EKSAMEN I EMNE TMA4285 TIDSREKKER OG FILTERTEORI 15. desember 2004 Tid: 09:0013:00

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Arvid Næss / EKSAMEN I EMNE TMA4285 TIDSREKKER OG FILTERTEORI 15. desember 2004 Tid: 09:0013:00 Hjelpemidler: Tabeller og formler i statistikk, Tapir Forlag K. Rottmann: Matematisk formelsamling Kalkulator HP30S Ett gult A5-ark med stempel med egne formler og notater Sensuren faller: 12. januar 2005 NB: Alle svar skal begrunnes. Notasjon brukt i dette oppgavesettet: Z t er hvit støy med varians σ 2, dvs. Z t WN(0, σ 2 ). B er backshift-operatoren, slik at B j X t X t j, j Z = {0, ±1, ±2,...} ACVF = autokovarians-funksjon, ACF = autokorrelasjons-funksjon.

2 TMA4285 Tidsrekker og lterteori Side 2 av 3 Oppgave 1 Anta at tidsrekken X t er en ARMA(p, q)-prosess denert ved φ(b) X t = θ(b) Z t ; t Z (1) hvor AR-polynomet φ(z) = 1 φ 1 z... φ p z p, og MA-polynomet θ(z) = 1+θ 1 z +...+θ q z q. a) Hvilke betingelser er oppfylt når X t er en ARMA(p, q)-prosess? Diskutér spesielt hvilke krav som må stilles til AR- og MA-polynomene. b) Hva betyr det at X t er en kausal tidsrekke, og hvordan kan det uttrykkes? Hva med invertibel? Hvilke krav må stilles til AR- og MA-polynomene for å sikre at X t skal være både kausal og invertibel? La φ og θ betegne reelle konstanter. Tidsrekken X t denert i ligning (1), skal nå spesialiseres til følgende modell: X t φx t 1 = Z t + θ Z t Z t 2 ; t Z (2) c) For hvilke verdier av φ og θ er X t både kausal og invertibel? d) Bestem MA( )-representasjonen av X t når den er kausal, og verisér at kravet for konvergens er oppfylt. Oppgave 2 La φ betegne en reell konstant, og anta at φ < 1. Betrakt tidsrekken X t denert som følger: X 1 = Z 1 (3) X t = φx t 1 + Z t ; t = 2, 3,... (4) a) Bestem middelverdi og varians til X t for t = 1, 2,..., og vis at for t 1 og h 0. Er X t en stasjonær tidsrekke? Cov(X t+h, X t ) = σ 2 φ h 1 φ2t

3 TMA4285 Tidsrekker og lterteori Side 3 av 3 b) Argumentér for at X t kan betraktes som stasjonær for store verdier av t. Beskriv deretter hvordan du rent praktisk kan bruke dette til å simulere n observasjoner av en stasjonær Gaussisk AR(1)-modell ut fra simulerte verdier fra en IID N(0, 1)-prosess, dvs. uavhengig, identisk fordelt Gaussisk hvit støy med varians lik 1.0. c) Anta at den første ligningen erstattes med X 1 = Er den resulterende tidsrekken stasjonær? Oppgave φ 2 Z 1 (5) I denne oppgaven skal vi anta at Z t IID N(0, σ 2 ). La tidsrekken Y t være en kausal ARMA(1,1)- prosess gitt ved Y t = φy t 1 + Z t + θ Z t 1 ; t Z (6) hvor det antas at φ > 0. a) Bestem ligningene som ACVF γ Y ( ) til Y t tilfredsstiller, og bestem γ Y (h) for h 0. Vis at tilhørende ACF er gitt ved ρ Y (h) = (1 + θφ)(φ + θ) 1 + 2θφ + θ 2 φ h 1 ; h 1 (7) Y t kan, under visse betingelser, betraktes som gitt av følgende tilstandsrom-representasjon: og Y t = X t + V t ; t Z (8) X t+1 = φx t + W t ; t Z (9) for passende valg av 'hvit støy'-prosesser V t og W t, hvor V t IID N(0, σ 2 V ), W t IID N(0, σ 2 W ), E[V t W s ] = 0 for alle s og t. Du kan også anta at E[X t V s ] = 0 for alle s og t. b) Bestem ACVF til Y t gitt av ligningene (8) og (9). Vis at ACF til Y t er gitt ved uttrykket ( ρ Y (h) = 1 + σ2 ( )) 1 V 1 φ 2 φ h ; h 1 (10) σw 2 c) ACVF til Y t gitt av ligningene (8) og (9) er identisk, under visse betingelser, med ACVF til Y t bestemt av ligning (6). Vis det ved å vise at σ V og σ W kan uttrykkes ved σ, φ og θ, og bestem hvilke verdier for θ som kan tillates.

