NORSK TEKST Side 1 av 4. Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller

Transkript

1 NORSK TEKST Sie 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt uner eksamen: Ingjal Øverbø, tlf , eller EKSAMEN I FY045/TFY450 KVANTEMEKANIKK I Lørag 4. esember 010 kl Tillatte hjelpemiler: Gokjent kalkulator Rottmann: Matematisk formelsamling Øgrim & Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk, eller Lian og Angell: Fysiske størrelser og enheter Et ark me uttrykk og formler er velagt. Sensuren faller senest 4. januar 011. Oppgave 1 Det oppgis at bunne tilstaner i et symmetrisk enimensjonalt potensial generelt har velefinert paritet; grunntilstanen er symmetrisk og fri for nullpunkter, første eksiterte tilstan er antisymmetrisk me ett nullpunkt, osv. I enne oppgaven ser vi på en partikkel me masse m som beveger seg i et enimensjonalt potensial som består av to eltafunksjonsbrønner, V x = β[δx a + δx + a] ; β > 0, a > 0. a. Vis at en bunen energiegentilstan for ette systemet må ha formen ψ E = Ce κx, me κ = 1 h me, for x > a. Forklar hvorfor en symmetrisk bunen energiegentilstan kan skrives på formen ψ E = A cosh κx = A eκx + e κx for a < x < a. Forklar også hvorfor ette systemet bare kan ha én slik symmetrisk bunen tilstan, nemlig grunntilstanen.

2 Sie av 4 b. Mens grunntilstanen for ette systemet er bunen for alle a 0, β > 0, er første eksiterte tilstan ikke nøvenigvis bunen: Finn først hvilken form en eventuell antisymmetrisk bunen tilstan må ha for a < x < a, og forklar ut fra ette at en slik tilstan maksimalt kan ha ett nullpunkt. For at et skal eksistere en slik bunen antisymmetrisk tilstan, må β for en gitt a være større enn en viss grenseveri, β 0. Finn β 0, når et oppgis at en energiegenfunksjon for ette systemet må oppfylle iskontinuitetsbetingelsen ψ a + ψ a = mβ h ψa. Hint: Skissér første eksiterte tilstan for grensetilfellet. Oppgave Figuren viser en boks me siekanter L x, L y og L z, som er elt i to kamre av en skillevegg i avstan a fra origo. Skilleveggen er bevegelig, som et friksjonsfritt stempel. Potensialet er null inne i kamrene, og uenelig utenfor, samt inne i skilleveggen. Tykkelsen av skilleveggen er neglisjerbar i forhol til L x. a. I hvert av kamrene befinner et seg en partikkel me masse m, som befinner seg i grunntilstanen for sitt kammer. Finn likevektsposisjonen a 0 for stempelet, uttrykt ve L x. [Hint: I enne posisjonen er en totale energien til e to partiklene minimal.] b. Anta at stempelet holes fast i en posisjon a ve hjelp av en ytre kraft F x, mens e to partiklene er i grunntilstanene som svarer til enne stempelposisjonen. Hvor stor er enne kraften når stempelet befinner seg i likevektsposisjonen a = a 0? Finn ut hvilken vei kraften peker og hvor stor en er når a = a 1 = L x /3. [Hint: Dersom stempelet beveges et stykke a, utfører kraften F x et arbei F x a, som gjenfinnes som en enring av energien til systemet.] Finn likevektsposisjonen ersom kammer 1 inneholer 8 bosoner og kammer bare ett boson, alle ientiske me masse m. Det forutsettes at ette mangepartikkelsystemet er i grunntilstanen, vs har så lav total energi som mulig.

3 Sie 3 av 4 Oppgave 3 I enne oppgaven betrakter vi en spinn- 1 -partikkel som befinner seg i et konstant og homogent magnetfelt B rettet i z-retningen. Når vi ser bort fra anre frihetsgraer enn spinnet, kan Hamilton-operatoren for ette systemet skrives på formen Ĥ = ωs z, er vi antar at ω er positiv. Energiegentilstanene til enne Hamilton-operatoren er Paulispinorene χ ± χ ±ẑ, og e stasjonære tilstanene er χ ± t = χ ± exp ie ± t/ h. a. Ve t = 0 foretas et en måling av en viss komponent S ˆn av spinnet som etterlater et i tilstanen cos 1 χ0 = θ sin 1θ 0 < θ < π. Finn spinnretningen σ 0 umielbart etter enne målingen. Vis at χ0 er en egentilstan til S σ 0, og bestem egenverien. Hvilke konklusjoner kan u ut fra ette trekke om måleresultatet for S ˆn ve prepareringen av tilstanen χ0 og om måleretningen ˆn? b. Finn spinntilstanen χt og spinnretningen σ t ve tien t > 0. c. Ve tien t = π/ω viser et seg at χt = χ0. Hvoran harmonerer ette me resultatet funnet for σ t? Anta at vi ve t = π/ω måler spinnkomponenten S ˆn i retningen ˆn = ˆx sin θ + ẑ cos θ, me måleresultatet S ˆn 1 = h. Angi tilstanen umielbart etter enne målingen, og finn sannsynligheten for ette måleresultatet. Oppgave 4 En partikkel me masse m beveger seg i et toimensjonalt harmonisk oscillatorpotensial V x, y = 1 mω x + y. a. Anta at enne oscillatoren ve et gitt tispunkt befinner seg i en tilstan Ψ som er en egentilstan til operatoren mω a x = h x + i p x, m hω slik at a x Ψ = α Ψ, er α er kompleks. Vis ut fra ette at forventningsveriene av x og p x i enne tilstanen er h m hω x Ψ = mω α + α og p x Ψ = i α α. Finn også usikkerhetene x og p x samt uskarphetsprouktet x p x. Oppgitt: h m hω [a x, a x] = 1, x = mω a x + a x, p x = i a x a x.

