Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. systemidentifikasjon fra sprangrespons.

Transkript

1 Stavanger, 29. september 2016 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. Innhold 2 Løsningsforslag, systemidentifikasjon fra sprangrespons De simulerte data Sprangrespons for førsteordens system To førsteordens system i sekvens Verifisering av modell Løsningsforslag, systemidentifikasjon fra sprangrespons. 2.1 De simulerte data Inngang og utgangssignal er plottet i figur 1. De er laget med clear all load ov2datas figure(1);clf; t = 0:0.01:30; i = 800:1500; % fra 8 til 15 sekund usim = ov2datas.signals.values(:,1); ysim = ov2datas.signals.values(:,2); arl Skretting, Institutt for data- og elektroteknikk (IDE), Universitetet i Stavanger (UiS), 4036 Stavanger. Sentralbord Direkte E-post: karl.skretting@uis.no.

2 Figur 1: Sprangresponsen for virkelig (simulert) system. plot(t(i),usim(i), -b,t(i),ysim(i), r- ); V = [8,15,0.39,0.53]; axis(v); title( De simulerte signalene, usim blå og ysim rød. ); xlabel( Tid i sekund, sampletid 10 ms. ); grid on; % print( -f1, -depsc2, ov2o1.eps ); saveas(gcf, ov2o1.png, png ); 2.2 Sprangrespons for førsteordens system Vi har her følgende modell for systemet h(s) = T r s + 1 e τs (1) 1. Sprangresponsen for et generelt førsteordenssystem med transferfunksjon som over finnes med en analyse av systemet. Vi tar det ganske grundig her, og ser bort fra forsinkelsen i første omgang. 2

3 Den tilhørende differensialligningen er h(s) = y(s) u(s) = y(s)(t r s + 1) = u(s) y(s) + T r sy(s) = u(s) d y(t) + T r y(t) dt = u(t) T r ẏ = u y T r s + 1 ẏ = 1 T r (u y) (2) s-transferfunksjonen i ligning 1 har altså en pol (i venstre halvplan) for s = 1 T r. Vi lar pådrag være et sprang (fra 0 til 1) ved tid t = 0, altså { 1 t 0 u(t) = 0 t < 0 s-transformen for u(t) er u(s) = 1 s. Sprangresponsen for systemet blir da y(t) som i s-planet er y(s) = h(s)u(s) = T r s s = /T r s(s + 1/T r ) Fra en tabell over transformasjonspar har en [ ] 1 L a b (eat e bt 1 ) = (s a)(s b). (4) Ved å holde den konstante faktoren /T r utenfor og med a = 0 og b = 1/T r får vi da y(t) = /T r 1 1/T r (e 0 e t/tr ) = (1 e t/tr ). (5) Den deriverte av y(t) blir (3) ẏ(t) = /T r e t/tr. (6) I figur 2 viser sprangresponsen y(t), forsinkelse er inkludert her. Med forsinkelse blir sprangresons og dennes deriverte som nedenfor, u( ) er her enhetssprangfunksjonen (ikke pådrag), y(t) = (1 e (t τ)/tr ) u(t τ). (7) ẏ(t) = /T r e (t τ)/tr u(t τ). (8) 3

4 Figur 2: Sprangrespons for et førsteordenssystem. Merk at og T r her ikke er som simulert prosess. 2. Fra forrige punkt, tydelig i figur 2, ser en at kan finnes som høyden på sprangresponsen. Høyden er tangenten når responsen har flatet ut. Ved start av steget har en ẏ(0) = /T r, altså stigningstallet for y(t) når responsen starter. Starttangenten vil altså nå høyden ved tid T r. ryssningspunktet mellom starttangent og sluttangent kan altså brukes for å finne T r. En kan også finne T r som tida der sprangresponsen når 0.63 av sluttverdien. 3. Det er ganske god overensstemmelse mellom figur 1 og figur 2, det vil si på formen på kurvene, men kurvene er forskjøvet både i x-retning og y-retning. Jeg fant da = 0.58, T r = 0.55 og τ = 0.2 ut fra det en ser. 4. Jeg tok forsiktig lavpassfiltrering av målesignalet for å glatte ut støyen som tydeligvis er lagt til som tilfeldige pulser ved enkelte tidspunkt. En kan gjerne bruke smooth fra curvefit-toolboksen i Matlab, se help for den. Eller en kan lage sin egen glattefunksjon, jeg har et alternativ i mylpfilter. Det er ikke så viktig hvordan glatting gjøres, men det bør oftest gjøres! Deretter fant jeg verdien på både inngang og utgang før spranget, denne trakk jeg fra signalet når datasettet ble laget. Følgende Matlab kommandoer ble da brukt myfilt = mylpfilter(ysim); yfilt = smooth(ysim); % eget alternativ for glatting % se: help smooth 4