4 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Bokmål LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMENSOPPGAVENE I EMNE TMA4285 TIDSREKKER OG FILTERTEORI 15. desember 2004 Tid: 09:0013:00 Oppgave 1 a) For at X t skal være en ARMA-prosess må den være stasjonær, og AR- og MA-polynomet kan ikke ha felles røtter. Stasjonaritet sikres ved at φ(z) 0 for z = 1 (z C = de komplekse tall). b) X t er en kausal tidsrekke hvis X t kan uttrykkes på følgende måte som en en-sidig lineær prosess: X t = j=0 ψ j Z t j, hvor j=0 ψ j <. Dette er en MA( )-modell. At X t er invertibel betyr at X t kan representeres som en AR( )-modell, dvs. j=0 π j X t j = Z t., hvor j=0 π j <. X t er kausal hvis og bare hvis røttene i AR-polynomet φ(z) ligger utenfor enhetsdisken i C, dvs. φ(z) 0 for z 1. Forat X t skal være invertibel, er det nødvendig og tilstrekkelig at røttene i MA-polynomet θ(z) ligger utenfor enhetsdisken. c) AR-polynomet har åpenbart roten z = 1/φ. Denne ligger utenfor enhetsdisken hvis og bare hvis φ < 1. MA-polynomet er nå θ(z) = 1 + θz + 0.5z 2. Røttene, betegnet med z 1 og z 2, er gitt ved z 1,2 = θ ± θ 2 2 Vi ser at for θ 2, så er røttene reelle, mens for θ < 2, så er røttene kompleks konjugerte.

5 TMA4285 Tidsrekker og lterteori Side 2 av 5 Ser på det siste tilfellet først. For θ < 2, blir (i = 1) Det gir Det gir at z 1,2 > 1 for θ < 2. Anta så θ 2: z 1,2 = θ ± i 2 θ 2 z 1,2 2 = θ θ 2 = 2 Da er z 2 < z 1 = θ + θ 2 2 < 0. Må derfor kreve θ + θ 2 2 < 1, som gir θ < 3/2. Tilsvarende, for θ 2 blir 0 < z 2 = θ θ 2 2 < z 1. Må derfor kreve θ θ2 2 > 1, som gir θ > 3/2. Dermed ligger røttene i MA-polynomet utenfor enhetsdisken hvis og bare hvis θ < 3/2. Konklusjon: X t er både kausal og invertibel hvis og bare hvis φ < 1 og θ < 3/2. d) For MA( )-representasjonen X t = j=0 ψ j Z t j kan koesientene ψ j bestemmes av ligningen ψ(z) = θ(z)/φ(z), hvor ψ(z) = j=0 ψ j z j, φ(z) = 1 φz og θ(z) = 1 + θz + 0.5z 2. Det gir ligningen ψ 0 + ψ 1 z + ψ 2 z = 1 + θz + 0.5z2 1 φz = (1 + θz + 0.5z 2 )(1 + φz + φ 2 z ) Sammenligning av koesientene foran z j, j = 0, 1, 2,..., gir ψ 0 = 1 ψ 1 = φ + θ ψ 2 = φ 2 + φθ ψ 3 = (φ 2 + φθ + 0.5) φ. ψ j = (φ 2 + φθ + 0.5) φ j 2 ; j = 2, 3,... Herav følger at j=0 ψ j < hvis og bare hvis j=0 φ j <, og det holder åpenbart siden φ < 1.

