STK juni 2018

Transkript

1 Løsningsforslag til eksamen i STK. juni 8 Oppgave Tvillingpar kan være enten eneggede eller toeggede. Sannsynligheten for at det ved en tvillingfødsel blir født eneggede tvillinger er i Nord-Europa omtrent 3%, og vi vil benytte denne sannsynligheten for enegget tvillingfødsel i denne oppgaven. De to tvillingene i et enegget tvillingpar har alltid samme kjønn. Vi antar at sannsynligheten for to jenter ved enegget tvillingfødsel er 48.%. Vi antar videre at ved en fødsel av toeggede tvillinger er kjønnet til den ene tvillingen uavhengig av kjønnet til den andre, og at sannsynligheten for at en bestemt av tvillingene er jente er 48.%. a) Hva er sannsynligheten for to jenter ved toegget tvillingfødsel? For toegget tvillingfødsel er kjønnet til den ene tvillingen uavhengig av kjønnet til den andre. Vi har dermed at P (to jenter toegget) P (første tvilling jente toegget) P (andre tvilling jente toegget) b) Hva er sannsynligheten for at begge tvillingene i et tvillingpar er jenter? Hva er sannsynligheten for at én er jente og én er gutt? Setningen om total sannsynlighet gir at P (to jenter) P (enegget) P (to jenter enegget) + P (toegget) P (to jenter toegget) Tilsvarende har vi at P (én gutt og én jente) P (enegget) P (én gutt og én jente enegget) +P (toegget) P (én gutt og én jente toegget) (.48.54).35 c) Begge tvillingene i et tvillingpar er jenter. Hva er sannsynligheten for at de er eneggede? Denisjonen av betinget sannsynlighet og produktsetningen gir at (jf. Bayes' setning) P (enegget to jenter) P (enegget og to jenter) P (to jenter) P (enegget) P (to jenter enegget) P (to jenter)

2 d) De to tvillingene i et tvillingpar har samme kjønn. Hva er sannsynligheten for at de er toeggede? Ved å bruke punkt b, nner vi at P (samme kjønn) P (én gutt og én jente).35.5 Videre har vi at P (samme kjønn toegget) P (to jenter toegget)+p (to gutter toegget) Vi nner dermed at P (toegget samme kjønn) P (toegget) P (samme kjønn toegget) P (samme kjønn) Oppgave Vi minner om at hvis en stokastisk variabel W er gammafordelt med formparameter α og skalaparameter β, som vi skriver W Gamma(α, β), så er sannsynlighetstettheten til W gitt ved { f W (w) β α Γ(α) wα e w/β hvis w >, ellers. Her er Γ(α) gammafunksjonen. Vi minner også om at Γ(/) π og Γ(). Anta at W Gamma(α, β). a) Vis at den momentgenererende funksjonen til W er M W (t) ( βt) α for t < /β Den momentgenererende funksjonen til W er (for t < /β) M W (t) E ( e tw ) e tw f W (w) dw β α Γ(α) wα e ( βt)w/β dw e tw β α Γ(α) wα e w/β dw β α Γ(α) ( βt) α ( βt) α ( ) u α e u/β du βt βt β α Γ(α) uα e u/β du [subsituerer u ( βt)w] Her følger den siste likheten av at integralet av Gamma(α, β)-tettheten er lik én.

3 b) Bruk den momentgenererende funksjonen til å bestemme forventning og varians til W. Vi kan skrive M W (t) ( βt) α. Vi deriverer to ganger med hensyn på t og nner M W (t) α( βt) α ( β) αβ( βt) α M W (t) ( α )αβ( βt) α ( β) (α + )αβ ( βt) α Dermed er E(W ) M W () αβ og V (W ) E(W ) [E(W )] M W () (αβ) (α + )αβ α β αβ Anta så at Z er standardnormalfordelt, og sett Y Z. c) Vis at for y > er den kumulative fordelingen til Y gitt ved F Y (y) Φ( y) Φ( y) der Φ(z) P (Z z) er den kumulative standardnormalfordelingen. Den kumulative fordelingen til Y er gitt ved (for y > ) F Y (y) P (Y y) P (Z y) P ( y Z y) P (Z y) P (Z y) Φ( y) Φ( y) d) Bruk resultatet i punkt c til å bestemme sannsynlighetstettheten til Y, og vis at Y Gamma(/, ). La ϕ(z) være tettheten for standardnormalfordelingen. Da er ϕ(z) Φ (z) π e z /. Vi har nå at tettheten til Y er gitt ved (for y > ) f Y (y) F Y (y) ϕ( ( y ) y ϕ( y ) ) y e ( y) / π y + e ( y) / π y y π e ( y) / πy e y/ Ved å bruke at Γ(/) π, ser vi at tettheten til Y kan skrives på formen f Y (y) / Γ(/) y/ e y/ Ved å sammenligne dette uttrykket med Gamma(α, β)-tettheten, ser vi at Y er gammafordelt med formparameter α / og skalaparameter β. 3

