EKSAMEN I TMA4285 TIDSREKKJEMODELLAR Fredag 7. desember 2012 Tid: 09:00 13:00

Transkript

1 Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Nynorsk Fagleg kontakt under eksamen: John Tyssedal / EKSAMEN I TMA4285 TIDSREKKJEMODELLAR Fredag 7. desember 2012 Tid: 09:00 13:00 Hjelpemiddel: Kalkulator HP30S, CITIZEN SR-270X eller CITIZEN SR-270X College. Statistiske tabeller og formler, Tapir forlag. K. Rottman: Matematisk formelsamling. Eit gult ark (A5 med stempel) med eigne handskrivne formlar og notat. Sensur seinast ferdig måndag 7. januar Merk: Du må gi grunn for alle svar! Merk: Kalmanfilterlikningane er gitte på siste side av oppgåvesettet. Oppgåve 1 Betrakt ein ARMA(1,2)-modell med forventing lik null, (1 ϕ 1 B)z t = (1 θ 1 B θ 2 B 2 )a t, der ϕ 1, θ 1 og θ 2 er parametrar, B er backshift-operatoren, dvs. B k z t = z t k, og {a t } er kvit støy med forventing lik null og Var(a t ) = σ 2 a. a) Kva tyder det at {z t } er invertibel? Er {z t } invertibel når ϕ 1 = 1 2, θ 1 = 1 2 og θ 2 = 1 4? Kva tyder det at {z t } er kovarians-stasjonær? Er {z t } kovarians-stasjonær når ϕ 1 = 1 2, θ 1 = 1 2 og θ 2 = 1 4?

2 Side 2 av 8 I resten av denne oppgåva skal vi gå ut frå at {z t } er både invertibel og kovarians-stasjonær. Som kjent tyder dette spesielt at {z t } har ein MA( )-representasjon, z t = ψ(b)a t. b) Utlei formlar for koeffisientane {ψ j } j=0 og vis at dei kan bli skrivne på forma ψ 0 = 1,ψ 1 = θ 1 ϕ 1 og ψ j = ϕ j 2 1 ((θ 1 ϕ 1 )ϕ 1 +θ 2 ) for j = 2,3,... c) Frå MA( )-representasjonen av {z t } gitt over, vis at variansen til z t er gitt ved γ 0 = σa [1+(θ 2 1 ϕ 1 ) 2 + ((θ ] 1 ϕ 1 )ϕ 1 +θ 2 ) 2. 1 ϕ 2 1 Frå den same MA( )-representasjonen utlei óg ein tilsvarande formel for γ 1. Oppgåve 2 Eit plott av ei observert tidsrekkje z t er vist i øvre venstre hjørne av figur 1. Same figur viser óg estimert autokorrelasjonsfunksjon og partiell autokorrelasjonsfunksjon for z t, samt den observerte tidsrekkja etter ein gongs differensiering og estimert autokorrelasjonsfunksjon og partiell autokorrelasjonsfunksjon for den differensierte tidsrekkja. Vidare i oppgåva skal vi gå ut frå at vi ønskjer å tilpasse ein ARIMA(p,d,q)-modell til z t. a) Ut frå plotta i figur 1 diskuter kva (tentative) verdiar du finn naturleg å nytte for p, d og q. Dersom du konkluderer med at du vil forsøkje med ein modell kor d > 0, diskuter ut frå plotta i figur 1 om du vil inkludere ein deterministisk trendparameter, θ 0, i modellen. Husk å gi grunn for dine val! Uavhengig av ditt svar i spørsmålet over, gå ut frå at man vel å tilpasse heile seks modellar: ARIMA(1,1,0), ARIMA(2,1,0), ARIMA(3,1,0), ARIMA(1,1,1), ARIMA(1,1,2) og ARI- MA(1,1,3), alle utan deterministisk trendparameter. Estimerte parameterverdiar med tilhøyrande standardavvik for dei seks modellane er gitt i tabell 1 og plott av estimerte residual og estimerte autokorrelasjonsfunksjonar for dei estimerte residuala er viste i figur 2. b) Basert på resultata i tabell 1 og figur 2, diskuter kort for kvar av dei seks ARIMAmodellane om den tilhøyrande estimerte modellen er ein rimeleg modell for den observerte tidsrekkja. Kva for ein av dei seks ARIMA-modellane vil du velje som modell for den observerte tidsrekkja?

3 Side 3 av z t acf for z t pacf for z t z t+1 z t acf for z t+1 z t pacf for z t+1 z t Figur 1: Øvre rad: Observert tidsrekkje z t, samt tilhøyrande estimert autokorrelasjonsfunksjon og partiell autokorrelasjonsfunksjon. Nedre rad: Tidsrekkja z t etter differensiering, samt tilhøyrande estimert autokorrelasjonsfunksjon og partiell autokorrelasjonsfunksjon.