6 TMA4285 Tidsrekker og lterteori Side 3 av 5 Oppgave 2 a) E[X t ] = 0 siden E[Z t ] = 0. siden σ 1 = σ. σ 2 t = Var(X t ) = E[X 2 t ] = E[(φX t 1 + Z t )(φx t 1 + Z t )]. = φ 2 E[X 2 t 1] + σ 2 = φ 2 σ 2 t 1 + σ 2 = φ 2 (φ 2 σ 2 t 2 + σ 2 ) + σ 2 = φ 4 σ 2 t 2 + σ 2 (1 + φ 2 ) = φ 2(t 1) σ σ 2 (1 + φ φ 2(t 2) ) = σ 2 (1 + φ φ 2(t 1) ) = σ 2 1 φ2t Et følgeresultat av stasjonaritet er at variansen er konstant, dvs. uavhengig av tident t. Det er åpenbart ikke tilfelle her, og X t er derfor ikke stasjonær. La h 0 og t 1. Da er Cov(X t+h, X t ) = E[X t X t+h ] = E[X t (φx t+h 1 + Z t+h )] = φ E[X t X t+h 1 ] =... = φ h E[X 2 t ] = φ h σ 2 t b) Vi ser av ligning (1) ovenfor at = σ 2 1 φ2t φh (1) Cov(X t+h, X t ) σ 2 φ h t Siden grenseverdien for store t eksisterer og er bare avhengig av h, kan vi tilnærmet si at X t er stasjonær for store t. Siden Z t er IID N(0,1), blir X t en gaussisk tidsrekke. For store t blir derfor X t tilnærmet en stasjonær gaussisk tidsrekke som tilfredsstiller ligning (4), dvs. X t blir tilnærmet en gaussisk AR(1)-prosess for store t. En praktisk simulering av n observasjoner fra en gaussisk AR(1)-prosess (med φ < 1) kan da oppnås ved å simulere fra den gitte modellen over et tidsintervall med lengde T slik at φ T n < ε, hvor ε er en valgt nøyaktighet. (Dvs. tall mindre enn ε blir betraktet som null.)

7 TMA4285 Tidsrekker og lterteori Side 4 av 5 c) Ligning (5) gir at Anta σ 2 t = σ 2 1. Vi har σ 2 1 = Var(X 1 ) = σ2 σ 2 t+1 = φ 2 σ 2 t + σ 2 = φ 2 σ σ 2 = φ 2 σ 2 + σ2 = σ2 Per induksjon følger at σ 2 t = σ 2 1 for alle t. Siden Cov(X t+h, X t ) = σ 2 t φ h (h 0), følger at Dermed er X t stasjonær. Cov(X t+h, X t ) = σ 2 φ h Oppgave 3 a) Ligning (6) gir relasjonen Det medfører at γ Y (h) = γ(1) φ h 1. Tilsvarende nner vi at og γ Y (h) φ γ Y (h 1) = 0 ; h = 2, 3,... γ Y (0) = φ γ Y (1) + σ 2 (1 + φθ + θ 2 ) γ Y (1) = φ γ Y (0) + σ 2 θ Ved å løse de to siste ligningene, nner vi at og φθ + θ2 γ Y (0) = σ 2 (1 + φ θ)(φ + θ) γ Y (1) = σ Dermed er γ Y (h) fullstendig bestemt, og vi nner at ACF er gitt ved ρ Y (h) = (1 + φ θ)(φ + θ) 1 + 2φθ + θ 2 φ h 1

8 TMA4285 Tidsrekker og lterteori Side 5 av 5 b) Fra ligning (9) og resultatene i punkt a) (eller Oppgave 2) nner vi at Ligning (8) gir at og for h 1 γ X (h) = σ 2 W φ h ; h = 0, 1, 2,... 1 φ2 γ Y (0) = Var(Y t ) = Var(X t + V t ) = σ2 W + σ2 V γ Y (h) = Cov(Y t+h, Y t ) = Cov(X t+h + V t+h, X t + V t ) = γ X (h) Herav følger at for h 1 er ACF til Y t gitt ved ρ Y (h) = σ2 W φ h 1 φ 2 σ 2 W 1 φ 2 + σ 2 V = ( 1 + σ2 ( )) 1 V 1 φ 2 φ h σw 2 c) Vi ser at ACF til Y t blir identisk i de to tilfellene når ( 1 + σ2 ( )) 1 V 1 φ 2 (1 + φ θ)(φ + θ) φ = σw φθ + θ 2 Dermed, hvis likhet kan oppnås i denne ligningen, og variansen er den samme, dvs. så er åpenbart de to ACVFene identiske. Løser vi den første ligningen over, får vi at σw 2 1 φ + 2 σ φθ + θ2 V = σ σv 2 σw 2 Ved å bruke den andre ligningen, nner vi at og til slutt = θ (1 + φ θ)(φ + θ) σ 2 W = σ 2 (1 + φ θ)(1 + θ/φ) σ 2 V = σ 2 θ φ σv 2 > 0 krever at θ < 0. Fra utrykket for σ2 W ser vi at σw 2 > 0 for θ < 1/φ og θ > φ. Dermed blir det tillatte verdiområdet for θ: < θ < 1/φ og φ < θ < 0. For slike verdier på θ kan vi alltid nne passende verdier for σ V og σ W slik at de to ACVFene blir identiske.

