FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 1 LØSNING ØVING 8

Transkript

1 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 1 Løsning oppgave 8 1 LØSNING ØVING 8 Koherente tilstander for harmonisk oscillator a. Utviklingen (3) er en superposisjon av stasjonære tilstander for oscillatoren, og er derfor en løsning av Schrödingerligningen. Alle løsninger av Schrödingerligningen for oscillatoren kan skrives på denne formen, fordi de stasjonære løsningene danner et fullstendig sett (en basis). Merk ellers at ψ n (q) q n, og at Ψ(q, 0) q Ψ(0). Projeksjonen c n av begynnelsestilstanden ned på energiegentilstanden n er sannsynlighetsamplituden for å måle energien E n ω(n + 1 ). b. Operatoren a p.r. anvendt på begynnelsestilstanden gir a p.r. Ψ(q, 0) mω q + C 0 e mω(q q 0) / mω q ( mω q + mω ) mω (q q 0) C 0 e mω(q q 0) / mω q 0 Ψ(q, 0) α 0 Ψ(q, 0). Begynnelsestilstanden Ψ(q, 0) q Ψ(0) er altså ganske riktig en egenfunksjon til a p.r. med egenverdien mω α 0 q q 0 0 /mω. [Som vi skal se, er usikkerheten i begynnelsestilstanden, og i grunntilstanden, ( q) 0 /(mω). Dette er en naturlig lengde-enhet for oscillatoren, og vi merker oss at den dimensjonsløse egenverdien α 0 er forholdet mellom q 0 og ( q) 0.] Den tilsvarende abstrakte relasjonen (4) utleder vi slik: a Ψ(0) dq q q a Ψ(0) dq q a p.r. q Ψ(0) dq q α 0 q Ψ(0) } {{ } 1 α 0 dq q q Ψ(0) α 0 Ψ(0), q.e.d. } {{ } 1 Dette resultatet følger også fra ligningen idet denne gjelder for alle q. a p.r. q Ψ(0) q a Ψ(0) α 0 q Ψ(0) q α 0 Ψ(0), c. Ved hjelp av stigeoperator-relasjonen a n n n 1 finner vi at a Ψ(0) c k a k k 1n c k k k 1 c n+1 n + 1 n k0 k1 n0 α 0 c n n. n0

2 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 Denne vektorligningen må være oppfylt komponent for komponent, analogt med at ligningen A B impliserer at A x B x osv. Vi har altså α 0 c n c n+1 n + 1, eller α 0 c n 1 c n n, slik at sannsynlighetsamplituden for å måle energien En er c n α 0 n c n 1 α 0 n α 0 n 1 c n αn 0 n! c 0. d. Vi skal nå bruke (5) (bl.a) til å vise at også Ψ(t) er en egentilstand til operatoren a. Med Ψ(t) n0 c n n exp( ie n t/) har vi at a Ψ(t) c n n n 1 e ie nt/ n1 (c n n α0 c n 1, E n E n 1 + ω) n1 α 0 c n 1 n 1 e ie n 1t/ e iωt (k n 1) α 0 e iωt k0 c k e ie kt/ k α 0 e iωt Ψ(t). Dermed har vi vist at a Ψ(t) α Ψ(t), α α 0 e iωt. [Kommentar: Hermiteske operatorer har reelle egenverdier. Her ser vi at dette ikke behøver å være tilfellet for en ikke-hermitesk operator. Operatoren a kan ha et hvilketsomhelst komplekst tall som egenverdi.] e. Fra definisjonen av operatoren a har vi q mω (a + a ), mω p i (a a). Fra (7) og (8) har vi da at og q t mω Ψ(t) a + a Ψ(t) mω (α + α ) mω α 0 cos ωt q 0 cos ωt p t 1 mω Ψ (t) a a Ψ(t) i mω 1 i (α α ) mωq 0 sin ωt. De samme resultatene følger fra Ehrenfests teorem; jf oppgave 18.

3 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 3 f. Vha kommutator-relasjonen aa a a 1 har vi for de kvadrerte operatorene: og q mω (a + a )(a + a ) mω (a + a + aa + a a) mω (a + a + a a + 1) p mω (a a)(a a) mω (a + a 1 a a) mω (1 + a a a a ). Merk at vi her har brukt kommutatoren aa a a 1 til å sørge for at alle operatorprodukter er normal-ordnet, slik at ingen a står til venstre for en a, dvs slik at vi kan bruke ligning (8). Med samme framgangsmåte som ovenfor finner vi da at forventningsverdiene er q Ψ(t) q Ψ(t) t og p t [ α + (α ) + α + 1 ] [ (α + α ) + 1 ] mω mω q 0 cos ωt + mω mω For usikkerhetene finner vi da at og vi ser at [ 1 + α α (α ) ] mω (mωq 0 ) sin ωt + mω. ( q) t q t q t mω ( p) t p t p t mω ( q) t ( p) t 1. [ 1 (α α ) ] og ( q) t mω, og ( p) t mω, Her ser vi at usikkerhetene er tidsuavhengige (som annonsert), og altså har samme verdier som i begynnelsestilstanden, og som i grunntilstanden for den harmoniske oscillatoren (uavhengige av q 0 ). For spesialtilfellet q 0 0 beskriver tilstanden Ψ(t) (og den tilsvarende bølgefunksjonen Ψ(q, t)) den stasjonære grunntilstanden for oscillatoren, med usikkerhetene q /mω og p mω/. For q 0 > 0 er Ψ(q, t) en ikke-stasjonær bølgepakke som oscillerer fram og tilbake, hele tiden med de samme usikkerhetene som vi har for grunntilstanden. Dette gjelder uansett hvor stor q 0 vi velger. Velger vi q 0 veldig stor, slik at den nærmer seg makroskopiske verdier, er det vel klart at den relative usikkerheten q/q 0 går mot null. Det samme holder for p/ p max. Vi har da en kvantemekanisk beskrivelse som går over i den klassiske. Så klassisk mekanikk er på en måte et grensetilfelle av den mer fundamentale kvantemekaniske beskrivelsen.

