EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Onsdag 30. mai 2007 kl

Transkript

1 NORSK TEKST Side av 3 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller EKSAMEN I FY45 KVANTEFYSIKK Onsdag 3. mai 7 kl Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator Rottmann: Matematisk formelsamling Øgrim & Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk, eller Lian og Angell: Fysiske størrelser og enheter Et ark med uttrykk og formler er vedlagt. Sensuren faller i juni 7. Oppgave En partikkel med masse m befinner seg i et éndimensjonalt potensial V for a < x < a >, V x = for < x < b, b <, for x < a og for x > b. Her er V = h /ma. I denne oppgaven tenker vi oss at lengden a og dermed V holdes fast, mens lengden b kan varieres mellom null og uendelig. Vi vil fokusere spesielt på oppførselen til grunntilstanden ψ x og den tilhørende energien E, for varierende verdier av b. a. Se først på grensetilfellet b =. Finn grunntilstanden ψ x og bestem dennes energi E for dette tilfellet. Hva skjer med grunntilstandsenergien E når b går mot uendelig?

2 Side av 3 b. Anta nå at b >. Forklar hvorfor grunntilstanden må ha formen Hvorfor må vi ha k b < π? ψ x = A sin[k x b] for < x < b. c. For tilstrekkelig store verdier av b blir grunntilstandsenergien E mindre enn V. Anta at b har en slik verdi. Hvordan krummer da ψ x i området a < x <? Lag en skisse av hele bølgefunksjonen ψ x for et slikt tilfelle. Forklar hvorfor bølgelengden λ = π/k for slike verdier av b må oppfylle ulikheten b < λ / < a + b. d. For én bestemt verdi av b vil grunntilstandsenergien E bli akkurat lik V. Finn denne verdien av b, og skissér ψ x for dette tilfellet. Hvor stor må b være for at første eksiterte tilstand, ψ x, skal få energien E = V? Oppgave En partikkel med masse µ beveger seg i en tredimensjonal kvanteprikk, i form av et kuleformet bokspotensial, med V = innenfor radien R og V = utenfor. Se figuren til venstre ovenfor. Dette systemet har energiegenfunksjoner på formen ψr, θ, φ = ur Y lm θ, φ, r der radialfunksjonen avhenger av dreieimpulskvantetallet l og radialkvantetallet n r som pr definisjon er antallet nullpunkter i radialfunksjonen i intervallet < r < R. a. Argumentér for at grunntilstanden i dette potensialet beskrives av en energiegenfunksjon med l = altså en s-bølge og med n r =. [Hint: Funksjonen ur oppfyller en éndimensjonal radialligning, som du finner på formelarket.] Finn denne energiegenfunksjonen og den tilhørende energiegenverdien. b. Betrakt en alternativ kvanteprikk, der den samme partikkelen med masse µ befinner seg i en kubisk boks, med samme volum V = L 3 som kula ovenfor dvs slik at V = L 3 = 4πR 3 /3. Finn forholdet mellom grunntilstandsenergiene i kuben og kula, og avgjør på den måten i hvilken av de to kvanteprikkene kvantevillskapen er størst.

3 Side 3 av 3 c. Anta nå at volumet V = L 3 = 4 3 πr3 av de to kvanteprikkene kan regnes for å være makroskopisk, og at hvert av dem inneholder et stort antall N av ikke-vekselvirkende spinn- -partikler med masse µ. Anta videre at de to mangepartikkelsystemene i kula og kuben begge er i grunntilstanden. Hva er da den maksimale én-partikkel-energien i de to volumene? Finn den maksimale én-partikkel-energien i elektronvolt, når N/V = 3 cm 3 og µ = m e. Oppgave 3 I denne oppgaven ser vi på spinntilstanden for en partikkel med spinn. a a. Vis at en vilkårlig spinor χ = er en egenspinor til S b x, Sy, Sz og S, og angi egenverdiene. Forklar med utgangspunkt i egenverdien for S hva vi mener med å si at partikkelen har spinn. Angi de mulige måleresultatene ved målinger av S x, S y og S z på en slik tilstand χ. Bare én av de tre observablene måles om gangen. Hva mener vi med å si at observablene S x, S y og S z ikke er kompatible? b. Vis at de to spinorene χ ±ŷ / ±i/ begge er egenspinorer til S y og bestem egenverdiene. Se formel-arket. Vis også at de to spinorene er normerte. c. Anta nå at dette spinnet prepareres i tilstanden / χ = + i a b = a + b Vis at χ er normert. Hva er den fysiske tolkningen av koeffisientene a og b? d. Hva er de mulige måleresultatene ved en måling av S y, og hva er sannsynlighetene for disse, når spinnet før målingen befinner seg i tilstanden χ oppgitt i pkt. c?.

4

5 Vedlegg: Formler og uttrykk Noe av dette kan du få bruk for. Éndimensjonal boks, V x = for < x < L, uendelig utenfor ψ n x = nπx sin L L. Radialligning for kulesymmetrisk potensial V r ψr, θ, φ = RrY lm θ, φ ur Y lm θ, φ; r h d [ ] u µ dr + V r + h ll + u = Eu; u =. µr Laplace-operatoren og dreieimpulsoperatorer i kulekoordinater ˆL x = h i = r + r sin φ θ r ˆL h r, ˆL = h θ + cot θ θ + sin θ, φ cot θ cos φ, ˆLy = h cos φ cot θ sin φ, ˆLz = h φ i θ φ i [ˆL, ˆL i ] = i = x, y, z, [ˆL x, ˆL y ] = i hˆl z, etc. φ, Sfæriske harmoniske { ˆL ˆL z } { h ll + Y lm = hm } Y lm ; Y l m Y lmdω = δ l lδ m m; ˆLz = h i φ ; Y = Y = 5 6π 3 cos θ, Noen fysiske konstanter 3 4π, Y = 4π cos θ, 3 Y,± = 8π sin θ e±iφ. 5 Y,± = 8π sin θ cos θ e±iφ, Y,± = 5 3π sin θ e ±iφ. a 4πɛ h m e e = α h m e c =.59 m; α e 4πɛ hc = ; c = m/s; h = evs; m e =.5 MeV/c. h 3.6 ev. m e a

6 Antall romlige énpartikkeltilstander i faserom-element V d 3 p dn rom = V d 3 p π h 3. Spinn For en partikkel med spinn kan en bruke spinnoperatoren S = hσ = hê xσ x + ê y σ y + ê z σ z, der σ x =, σ y = i i er de såkalte Pauli-matrisene. Pauli-spinorene χ + =, σ z = og χ = er da a egentilstander til S z = hσ z med egenverdiene ± h. En normert spinntilstand χ = b kan karakteriseres ved spinnretningen, σ = χ σχ = ê x Rea b + ê y Ima b + ê z a b. Matrisene S x = hσ x osv oppfyller dreieimpulsalgebraen, [S x, S y ] = i hs z, [S y, S z ] = i hs x, [S z, S x ] = i hs y. Videre er S x = S y = S z = h 4 og S = 3 h 4.