Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Oppgavesett 5, s. 1. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3

Transkript

1 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Oppgavesett 5, s. 1 Oppgave 1 For AR(2)-modellen: X t = 0.4X t X t 2 + Z t (der {Z t } er hvit søy med varians 1), finn γ(3), γ(4) og γ(5), når det er gitt at: γ(0) = 2.66, γ(1) = 1.94 og γ(2) = Oppgave 2 For en AR(2)-modell, forklar hvordan rekursjonen γ(h) = φ 1 γ(h 1) + φ 2 γ(h 2), h 3 framkommer. Hvorfor er denne så nyttig? Hvordan blir tilsvarende rekursjon for en AR(p)-modell? Oppgave 3 a) Hva vil det si at {X t } er kausal mht. prosessen {Z t }? b) Under hvilke betingelser er en tidsrekke {X t } definert ved en ARMA(p,q)-modell, X t φ 1 X t 1 φ p X t p = Z t + θ 1 Z t θ q Z t q, kausal (mht. {Z t } )? c) Hva vil det si at {X t } definert ved ARMA(p,q)-modellen er invertibel? Under hvilke betingelser er {X t } invertibel? Oppgave 4 a) Hvordan er den partielle autokorrelasjonsfunksjonen (PACF), α(h), h 1, definert? b) Hva kan du si om PACF, α(h), for en AR(p)-prosess? c) Dersom {X t } er en AR(p)-prosess, forklar at α(h) = 0, når h > p. Hint: ligningssystem som bestemmer P h X h+1 sammenlignet med ligningsystemet som bestemmer α(h).

2 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Oppgavesett 5, s. 2 Oppgave 5 a) Hvordan er autokorrelasjonsfunksjonen (ACF), ρ(h), h 1, definert? b) Hva kan du si om ACF, ρ(h), for en MA(q)-prosess? c) Dersom {X t } er en MA(q)-prosess, forklar at ρ(h) = 0, når h > q. Oppgave 6 Prediksjoner: La Y være en tilfeldig variabel. Vi vil gjøre en prediksjon av utfallet av Y med en konstant, c. Et (vanlig brukt) mål på hvor god prediksjonen er, er forventet kvadrert avvik: E{(Y c) 2 } (Store verdier svarer til dårlig prediksjon.) Vi bør velge en prediksjon, c, som gjør E{(Y c) 2 } minst mulig. Vis at c = E(Y ) minimerer E{(Y c) 2 }. (Dvs. E(Y ) er den beste i forventet kvadrert avvik-forstand prediktoren av (utfallet av) Y.) Oppgave 7 La {X t } være en AR(1)-prosess. Dvs. {X t } er en stajonær tidsrekke som tilfredsstiller differensligningen X t = φx t 1 + Z t, ( ) (der {Z t } WN(0, σ 2 ), Z t er ukorrelert med X s, s < t, og φ < 1.) La X t = φ j Z t j ( ) j=0 a) Bruk proposisjon i boken s. 52, til å forklare at tidsrekken {X t } der X t er definert ved ( ), er stasjonær. b) Vis at X t definert ved ( ), er en løsning av AR(1)-differensligningen ( ). Obs: Det er samme konstanten, φ, som inngår i både ligning ( ) og ligning ( ). Oppgave 8 Jf. oppgave 2.1 i boken. {X t } er en stasjonær prosess. Vi skal betrakte en prediktor av X n+h basert på (kun) X n. Prediktoren skal være (som vanlig) lineær, dvs. på formen: a + bx n. Forventet kvadrert feil: s(a, b) = E{X n+h (a + bx n )} 2 Se videre teksten i oppgaven i boken.

3 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Oppgavesett 5, s. 3 Oppgave 9 La {X t } være AR(1)-prosessen: X t = 0.7X t 1 + Z t, der {Z t } WN(0, σ 2 ). Still opp likningene (1 φ 1 z φ p z p )(ψ 0 + ψ 1 z + ) = (1 + θ 1 z + + θ q z q ) for denne situasjonen, og beregn verdien på de første 10 ψ j ene i representasjonen X t = j=0 ψ j Z t j. Oppgave 10 La {X t } være ARMA(1,1)-prosessen: X t 0.5X t 1 = Z t + 0.4Z t 1, der {Z t } WN(0, σ 2 ). Still opp likningene (1 φ 1 z φ p z p )(ψ 0 + ψ 1 z + ) = (1 + θ 1 z + + θ q z q ) for denne situasjonen, og beregn verdien på de første 10 ψ j ene i representasjonen X t = j=0 ψ j Z t j. Oppgave 11 Figuren under viser plott av n = 100 tidsrekkedata. For disse dataene er estimatene av γ(0), γ(1) og γ(2): γ(0) = 3.088, γ(1) = og γ(2) = Plott av x 1, x 2,..., x 100. a) Tilpass en AR(1)-modell og en AR(2)-modell til dataene. b) Lag en ett-stegs-prediksjon, P 100 X 101, når du bruker AR(1)-modell og når du bruker AR(2)- modell. Det oppgis at x 99 = 1.0 og x 100 = 1.0. Det oppgis at x = c) Ved å se på estimatene av støyvariansene til de to modellene, hvilken av modellene synes å passe best til tidsrekkedataene? Begrunn svaret.

