A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett

Transkript

1 TFY4250/FY2045 Tillegg 2 1 Tillegg 2: A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett Ikke-degenererte egenverdier La oss først anta at en operator ˆF har et diskret og ikke-degeneret spektrum. Det siste betyr at det for hver av de diskrete egenverdiene f n finnes bare én egenfunksjon ψ n. Fra regelen side 29 i Hemmer følger det da at alle disse egenfunksjonene må være ortogonale (siden de alle har forskjellige egenverdier). Dersom de også er normerte (til 1), har vi da et såkalt ortonormert egenfunksjonssett: ψ k ψ n dτ ψ k, ψ n = δ kn = { 1 for k = n, 0 for k n. Et eksempel er energiegentilstandene for den éndimensjonale boksen med lengde L, ψ n (x) = 2 L sin k nx, k n = nπ, n = 1, 2,, L (T2.1) som er egenfunksjoner til Hamilton-operatoren Ĥ = h2 med egenverdier E 2m x 2 n = n 2 h 2 π 2 /2mL 2. Et annet eksempel er energiegentilstandene for den éndimensjonale harmoniske oscillatoren, som vi skal komme tilbake til. I disse tilfellene er vi sikret ortogonalitet fordi energiegenverdiene er ikke-degenererte; vi har bare én egenfunksjonen for hver energi. Ortogonalisering vha Komplett sett av kommuterende operatorer Men som vi alle vet, det forekommer også at én eller flere av egenverdiene er degenerert, dvs at det finnes mer enn én egenfunksjon med den samme egenverdien f n. Da er det ikke fullt så enkelt å sikre seg ortogonalitet. Et eksempel er 1. eksiterte energinivå for hydrogenatomet, E 2 = 1 2 α2 mc 2 /4 : Det finnes fire lineært uavhengige energiegenfunksjoner med denne egenverdien, dvs vi har degenerasjonsgrad 4. Om vi får utlevert fire slike lineært uavhengige energiegenfunksjoner, ψ 1, ψ 2, ψ 3, ψ 4, behøver de slett ikke å være ortogonale. Regelen side 29 i Hemmer hindrer ikke at skalarproduktene ψ i, ψ j mellom dem kan være forskjellige fra null. I et slikt tilfelle vil vi ønske å skaffe oss fire ortogonale funksjoner; vi lærer oss etter hvert at dette er en stor fordel. Én måte å oppnå dette på er vha Gram- Schmidt-ortogonalisering. En annen måte, som er mer brukt i kvantemekanikk, er vha et såkalt komplett sett av kommuterende operatorer. Denne metoden kan vi illustrere vha hydrogenatomet. Degenerasjonen av energinivåene henger her delvis sammen med kulesymmetrien i dette problemet. Fra denne symmetrien følger det at Hamilton-operatoren Ĥ kommuterer ned dreieimpulsoperatoren ˆL og med kvadratet av denne. Samtidig kommuterer komponentene av ˆL med ˆL 2, men ikke med hverandre. Dette betyr at operator-settet Ĥ, ˆL2 og ˆL z kommuterer innbyrdes. Da vet vi (se avsnitt 4.1 i Hemmer) at det eksisterer et simultant egenfunksjonssett til disse tre operatorene. De bundne tilstandene (for E < 0) er det kjente egenfunksjonssettet ψ nlm (r, θ, φ) = R nl (r)y lm (θ, φ), 2

2 TFY4250/FY2045 Tillegg 2 2 som oppfyller egenverdiligningene Ĥ ˆL 2 ˆL z ψ nlm = E n h 2 l(l + 1) hm ψ nlm, n = 1, 2, 3,, l = 0, 1, 2,,, n 1, m = 0, ±1,, ±l. Her ser vi at energien er uavhengig av det magnetiske kvantetallet m, som for et gitt dreieimpulskvantetall l kan ta verdiene m = 0, ±1,, ±l, tilsammen 2l + 1 verdier. Dette er den såkalte m-degenerasjonen, som er felles for alle kulesymmetriske potensialer. Dessuten ser vi at energien er uavhengig av l, som for et gitt hovedkvantetall n kan ta verdiene l = 0, 1, 2,, n 1. Dette er den såkalte l-degenerasjonen, som er karakteristisk for 1/rpotensialet. 1 Den totale degenerasjonsgraden for energinivået E n blir dermed g n = n 1 l=0 2l + 1 = 1 + ( ) + ( ) + + (2 (n 1) + 1) = 1 2 n(1 + 2n 1) = n2, altså 4 for n = 2, 9 for n = 3, osv. Energinivåene og tilstandene kan illustreres vha følgende nivåskjema: Alle disse tilstandene er nå ortogonale. Det er nemlig bare én egenfunksjon ψ nlm for hver kvantetalls-kombinasjon nlm, og da følger det fra regelen side 29 i Hemmer at vi har et ortogonalt sett. Mer detaljert kan vi si at grunntilstanden ψ 100 er ortogonal til alle de eksiterte tilstandene fordi energiegenverdiene er forskjellige. Det samme kan vi si om hvilke som helst to energiegentilstander med forskjellige energier, som f.eks paret ψ 200 og ψ 300 og paret ψ 210 og ψ 310. Men hva med funksjoner som tilhører samme energinivå, f.eks 2s-tilstanden ψ 200 og 2ptilstandene ψ 21m, med m = 0, ±1? Svaret er at ψ 200 er ortogonal til tilstandene ψ 21m fordi egenverdiene til ˆL 2 er forskjellige (hhvis 0 og 2 h 2 ). Tilsvarende er de tre tilstandene ψ 211, ψ 210 og ψ 21 1 ortogonale fordi de er egenfunksjoner til ˆL z med forskjellige egenverdier (hhvis h, 0, og h). Moralen er at en kan sikre seg at de n 2 egenfunksjonene med energi E n blir ortogonale ved å forlange at de er simultane egentilstander til et passende sett av operatorer (her ˆL 2 og ˆL z ) i tillegg til Ĥ. Velger vi dette operatorsettet slik at vi finner bare én egenfunksjon for hver kombinasjon av egenverdier, så er vi sikret ortogonalitet. Vi sier da at operatorsettet 1 1/r-formen til potensialet innebærer i realiteten en skjult symmetri. Det er denne skjulte symmetrien som gjør at vi her får l-degenerasjon, i tillegg til m-degenerasjonen som er felles for alle kulesymmetriske potensialer.

