiske variabler med tetthetsfunkson f til W 1. e) kp x = p x p x+1... p x+k 1 f) P (K = ) = p x q x+ g) rekursonsformel: kv + Π k = v [c k+1 q x+k + k+1 V p x+k ]. h) Paner-formel: p n = n λ i n P (X 1 = i) p n i, n 1, hvor p n := P (S = n) med begynnelsesverdi p 0 { P (N = 0) hvis P (X1 = 0) = 0 p 0 = E[(P (X 1 = 0)) N ] ellers (Fortsettes på side 5.)

5 Eksamen i STK2520, Onsdag 4. desember 2013 Side 5 i) mixture distribution: P (Y 1 = x) = p 1 P (X (1) 1 = x) + p 2 P (X (2) 1 = x) med p i = λ i λ 1 + λ 2, i = 1, 2. ) µ x+t = d dt log( tp x ) k) tetthetsfunkson av (X (1),..., X (n) ) m.h.p. i.i.d X 1,..., X n med tetthetsfunkson f = f X1 : n n! f(x i ) hvis x 1 <... < x n f X(1),...,X (n) (x 1,..., x n ) = 0 ellers