4 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Oppgavesett 5, s. 4 Oppgave 12 Definer en AR(2)-modell. Hva er betingelsene for at en AR(2)-modell skal være (svakt) stasjonær? Utled Yule-Walker-ligningene for en stasjonær AR(2)-modell. Oppgave 13 Betrakt en MA(1)-prosess definert ved: X t = Z t + θz t 1. Finn ACVF en til {X t }, og vha. av denne og f(λ) = 1 e ihλ γ(h), < λ <, 2π h= et uttrykk for spektraltettheten til {X t }. Plott spektraltettheten når θ = 0.9 og når θ = 0.9 (bruk Var(Z t ) = 1). Fortolk plottene mht. frekvensegenskapene til {X t }. Oppgave 14 Finn spektraltettheten til AR(2)-prosessen: X t = 1.318X t X t 2 + Z t. Sett Var(Z t ) = 1, og plott spektraltettheten. Kommenter! Oppgave 15 La X t være strømforbruket i døgn nummer t til abonnentene til en bestemt kraftlevereandør. Vi antar at forbruket kan beskrives ved tidsrekken X t = s t + m t + Y t, der s t og m t er sesongvariasjon og trend, hhv., og {Y t } er en stasjonær prosess med forventning null. Vi antar videre at {Y t } er en AR(1)-prosess med koeffisient 0.6: {Y t } tilfredsstiller Y t = 0.6Y t 1 + Z t, og {Z t } WN(0, σ 2 ). Ved dag n ønsker man å lage en prognose for X n+1 (strømforbruket for dag n + 1). Man bruker da s n+1 + m n+1, og i tillegg diskuteres det om man skal legge til en prediksjon av Y n+1. Kraftleverandørens statistikkyndige hevder at man som prognose bør bruke: s n+1 + m n+1 + P n Y n+1 der P n Y n+1 = 0.6Y n, mens andre hevder man like gjerne kan bruke bare s n+1 + m n+1 (dvs. man predikerer i prinsippet Y n+1 med 0). Det er altså her snakk om å velge mellom to prediktorer; enten 0 eller P n Y n+1 = 0.6Y n. For begge tilfeller: a) Sett opp et uttrykk for prediksjonsfeilen, b) finn forventet prediksjonsfeil, og c) finn variansen (forventet kvadrert feil) til prediksjonsfeilen. d) Forklar forskjellen mellom de to forslagene, og forklar hva forskjellen betyr i praksis.

5 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Oppgavesett 5, s. 5 Fra boken, s. 174, 175: oppgave 5.1 og 5.4. Oppgave 16 Oppgave 17 La {X t } være en kausal ARMA(p,q)-prosess, og la P n X n+h være h-stegsprediksjonen. Forklar hvordan vi kan beregne hvordan usikkerheten i h-stegsprediksjonen øker når h øker. Oppgave 18 Forklar hvordan vi finner sannsynlighetsmaksimeringsestimatene av φ 1,..., φ p og σ 2 (støyvariansen) i en AR(p)-modell. La {X t } der X t = Xt1 X t2 Oppgave 19, være en m = 2-dimensjonal tidsrekke. a) Hva menes det med E(X t ), og hva menes det med Cov(X t+h, X t )? b) Hva er definisjonen på at {X t } er stasjonær? Oppgave 20 a) Definer en m = 2-dimensjonal hvit støy-prosess. b) Definer en m = 2-dimensjonal AR(1)-prosess. Oppgave 21 Gitt data fra en todimensjonal tidsrekke: x11 x 12, x21 x 22,..., xn1 x n2 Forklar hvordan du ville estimert Γ(h) = Cov(X t+h, X t ) med disse dataene.

6 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Oppgavesett 5, s. 6 Oppgave 22 Anta at vi har data, x 1,..., x n, fra en MA(q)-prosess definert ved: X t = Z t + θ 1 Z t θ q Z t q, (der vi kjenner verdiene til parameterene θ 1,..., θ q ) og vi ønsker å predikere X n+1. Vi har: X n+1 = Z n+1 + θ 1 Z n + + θ q Z n+1 q. a) Hvorfor kan vi ikke direkte predikere X n+1 med: P n X n+1 = θ 1 Z n + + θ q Z n+1 q? (Det er slik det gjøres for en AR(p)-prosess.) b) Hvordan kan problemet i punkt a) løses (ihvertfall i teorien) dersom MA(q)-prosessen er invertibel? c) Hvordan kan løsningen i punkt b) nyttes i praksis?