3 TFY4250/FY2045 Tillegg 2 3 (her Ĥ, ˆL 2 og ˆL z ) er et komplett sett av kommuterende operatorer. Et annet valg (f.eks Ĥ, ˆL 2 og ˆL x ) ville også danne et slikt komplett sett av kommuterende operatorer, med simultane egenfunksjoner som er lineærkombinasjoner av det opprinnelige settet. (Moral: De g n egenfunksjonene med energi E n er ikke unike.) Merk også at settet Ĥ og ˆL 2 ikke er komplett. En liten utfordring: (1) Angi et komplett sett av kommuterende operatorer for den tredimensjonale isotrope harmoniske oscillatoren (med V = 1 2 mω2 r 2 ). (2) Tilsvarende for en todimensjonal kvadratisk boks. Bølgefunksjoner (og andre funksjoner) som vektorer Begrepene skalarprodukt ( f, g ) og ortogonalitet ( f, g = 0) mellom to funksjoner (f og g) er hentet fra teorien for (abstrakte) vektorrom. Bølgefunksjoner som skal beskrive fysisk realiserbare tilstander må være normerbare. Dvs de må høre til klassen av komplekse, kvadratisk integrerbare funksjoner. Slike funksjoner tilfredsstiller alle de kravene som stilles til vektorer i et vektorrom: Summen av to slike (kvadratisk integrerbare) funksjoner er selv en (kvadratisk integrerbar) funksjon. Addisjon av funksjoner er kommutativ og assosiativ [f + g = g + f; (f + g) + h = f + (g + h).] Det finnes en null-funksjon, f 0. Multiplikasjon med en kompleks konstant gir en ny funksjon, osv. Matematisk sett utspenner altså disse kvadratisk integrerbare funksjonene et komplekst vektorrom, betegnet som L 2 (, ) L 2, også kalt et Hilbert-rom. Dimensjonen av dette rommet er uendelig, fordi det finnes uendelig mange slike funksjoner som er lineært uavhengige. Som indreprodukt, eller skalarprodukt, for dette rommet bruker vi altså f, g f gdτ, analogt med skalarproduktet a, b a b a x b x + a y b y + a z b z for vanlige (komplekse) vektorer (som dere kanskje ikke har brukt?). Merk at skalarproduktet generelt er et komplekst tall, og at f, g = g, f. For å bli litt mer vant med å tenke på funksjoner som vektorer i et vektorrom, kan vi vise hvordan Gram-Schmidt-ortogonalisering kan gjennomføres i vektor-notasjon. Gram-Schmidt-ortogonalisering i vektor-notasjon (ikke pensum) Vi viser først hvordan to lineært uavhengige vektorer i et ordinært to-dimensjonalt vektorrom kan brukes til å skaffe seg to ortonormerte enhetsvektorer. Deretter bruker vi den samme teknikken på fire lineært uavhengige funksjoner.