4 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 4 g. Fra (8) har vi at forventet antall eksitasjoner er Dermed er N Ψ(t) N Ψ(t) Ψ(t) a a Ψ(t) α α α 0 E ω( N + 1 ) 1 ω + 1 mω q 0. ( mωq 0 (Merk at det siste leddet er den klassiske energien for et utsving q 0.) Tilsvarende har vi slik at N Ψ(t) a a a a Ψ(t) (aa a a + 1) Ψ(t) a (a a + 1)a Ψ(t) Ψ(t) (a a aa + a a) Ψ(t) α 4 + α α α 0, ( N) N N α α 0 (α 0) α 0. Usikkerheten i N er altså N α 0. Usikkerheten i energien blir da E ω N ωα 0. ). Her ser vi at den relative usikkerheten, N N α 0 α 0 1 α 0 /mω q 0, går mot null når q 0 går mot uendelig. Det samme skjer med E E ωα 0 ω(α0 + 1) α 0 α h. Sannsynligheten for å måle energien E n er kvadratet av koeffisienten c n : P n c n e α 0 (α 0 ) n n! ( e λ λ n n! (dersom vi kaller α0 for λ.) Vi kan si at alle energiene er representert i tilstanden Ψ(q, t), i den forstand at sannsynligheten i prinsippet er forskjellig fra null for alle n 0, 1,,,. Vi ser at P n α 0 P n 1 n. Denne formelen viser at sannsynligheten P n øker med økende n, helt til n passerer α 0. Så den mest sannsynlige energien finner vi for n α 0 mωq 0/, som svarer til energien E n ω(α ) 1 ω + 1 mω q 0 ( E ). Merk at sannsynlighetsfordelingen P n er en Poisson-fordeling. Det hører med i bildet at den relative bredden av denne fordelingen avtar for økende q 0 ; jf pkt. g. ),

5 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 5 i. Med q q t q 0 cos ωt og ( q) /mω får sannsynlighetstettheten (ifølge LF til øving 1) formen Ψ(q, t) C exp[ mω(q q 0 cos ωt) /]. Denne kan vi sammenligne med sannsynlighetstetthetene for begynnelsestilstanden og grunntilstanden, som er hhvis Ψ(q, 0) C 0 exp[ mω(q q 0 ) /] og ψ 0 (q) C 0 exp[ mωq /]; C 0 ( ) mω 1/4. π Her må vi ha C C 0 for å få en normert Ψ(q, t). Sannsynlighetstettheten ved tiden t har altså samme form som i begynnelsestilstanden og som i grunntilstanden, bare forskjøvet et stykke q 0 cos ωt i forhold til sistnevnte. j. Som Matlab-programmet (coherentstate.m) viser ved kjøring, oscillerer sannsynlighetspakken Ψ(x, t) mellom ytterposisjonene x ±x 0, med perioden T π/ω, hele tiden med uendret form og med konstant usikkerhet x q/ /mω 1/. Kommentar: Bølgefunksjonen Ψ(q, t) og dermed sannsynlighetstettheten kan også finnes eksplisitt: I og med at Ψ(q, t) oppfyller egenverdiligningen a p.r. Ψ(q, t) αψ(q, t), ser vi at a α, dvs (a p.r. a )Ψ(q, t) 0, eller [ ] mω (q q t ) + i ( p p t ) Ψ 0. mω Med p (/i)d/dq gir dette en førsteordens differensialligning, Multiplikasjon med [ ( )] mω (q q t ) + i d mω i dq i p t / Ψ 0. mω/ og divisjon med Ψ gir da dψ Ψ [i p t / mω(q q t )/] dq. Integrasjon av denne ligningen over q fra q t til q med fastholdt t gir ln Ψ(q, t) ln Ψ( q t, t) ī h p t (q q t ) mω (q q t ), hvor leddene som er understreket er uavhengige av q (dvs rent t-avhengige). Ved å eksponensiere har vi da (9) Ψ(q, t) C(t)e mω(q q t ) / e i p t (q q t )/,

6 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 6 i overensstemmelse med ligning (4.40) i Hemmer. Denne essensielt Gaussiske bølgepakken er som vi ser produktet av en impulsegenfunksjon (for impulsen p t mω sin ωt) og en Gauss-funksjon sentrert rundt posisjonen q 0 cos ωt, og gir en rent Gaussisk sannsynlighetsfordeling, som altså oscillerer fram og tilbake med konstant vidde q. Normeringen krever at faktoren C(t) må ha tallverdien (mω/π) 1/4. Et alternativ til utledningen ovenfor, som også bestemmer faktoren C(t), gir der (10) Ψ(q, t) ( mω π )1/4 e if(t) e mω(q q t ) / e i p t (q q t )/, f(t) p t q t / 1 ωt mωq 0 sin ωt cos ωt 1 ωt.