9 ! "# $ % # & ' ( *)+ -,.,. ( /)+ 01# &798 :<;>=@?BAC D E@FHGJIKFL@MHNOPE@L&ORQN S TUVTLWPE%XYT(N[Z \ U^]I_S `RabWcW / dbegfhgijdbkmldniokpdrqsithpuvxw[yzq-l {/f~}d5egegdb} g ˆ E@Q FHQ H %Ž I_S[Zx ˆ Z H Ž Z H! ^T(GJ TX9IJSGJT(UZ x &š œœj nžcÿ >ž *œj J J E@ IJU D M@UcGJE@F ª «M@O^OPXYE@N J >ž *œ± ²Ÿ ª³E@G_LQǴ E%OcMHUb Œµ H & ¹<OcO F@Q G_O \ º» E@UcLYXYT(S/WŠOPTX9 TGX9TSsTFHN T ¼#MHU^XYG_TU½MHF¾N M@Ō E OPTU TN W^Q UcT(N ¼ E@Q @Ž ƒ l [q-d5} qpdb g}-l ÁÀàÄtÅ Å ÆÈÇÉÊ!ËÃÇÌÊ Å*Í5ÆÎ!ËόЌÐRÆÇÒÑ jó<ôê Ç ÕÓ ÐÖÍŒË Ï Ì½ÔØ *ÙŒÆÚÔÔÆÁÓ!ÛRÛ Î ÊÉ ÆÇÆÚÔÔÆÚÔÚ w t TUVÜ&]IKOVW^OPÝ%ÞpXYT(Ss]%E%UcÍ E%N W σw 2 B T(U5š ß à» MH T(UPE%OcMHUcT(N[ W^GJIJLE%O B k x t x t k T(UV UcM@FHN MHW^TNs¼#MHU FHI_O^O x t x 1,...,x s x s t k = 0, ±1, ±2,...

10 á~â ã 8 äå&æ á 1#2çcè 3 éé3 è êë9ì í+îï3 è>îï3ê è^1 01#2 3Œä96&798 ô & öõ E S TU ð E&ñ x t D~I_FHQ U HZ ð E&ñ½SxE%Ō E¼#UPE*X9MS T(GJG_TNpS T(ó N TUŠORI ð ñ S]W x t ]abuctbfhikocob]ht(s b T(UVTN/L@MHN WŠŌ E@N&O ð ò ñ y t x t xmhf ð ò ñbs T(N S T(UcI_]HT(U^OcT (1 φb)x t = bt + w t ð ñ Òø ] E9X9T(N TWVXYT(S E%OVT(N W^OcMHL E%W^OPI_WcL- U^MHWcT(WcWRT(UVW^] E@L&ORW^Ō E%W# ^MHNxa½Ū ù DxMHU Ü&]IJGJL@T ]HT(UcS I_TU E>] b M@F φ T(U T(N WŠ]%E@L&ORW^OPE@W# ^M@NxabU UcMHW^TWcWPù x t \ N&Ō E*]IJSTUcTBE O φ < 1 MHF b 0 ú E%Ō E¼#UPE* U^MHWcT(WcWcT(NgI ð ñ½t(u ]I_W^OVI[óxF@Q U³ E û ø ]@MHU^¼#MHUVE@NxE%G_ÞWcT(UcTU ]IM@¼OcT³SI_üÒTUcT(N WcI_TUŠOPT³SxE Ō E ð óxfhqu³ ò ñ y t Nxý@U SxE%OPE@TNTBT(UVWcMHXþI[óxF@Q U³ E&ù y t = (1 B)x t ÿ ø ]I_GJL@T(N \ «\V» X9MS TG_GÒ¼#ÝHGJF@TU ¹!U I_N]HT(U^OPI ò TǴ ùbªrmhx9xyt(no U y t y t ù ô & E x t ]abuctbfhikocob]ht(s x t = φ x x t 1 + w x,t, φ x < 1, E@U (w x,t ) = σ 2 w,x