4 TFY4250/FY2045 Tillegg 2 4 A. To-dimensjonalt, reelt vektorrom I figuren til venstre er a 1 og a 2 to lineært uavhengige (men ikke nødvendigvis ortogonale og normerte) vektorer. Disse utspenner et todimensjonalt vektorrom. Vi ønsker å finne to lineærkombinasjoner av disse som danner et ortonormert sett, altså to nye vektorer som er ortogonale og normerte (lengde 1). Dette gjør vi slik: (i) Vi starter med å finne lengden av a 1, også kalt normen, a 1 a 1, a 1 1/2 = a 1 a 1, der det eneste nye er notasjonen. Vi kan nå konstruere en ny vektor, â 1 = a 1 a 1. Denne har åpenbart lengde (norm) 1, og samme retning som a 1 ; se figuren til høyre. (ii) Så går vi løs på a 2 og dekomponerer denne, i en komponent a 2 langs â 1 og en komponent a 2 som er ortogonal på â 1 (se figuren). Lengden av parallell -komponenten er projeksjonen av a 2 på â 1 : a 2 = â 1, a 2 ( â 1 a 2 = a 2 cos α). Derfor er selve parallell -komponenten av a 2 gitt ved og komponenten ortogonal på â 1 er a 2 = â 1, a 2 â 1, a 2 = a 2 a 2 = a 2 â 1, a 2 â 1. (iii) Siste trinn i prosessen er å bruke a 2 til å konstruere den nye vektoren â 2 = a 2 a 2 = a 2 â 1, a 2 â 1 a 2 â 1, a 2 â 1, som åpenbart er både normert og ortogonal på â 1 (se figuren til høyre). De to nye vektorene danner altså et ortonormert sett (av enhetsvektorer), â i, â j = δ ij ; i, j = 1, 2, som er hva vi var ute etter. Merk at â 1 og â 2 (i prinsippet) begge er lineær-kombinasjoner av de opprinnelige vektorene a 1 og a 2. Merk også at vi like godt kunne ha startet med a 2. Vi ville også da ha kommet fram til to ortonormerte vektorer, â 1 og â 2, forskjellige fra de to første, men like gode som basis for det to-dimensjonale vektorrommet. I det hele tatt finnes det uendelig mange slike basis-sett, rotert med en vilkårlig vinkel i forhold til de to i figuren til høyre. Poenget med denne detaljerte gjennomgangen av en triviell problemstilling er at teknikken er direkte overførbar til funksjoner i rommet av kvadratisk integrerbare funksjoner:

5 TFY4250/FY2045 Tillegg 2 5 B. Ortogonalisering av egenfunksjoner for degenerert nivå Som et eksempel kan vi se på 1. eksiterte nivå i hydrogenatomet, med energi E 2 = 1 2 α2 mc 2 / ev. Dette nivået viser seg som nevnt å være degenerert, med degenerasjonsgrad 4. Med dette mener vi at Hamilton-operatoren Ĥ for H-atomet har 4 lineært uavhengige egenfunksjoner med samme egenverdi E 2. I utgangspunktet behøver ikke disse funksjonene, ψ 1, ψ 2, ψ 3, ψ 4, å være ortogonale, og heller ikke normerte. Men med teknikken ovenfor kan vi lett konstruere 4 lineær-kombinasjoner ˆψ 1, ˆψ 2, ˆψ 3, ˆψ 4, (av de opprinnelige funksjonene) som danner et ortonormert funksjonssett (og som blir analoge med enhetsvektorene ovenfor): (i) Vi starter med å finne normen av ψ 1 (med samme oppskrift som ovenfor), og kan da konstruere den nye funksjonen [ ψ 1 ψ 1, ψ 1 1/2 ψ ] 1/2 1 ψ 1 dτ, ˆψ 1 = ψ 1 ψ 1 (som er normert). (ii) Komponenten av ψ 2 langs ˆψ 1 ( parallell -komponenten) er ˆψ 1 multiplisert med projeksjonen av ψ 2 på ˆψ 1 (analog med â 1, a 2 â 1 ): ˆψ1, ψ 2 ˆψ1. Derfor er ˆψ 2 = ψ 2 ˆψ1, ψ 2 ˆψ1 ψ 2 ˆψ1, ψ 2 ˆψ1 både ortogonal til ˆψ1 og normert. (Om du føler deg utrygg, kan du kontrollere ortogonaliteteten ved å projisere ˆψ 2 på ˆψ 1.) (iii) Neste skritt er å ta for seg ψ 3, trekke fra komponentene langs ˆψ 1 og ˆψ 2, og normere det som blir igjen: ˆψ 3 = ψ 3 ˆψ1, ψ 3 ˆψ1 ˆψ2, ψ 3 ˆψ2 ψ 3 ˆψ1, ψ 3 ˆψ1 ˆψ2, ψ 3 ˆψ2. (iv) ˆψ 4 kan du nå sikkert klare på egen hånd. Resultatet er et ortonormert sett av egenfunksjoner: ˆψi, ˆψ j = δij ; i, j = 1, 2, 3, 4. Disse spenner ut det samme 4-dimensjonale under-rommet som de fire opprinnelige funksjonene. Selve denne Gram-Schmidt-prosedyren kommer vi antakelig aldri til å bruke, for som vi har sett finnes det andre metoder for å skaffe seg ortogonale egenfunksjoner. Men selve moralen er viktig: Det er mulig å skaffe seg ortogonale egenfunksjonssett. Når vi har degenerasjon, er ikke disse unike. Vi har den samme typen frihet i valg av basis som vi så i eksemplet ovenfor. Dette er viktig når vi skal prøve å forstå kvantemekanikken for systemer med degenerasjon, som f.eks H-atomet.