4 Side 4 av 8 ARIMA(1,1,0) ARIMA(2,1,0) ARIMA(3,1,0) verdi st. avvik verdi st. avvik verdi st. avvik ϕ ϕ ϕ σa log-like AIC ARIMA(1,1,1) ARIMA(1,1,2) ARIMA(1,1,3) verdi st. avvik verdi st. avvik verdi st. avvik ϕ θ θ θ σa log-like AIC Tabell 1: Estimerte parameterverdiar med tilhøyrande standardavvik, samt optimal loglikelihood og AIC-verdiar for dei seks modellane: ARIMA(1,1,0), ARIMA(2,1,0), ARI- MA(3,1,0), ARIMA(1,1,1), ARIMA(1,1,2) og ARIMA(1,1,3).

5 Side 5 av 8 ARIMA(1,1,0) ARIMA(2,1,0) ARIMA(3,1,0) ARIMA(1,1,1) ARIMA(1,1,2) ARIMA(1,1,3) Figur 2: Estimerte residual, med tilhøyrande estimert autokorrelasjonsfunksjon for de seks modellane: ARIMA(1,1,0), ARIMA(2,1,0), ARIMA(3,1,0), ARIMA(1,1,1), ARIMA(1,1,2) og ARIMA(1,1,3).

6 Side 6 av 8 Oppgåve 3 I denne oppgåva skal vi se på tilstandsmodellar (state-space models) på forma x t+1 = Φx t +w t+1 og y t = Ax t +v t for t = 0,1,..., (1) der x 0 N(µ 0,Σ 0 ), w t N(0,Q) og v t N(0,R). Dessutan er x 0, w t,t = 1,2,... og v t,t = 0, 1,... alle uavhengige av kvarandre. a) Reformuler følgjande prosessar til tilstandsmodellar gitt på forma i likning (1), dvs. spesifiser vektorar og matriser x t, y t, Φ, A, Q og R for kvar av dei to modellane, 1) z t = 0.9z t 1 +a t, u t = 0.5(z t +z t 1 )+b t, 2) z t = 0.9z t z t 2 +a t, r t = 0.5(r t 1 +z t 1 )+b t, u t = 0.5(r t +z t )+c t. Her er z t,a t,u t, b t,r t ogc t alle skalare størrelsar, {a t },{b t } og {c t } er uavhengige normalfordelte kvit-støy-prosessar med forventing null og varians høvesvis σ 2 a, σ 2 b og σ2 c, og i båe tilfella observerer man kun prosessen {u t }. Vidare i oppgåva skal vi gå ut frå at vi har ein skalar tilstandsmodell på forma gitt i likning (1), slik at x t, y t, Φ, w t, Q, A, v t, R, µ 0 og Σ 0 alle er skalare. b) Gå i dette punktet ut frå at Φ = 1, A = 2 og R = 1, og at P = lim 2 t Pt t Pt t = Var[x t y 0,...,y t ]. eksisterer, der Vis ved å ta utgangspunkt i kalmanfilterlikningane gitt på siste side av dette oppgåvesettet at ( P = 2Q+ 3 ) ( + Q+ 2Q ) Skisser P som funksjon av Q. Med utgangspunkt i tilstandsmodellen som nyttes her, gi ei intuitiv forklaring på den kvalitative oppførselen av P som funksjon av Q. Forklar spesielt kvifor verdien P får når Q = 0 er rimeleg.

7 Side 7 av 8 c) For ein skalar tilstandsmodell på forma gitt i likning (1), nytt eigenskapar til multinormalfordelinga til å forklare kvifor den betinga fordelinga for x t+1 gitt y 0,...,y t er ei normalfordeling. Forklar tilsvarande at den betinga fordelinga for x t+1 gitt y 0,...,y t,y t+1 óg er ei normalfordeling. Nytt dette til å utleie formlar for som funksjon av x t+1 t+1 = E[x t+1 y 0,...,y t+1 ] og P t+1 t+1 = Var[x t+1 y 0,...,y t+1 ] x t t+1 = E[x t+1 y 0,...,y t ], P t t+1 = Var[x t+1 y 0,...,y t ] og størrelsane som definerer tilstandsmodellen. [Merk at du ikkje skal nytte dei generelle kalmanfilterlikningane gitt på siste side av oppgåvesettet til å svare på dette punktet.]

8 Side 8 av 8 Vedlegg: Kalmanfilterlikningane (i notasjonen nytta på forelesingane): x t t+1 = Φx t t Pt+1 t = ΦPt t φt +Q x t+1 t+1 = x t t+1 +K t+1 (y t+1 A t+1 x t t+1) Pt+1 t+1 = [I K t+1 A t+1 ]Pt+1 t K t+1 = Pt+1 t AT t+1 [A t+1pt+1 t AT t+1 +R] 1