11 á~â ã 8 äå&æ á 1#2çcè 3 éé3 è êë9ì í+îï3 è>îï3ê è^1 01#2 3 *6&798 MHF y t ]abuctbfhikocob]ht(s S TUVI_N S TLW^TN T \ N&Ō E x MHF nu DIJFHQ UV Z ¹<O^O XQ GJI_Fn¼#UcT(L&]HTN WcWc TLOcTU OPI_G y t = φ y y t 1 + w y,t, φ y < 1, y IJN S I_L@TU^TUbOPI_GJÜ Ý@UcIKFHÜ T ObOPI_G E@U z t (w y,t ) = σ 2 w,y x» MHF y» UcM@WcTW^WcT(N {x t } TUVQ L@M@UcUcT(GJT(U^O X9TS {y t } MHF9E%O ]IM ò WcTUŠ]HTU^TU³ ² z t S TU Òø D~I_N N/E@QOcMHL@MHU^UcT(Ǵ E@W ^MHN W^¼#QN LW# ^MHN T(N z t = x t + y t z t ð \ D!ñ½OcIJG E f x (ν) ]abu^t³¼#uctl&]ht(n WcWc TLOPTU^T(OROPI_G MHF*OPIJG_W^] E@UcT(N S T XYT(S x t û ø I_WVE%O ½U^Q L ð Hñ OcIJG[ý*óxNN T ÿ ø úœt(ucwcm@x \ N&Ō E*]IJSTUcTBE O ø I_WVE%O f z (ν) f z (ν) = f x (ν) + f y (ν). f z (ν) f y (ν) M@F f z (ν) ÜxE%S S T ]abušorw^mhxriúóxfhq UR Ü]%E*]HT(OV]ISxE¾MHX ¼#MHUŠOPTF@N TN T OPI_G M@F φ x σ 2 x = σ 2 y = σ 2 xwce@xno E%O φ x = φ y = φ z t TUVT(N \ «\V» U^MHWcT(WcW ½T(W^OPT(XÖMHU^S TN/MHF9E@G_GJT E@UPE@X9T(OcUcT I[XYMS T(GJG_TN ø D~I_N NsT(O^O» MHF*OPM» W^OcTFHW UcMHF@N MHWcT³WcE@XnO OPI_GJÜ ÝHU^TN ST U^MHFHN M@WcT(¼#T(IJGÚ¼#MHU z t φ y ù ð Hñ

12 á~â ã 8 äå&æ á 1#2çcè 3 éé3 è êë9ì í+îï3 è>îï3ê è^1 01#2 3 8*6& D~IJF@Q U Zxª ] E@U^OPE@GJWŠ]I_WcT M ]HT(UcW^LQS S ¼#MHU@MHÜ NWcMHN@M@Ü N WcM@N ô & ó FHQ U *TUVST(OV]IJW^OVL&]%E@U^OPE@G_W^]IJWcT SxE%Ō E¼#MHU M]HTUcW^LQ S S NWcMHN@MHÜ N W^MHN úœq ò G_IJU ¼#MHUcT(Ǵ E@F%Ob¼#ÝHGJF@TN ST³X9MS T(GJGZúŒTBM ò WcTUŠ]HTUŠOPT5S E%Ō E xx9ms TG_GJT(UcT(Wb]HT(S y t S TU µ t T(U OPUcT(N S[ s t T(UVWcTW^MHN F@L@MHXY M@N TN&ORMHF y t = µ t + s t + v t v t T(UVÜ]IKO WŠOPÝ@Þ U^TN STN µ t X9MS TG_G_TUcT(Wb]HT(S S TU w t TUVÜ&]I_OVW^OPÝ%ÞpMHF µ t = βµ t 1 + w t β T(N xe@uce@x9t(octu TWcM@N FHL@MHX9 MHN T(NOcTN s t XYMSTGJG_TU^TW½]HTS s t + s t 1 + s t 2 + s t 3 = u t S TU TUVÜ&]I_OVW^OcÝ@Þ u t Òø LUcIK]zXYMS T(GJG_TN. xý WŠŌ E%OPT» W^ xe(t ¼#MHUcX/ S]W*X9TS T(N OcIJG_W^Ō E%N S W» G_I_F@N I_N F MHFgTN M ò WcTUŠ]%E@W ^MHN» WcG_IJF@N IJNF DxMHU^LGJE@U L@MHU^ORÜ&]HMHUcSxE%N$S Q ]I_GOcIJGJ E@WcW^TBX9MS T(GJG_TNpOPIJG[S T5M ò WcTUŠ]HTUŠOPTnSxE%OPE9WPE%XO ò TU^TFHNTn U^MHF» N MHW^TU ¼#MHU S T ORL&] E@U^Ō E%GJWŠ]I_WcT³M]HTU^WcLQ S S T(O û ø úœi_wclqo (UnÜ]@MHUcSxE%N WcT(WcMHNF@]%E@U^Í E@W ^MHN.TUBŌ E OcO5Ü T(N W^ÞN OPI_G Ĩ STN N TX9MS TG_G_TN ½QUcS TYS T(O5]abU^O F> ^MHUŠOV xý¾t(n$e%n N TN/Xý OPTù WPý*¼ E@G_G Ü&]HMHUcSxE%N ù