4 Sie 4 av 4 b. Anta at en toimensjonale oscillatoren ve t = 0 er preparert i tilstanen mω 1/4 Ψ b x, y, 0 = C0 exp[ mωx b / h mωy / h + iy mωb/ h] C 0 =, π h er b > 0. Angi forventningsveriene x 0 og y 0 ve t = 0. Vis at enne begynnelsestilstanen er en egentilstan til posisjonsrepresentasjonen av operatoren a x, mω a pr x = x + h, h mω x og finn egenverien, som u kan kalle α x 0. Vis tilsvarene at Ψ b x, y, 0 også er en egentilstan til a pr y, og vis at egenverien er α y 0 = iα x 0. c. Resultatene ovenfor innebærer i realiteten at tilstanen for t 0 er koherent; et viser seg at Ψ b x, y, t er en egentilstan til a pr x og a pr y me egenverier gitt ve henholsvis α x t = α x 0e iωt og α y t = α y 0e iωt. Bruk ette til å finne forventningsveriene x t og y t ve tien t. Vis også at forventningsverien av posisjonen beveger seg i en sirkelbane. [Det siste kan gjennomføres selv om u skulle være så uhelig å mangle α x 0.] Det toimensjonale potensialet og Hamilton-operatoren i enne oppgaven kan skrives som V = 1 mω x + 1 mω y V x x + V y y og Ĥ = h m x + V x x h m y + V y y Ĥx + Ĥy. Betrakt nå en enimensjonale Schröingerligningen i h t Ψ xx, t = Ĥx Ψ x x, t. Me begynnelsestilstanen Ψ x x, 0 = C 0 exp[ mωx b / h] blir løsningen av enne en koherent tilstan. Tilsvarene blir løsningen av i h t Ψ yy, t = Ĥy Ψ y y, t me begynnelsestilstanen Ψ y y, 0 = C 0 exp[ mωy / h + iy mωb/ h] en koherent tilstan. Vis at en toimensjonale tilstanen vi har iskutert ovenfor kan skrives som prouktet av isse to tilstanene: Ψ b x, y, t = Ψ x x, tψ y y, t.

5 Velegg: Formler og uttrykk Noe av ette kan u få bruk for. Enimensjonal boks, V x = 0 for 0 < x < L, uenelig utenfor ψ n x = Sannsynlighets-strømtetthet L sin k nx; E n = h k n m ; k n = nπ/l. [ jr, t = Re Ψ r, t h ] Ψr, t. im Målepostulatet i De eneste mulige veriene som en måling av observabelen F kan gi er en av egenveriene f n. ii Umielbart etter målingen av F er systemet i en egentilstan til en tilhørene operatoren F, nemlig en egentilstan som svarer til en målte egenverien f n. Spinn 1 For en partikkel me spinn 1 kan en bruke spinnoperatoren S = 1 hσ = 1 hê xσ x + ê y σ y + ê z σ z, er σ x = 0 1, σ y = 0 i i 0 er e såkalte Pauli-matrisene. Pauli-spinorene χ + =, σ z = og χ = 0 1 er a a egentilstaner til S z = 1 hσ z me egenveriene ± h. 1 En normert spinntilstan χ = b kan karakteriseres ve spinnretningen, σ = χ σχ = ê x Rea b + ê y Ima b + ê z a b. Matrisene S x = hσ 1 x osv oppfyller reieimpulsalgebraen, [S x, S y ] = i hs z, [S y, S z ] = i hs x, [S z, S x ] = i hs y. Viere er S x = S y = S z = h og S = 3 h

6 Noen formler sina + b = sin a cos b + cos a sin b; cosa + b = cos a cos b sin a sin b; sin a = sin a cos a; cosa = cos a sin a = cos a 1 = 1 sin a; sin a = e ia e ia /i, cos a = e ia + e ia /; tan y = 1 cot y = tany + nπ, n = 0, ±1, ; sinh y = 1 ey e y ; cosh y = 1 ey + e y ; tanh y = 1 coth y = sinh y cosh y ; cosh y sinh y = 1; Harmonisk oscillator sinh y = cosh y; y sinh y = y + Oy 3. cosh y = sinh y; y Energiegenfunksjonene for potensialet V = 1 mω x < x < oppfyller egenveriligningen [ h ] m x + 1 mω x n + 1 hω ψ n x = 0, n = 0, 1,,..., me løsninger på formen ψ n x = mω 1/4 1 / h π h n n! e mωx H n ξ, ξ = H 0 ξ = 1, H 1 ξ = ξ, H ξ = 4ξ,. Tisutvikling av forventningsverier δ-funksjonen og sprangfunksjonen t F = ī [Ĥ, F ] + F. h t x h/mω ; Θx = δx; x fxδx ax = fa.