EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Lørdag 8. august 2009 kl

Transkript

1 NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Lørdag 8. august 2009 kl Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator Rottmann: Matematisk formelsamling Øgrim & Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk, eller Lian og Angell: Fysiske størrelser og enheter Et ark med uttrykk og formler er vedlagt. Sensuren faller i august Oppgave En partikkel med masse m befinner seg i et endimensjonalt potensial som består av en deltafunksjonsbrønn i punktet x = L/3 samt to uendelig harde vegger ved x = 0 og x = L : { for x < 0 og for x > L V x = βδx L/3 for 0 < x < L. β 0 Det opplyses at energiegenfunksjoner i dette potensialet må oppfylle diskontinuitetsbetingelsen ψ /ψ x=l/3 + ψ /ψ x=l/3 = 2mβ h 2. a. Angi bølgetallene k n 0 og energiene E n 0 for energiegenfunksjonene for spesialtilfellet β = 0, og skissér egenfunksjonene for de tre laveste energiene for dette tilfellet. Anta så at β 0, og forklar hvilke av energiegentilstandene som er helt uberørt av deltafunksjonsbidraget til potensialet dvs har samme bølgefunksjoner og energier som for β = 0.

2 Side 2 av 4 b. For en viss β-verdi, β 0, blir grunntilstandsenergien E lik null. Skissér bølgefunksjonen ψ for dette tilfellet, og bestem β 0 uttrykt ved de oppgitte størrelsene. Hva skjer med E når β gjøres større enn β 0? Prøv å begrunne svaret så godt du kan. Hvorfor har alle de eksiterte egentilstandene positive energier, uansett hvor stor vi gjør β? [Hint: Jf krumningsegenskaper.] c. Figuren viser to av de eksiterte energiegenfunksjonene for β = 9 h 2 /2mL. Angi hvilke tilstander dette er. Bruk figuren til å bestemme omtrent hvor store bølgetallene og energiene er for disse to energiegenfunksjonene. d. Finn en ligning som gjør det mulig å bestemme bølgetallene for de eksiterte tilstandene numerisk. [Hint: Det er praktisk å bruke den dimensjonsløse størrelsen kl som den ukjente.] Bruk denne ligningen til å bestemme en mer nøyaktig verdi for bølgetallet k 2 og energien E 2 for første eksiterte tilstand. Oppgave 2 I denne oppgaven betrakter vi en spinn- -partikkel som befinner seg i et konstant og 2 homogent magnetfelt B rettet i x-retningen. Når vi ser bort fra andre frihetsgrader, kan Hamilton-operatoren for dette spinnet skrives på formen H = ωs x, der vi antar at ω er positiv. Egentilstandene til denne Hamilton-operatoren er χˆx = 2 og χ ˆx = 2. a. Finn energiegenverdiene E + og E. De tilsvarende stasjonære tilstandene er χ ± t = χ ±ˆx e ie ±t/ h.

3 Side 3 av 4 Finn spinnretningene σ ± for disse stasjonære tilstandene, og kontrollér at disse retningene er tidsuavhengige. Hvorfor er en lineærkombinasjon χt = c + χ + t + c χ t med tidsuavhengige koeffisienter av de stasjonære tilstandene en mulig tilstand for dette systemet? Hvorfor er en slik lineærkombinasjon den mest generelle tilstanden vi kan ha for dette systemet? b. Ved t = 0 foretas det en måling av en viss komponent ˆn S av spinnet som etterlater dette i tilstanden 0 χ0 =. Finn spinnretningen σ 0 ved tiden t = 0 dvs umiddelbart etter målingen. Angi hvilken komponent som er målt dvs retningen til enhetsvektoren ˆn, og finn måleresultatet. Finn forventningsverdien E av energien og usikkerheten E i denne tilstanden. c. Finn også spinnretningen σ ved tidene t = π/2ω og t 2 = π/ω. d. Beskriv hva som skjer hvis vi ved t = 2π/ω plutselig endrer B-feltet, slik at den nye retningen blir langs y-aksen og størrelsen blir dobbelt så stor som opprinnelig. e. Vi går nå tilbake til t = 0, og endrer begynnelsestilstanden til χ0 = χ ˆx. Anta at vi, denne gangen svært langsomt, igjen endrer retningen av feltet fra ê x til ê y og størrelsen til det dobbelte. Beskriv hva som skjer. Finn tilstanden og energien til spinnet etter at denne endringen er overstått. Oppgave 3 En partikkel med masse m er i utgangspunktet i grunntilstanden i et tredimensjonalt harmonisk oscillatorpotensial V r = 2 mω2 r 2. Partikkelen utsettes så for en transient forbigående perturbasjon som svarer til to kraftstøt: V t = x p 0 δt + π/2ω y p 0 δt, Ft = V t = ê x p 0 δt + π 2ω + ê y p 0 δt. Her er p 0 størrelsen av impulsen som overføres i hvert av støtene.