4 Oppgave 3 La X, X,..., X n være uavhengige normalfordelte variabler med kjent forventning µ og ukjent varians σ. En estimator for σ er σ n n (X i µ ) i a) Vis at n σ /σ Gamma(n/, ). (Vink: Bruk resultatet i oppgave d, og husk at en sum av uavhengige gammafordelte variabler som alle har samme skalaparameter, selv er gammafordelt.) La Z i (X i µ )/σ for i,,..., n. Da er Z i -ene uavhengige og standardnormalfordelte. Vi nner at n σ n σ i (X i µ ) σ n ( ) Xi µ σ Ved resultatet i oppgave d er Z i Gamma(/, ). Videre er en sum av uavhengige gammafordelte variabler som alle har samme skalaparameter, selv gammafordelt med en formparameter som er summen av formparameterne. Det følger at n σ /σ Gamma(n/, ). b) Vis at σ er en forventningsrett estimator for σ og bestem V ( σ ). Er σ σ en forventningsrett estimator for σ? Av resultatet i forrige punkt og oppgave b (med α n/ og β ) har vi at i ( ) n σ E n n σ ( ) n σ V n n σ n i Z i Vi får dermed at E( σ ) σ n E ( n σ σ ) σ n n σ Altså er σ en forventningsrett estimator for σ. Videre er ( ) σ V ( σ ) V n ( ) n σ σ4 σ σ4 n n n Vi kan ikke bytte om rekkefølgen av forventning og kvadratrot, så ) E( σ) E ( σ E( σ ) σ σ Derfor er ikke σ en forventningsrett estimator for σ. 4

5 c) Utled et 95% kondensinterval for σ. Intervallet skal uttrykkes ved hjelp av n, σ, a og b. Her er a og b henholdsvis.5% og 97.5% persentilene for gammafordelingen med formparameter n/ og skalaparameter. Vi har at P (a n σ σ ) b.95 Vi omformer ulikhetene og nner at dette er det samme som ( ) n σ P σ n σ.95 b a Vi tar så kvadratroten og nner (siden x er en strengt voksende funksjon for x > ) P ( ) n n b σ σ a σ.95 Altså er intervallet [ n n ] b σ, a σ et 95% kondensintervall for σ. Seks voltmetere ble testet med en spenning på nøyaktig 5 volt og ga følgende resultat: Vi antar at målingene er uavhengige og normalfordelte med forventning 5 volt og ukjent standardavvik σ. d) Gi et estimat for standardavviket. Bestem også et 95% kondensintervall for σ. Det opplyses at.5% og 97.5% persentilene i gammafordelingen med formparameter 3 og skalaparameter er henholdsvis.4 og Et estimat for σ er σ [ (5.4 5) + (49.3 5) + (5.5 5) + (49. 5) + (49.7 5) + (5. 5) ] [.4 + (.7) (.) + (.3) +. ] Et estimat for σ er dermed σ / Et 95% kondensintervall for σ er gitt ved [ ] , dvs. [.37,.7]. 5

6 Oppgave 4 På et ark er det tegnet ere parallelle linjer. Avstanden mellom linjene er d 4.8 cm, som er lik lengden av en fyrstikk. En fyrstikk kastes tilfeldig på arket. La X være vinkelen fyrstikken danner med de parallelle linjene (i radianer), og la Y være avstanden fra den nederste enden av fyrstikken til linja ovenfor (i cm). Figuren nedenfor viser to mulige utfall av forsøket og denisjonene av X og Y. (På guren krysser den nederste fyrstikken en av de parallelle linjene, mens den øverste ikke gjør det.) Vi får en modell for et tilfeldig fyrstikkast ved å anta at X og Y har simultan tetthet { /(πd) for < x < π/ og < y < d f XY (x, y) ellers a) Bestem de marginale sannsynlighetstetthetene til X og Y. Er X og Y uavhengige? For < x < π/ er den marginale tettheten til X gitt ved f X (x) f XY (x, y) dy d πd dy πd d π For x og x π/ er f X (x). Altså er X uniformt fordelt over (, π/). For < y < d er den marginale tettheten til Y gitt ved f Y (y) f XY (x, y) dx π/ πd dx πd (π/) d For y og x d er f Y (y). Altså er Y uniformt fordelt over (, d). For < x < π/ og < y < d har vi at f XY (x, y) πd π d f X(x) f Y (y) For x (, π/) og y (, d) har vi at f XY (x, y) f X (x) f Y (y). Altså er f XY (x, y) f X (x) f Y (y) for alle x, y, så X og Y er uavhengige.

7 b Forklar at fyrstikken vil krysse en av de parallelle linjene så sant d sin X > Y, og vis at P(d sin X > Y ) /π. (Vink: Husk at sinus til en vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motstående katet og hypotenusen. Husk også at π/ sin x dx.) Den vertikale avstanden fra nedre til øvre ende av fyrstikken er d sin X. krysse en linje hvis d sin X > Y. Se guren nedenfor. Så fyrstikken vil Vi nner at P (d sin X > Y ) π π/ [ d sin x π/ π/ [ πd y ] πd dy dx ] d sin x sin x dx dx π 7