4 Side 4 av 4 Klassisk vil en partikkel som i utgangspunktet er i ro i potensialet V r og så utsettes for disse støtene, for t > 0 havne i en sirkelbane med impuls, dreieimpuls og energi gitt ved rt = p 0 mω ê x cos ωt + ê y sin ωt, pt = p 0 ê x sin ωt + ê y cos ωt, L = r p = ê z p 2 0 mω og E = K + V = p2 0 m. I denne oppgaven skal dette problemet behandles kvantemekanisk, ved hjelp av.- ordens tidsavhengig perturbasjonsteori. Som uperturberte løsninger bruker vi produkttilstandene Ψ 0 n xn yn z r, t = ψ nx xψ ny yψ nz ze iet/ h ; E = hωn x + n y + n z + 3/2, som er ortogonale og normerte. Tilstanden til oscillatoren kan utvikles i dette settet: Ψr, t = a nxnyn z t Ψ 0 n xn yn z r, t. n xn yn z Før perturbasjonen ved t = t 0 < π/2ω er a 000 =. Etter perturbasjonen er koeffisientene a nxnyn z igjen tidsuavhengige, og det er disse koeffisientene som nå skal finnes. a. Sett p 0 = ɛ 2 hmω der ɛ er dimensjonsløs, beregn overgangsamplitudene a nxnyn z for t > 0 ved hjelp av.-ordens tidsavhengig perturbasjonsteori, og vis at det er bare to av overgangsamplitudene som er forskjellige fra null i tillegg til amplituden a 000 for h/2mω ψ x.] å finne oscillatoren i den opprinnelige tilstanden. [Hint: xψ 0 x = Finn også overgangssannsynlighetene. Hvilken betingelse må ɛ oppfylle for at.-ordens perturbasjonsteori skal gi en bra tilnærmelse her? b. Utviklingen * kan skrives på formen Ψ a + Ψ b, hvor Ψ a = a 000 Ψ 0 000r, t. Påvis at Ψ b er en egenfunksjon både til den uperturberte Hamilton-operatoren Ĥ og til dreieimpulsoperatoren L z. Beregn forventningsverdien av energiøkningen på grunn av den transiente perturbasjonen, E 2 hω 3, og sammenlign med den klassiske energien oppgitt ovenfor. Gjennomfør en tilsvarende sammenligning for L z.

5 Vedlegg: Formler og uttrykk Noe av dette kan du få bruk for. Målepostulatet i De eneste mulige verdiene som en måling av observabelen F kan gi er en av egenverdiene f n. ii Umiddelbart etter målingen av F er systemet i en egentilstand til den tilhørende operatoren F, nemlig en egentilstand som svarer til den målte egenverdien f n. Spinn 2 For en partikkel med spinn 2 kan en bruke spinnoperatoren S = 2 hσ = 2 hê xσ x + ê y σ y + ê z σ z, der σ x = 0 0, σ y = 0 i i 0 er de såkalte Pauli-matrisene. Pauli-spinorene χ + =, σ z = og χ = 0 er da a egentilstander til S z = 2 hσ z med egenverdiene ± 2 h. En normert spinntilstand χ = b kan karakteriseres ved spinnretningen, σ = χ σχ = ê x Re2a b + ê y Im2a b + ê z a 2 b 2. Matrisene S x = 2 hσ x osv oppfyller dreieimpulsalgebraen, [S x, S y ] = i hs z, [S y, S z ] = i hs x, [S z, S x ] = i hs y. Videre er S 2 x = S 2 y = S 2 z = h og S 2 = 3 h Harmonisk oscillator Energiegenfunksjonene for potensialet V = 2 mω2 x 2 < x < oppfyller egenverdiligningen [ h2 2 ] 2m x mω2 x 2 n + hω ψ 2 n x = 0, n = 0,, 2,..., med løsninger på formen ψ n x = mω /4 /2 h π h 2n n! e mωx2 H n ξ, ξ = x h/mω ; H 0 ξ =, H ξ = 2ξ, H 2 ξ = 4ξ 2 2,.

6 Sfæriske harmoniske { L 2 L z } { h 2 ll + Y lm = hm } Y lm ; Y l m Y lmdω = δ l lδ m m; L z = h i φ ; Y 20 = Y 00 = 5 6π 3 cos2 θ, 3 4π, Y 0 = 4π cos θ, 3 Y,± = 8π sin θ e±iφ. 5 Y 2,± = 8π sin θ cos θ e±iφ, Y 2,±2 = Utgangspunktet for tidsavhengig perturbasjonsteori 5 32π sin2 θ e ±2iφ. Med en Hamilton-operator Ĥ = Ĥ0 + V t kan den eksakte løsningen utvikles i de uperturberte stasjonære løsningene: Ψr, t = n a n tψ 0 n r, t, der Ψ 0 n r, t = ψ n re ient/ h, Ĥ0ψ n r = E n ψ n r. Det eksakte ligningssettet for utviklingskoeffisientene er i h da k dt = e iωknt V kn ta n t; n V kn t = ψ k V t ψ n = ω kn = E k E n / h; ψ k V tψ n dτ. Med a n t 0 = δ ni oppfyller den eksakte amplituden ligningen a f t = δ fi + i h t e n t 0 iω fnt V fn t a n t dt. Til første orden i perturbasjonen er da amplituden a f a i f gitt ved Tidsutvikling av forventningsverdier δ-funksjonen og sprangfunksjonen a i f = δ fi + t iωfit e V fi t dt. i h t 0 d dt F = ī [Ĥ, F ] + F. h t d Θx = δx; dx fxδx adx = fa.