5 % plot(t(i),ysim(i), g-,t(i),yfilt(i), r-,t(i),myfilt(i), b- ); % jeg synes blå glatter bedre (mer) enn rød og bruker da den Ts = 0.01; i = 900:1301; % passende område y0 = mean(ysim(500:900)); u0 = 0.4; d = iddata(myfilt(i)-y0, usim(i)-u0, Ts); 5. Med Matlab-kommandoen pem tilpasses et system definert med idproc til data. pem virket litt ulikt i versjon 2011a og 2012b, der kunne en i stedet for systemet angi med noen argument hva slags system en skulle bruke. (En kan det ennå, da den muligheten ikke er tatt bort.) % m1 = pem(d, P1D, Td,{ max,0.5}); % uten å gå veien om idproc ord1_sys = idproc( P1D, Td,{ max,0.5}); ord1_sys = pem(d, ord1_sys); % Dette gir følgende resultat ord1_sys = Process model with transfer function: p G(s) = * exp(-td*s) 1+Tp1*s p = Tp1 = Td = Parameterization: P1D Number of free coefficients: 3 Use "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties. Status: Estimated using PROCEST on time domain data "d". Fit to estimation data: 97.61% FPE: 4.025e-07, MSE: 3.986e-07 Altså omtrent samme forsterkning som det jeg fant ut fra figur 1 men noe større forsinkelse og noe kortere tidskonstant. 6. Simulink modell av prosessen er i figur 3. legg merke til at en konstant er lagt til utgangssignalet. onstanten finnes ved å se på verdier før spranget, en skal da ha y 0 = u 0 + c som gir c = y 0 u 0, der u 0 er inngangsverdien før sprang og y 0 er utgangsverdien før sprang. 5

6 Step vifte ustep ELE620 systemidentifikasjon, øving 2 Førsteordenssytem med forsinkelse. Løsningsforslag for oppgave To Workspace ov2result ov2inn From Workspace usim ysim u s+1 Transfer Fcn Transport Delay ymod pådrag (gul) og utgang (rosa) og simulert (blå) Scope1 Figur 3: Simulinkmodellen ov2del26.mdl for førsteordenssystem. onstanten c = er funnet ut fra y 0 = u 0 + c. Figur 4: Utgangen fra Simulink-modellen for førsteordenssystem sammenlignet med simulert sprangrespons. 6

7 Figur 5: Frekvensrespons for et førsteordenssystem. Her har en beregnet for h(s) = e τs /(T r s + 1). I nederste del av figuren er blå kurve faseforskyvning uten forsinkelse, grønn kurve er med kun forsinkelsen, og rød kurve er total faseforskyvning. Funksjonen er beregnet med Matlab freqs-funksjonen. 7. De to utgangssignalene slik de viser i skopet er plottet med Matlab i figur 4. En ser her nesten perfekt match, altså kan systemet som har generert signalene modelleres bra med et førsteordenssystem. Tapsverdiene fra spørsmål 5, Loss function og FPE, er også ganske lave, uten at vi ennå har erfaring nok til å vurdere størrelsen på disse verdiene. Det eneste en kanskje kan se er at utganssignalet stiger litt før forsinkelsetida er gått. 8. Frekvensresponsen for førsteordensmodellen av systemet er plottet i figur 5. Frekvensrespons for det kontinuerlige system kan en finne med å sette jω som argument i stedet for s i transferfunksjonen. Amplituderesponsen er da h s (jω) og fasen er h s (jω), ω er frekvens i radianer per sekund, j = 1. Med s-transferfunksjon som fra forrige punkt har vi da h s (jω) = T r jω + 1 e τjω = 1 + jt r ω ej( τω). (9) Eventuell forsinkelse i systemet påvirker ikke amplituderesponsen, men fasen vil øke lineært med frekvensen. Legg merke til at fasen for system uten forsinkelse går mot 90 grader når frekvensen øker, samtidig dempes 7

8 Figur 6: Illustrasjon for frekvensresponsen, h s (jω). Dette er et komplekst tall, med absoluttverdi og vinkel (fase). Figuren her illustrerer hva dette blir for et førsteordenssystem. En setter inn s = jω i transferfunksjonen h(s) = e τs /(T r s + 1) og får h(jω) = z 1 e j( τω) = z 2 z 3. I figuren viser z 1, z 2, z 3 og h(jω) plotta i det komplekse s-planet. For ulike verdier av ω så vil z 2 alltid ligge på en halvsirkel med sentrum i 0.5 og radius

9 signalet mer og mer. Dette kan en se fra figur 6, der jeg prøver å illustrer hvilke verdier transferfunksjonen får for imaginære argument, altså frekvensrespons. nekkfrekvensen 1 blir da ω 0 der h(jω 0 ) = 2 2. Ved å se på figur 6 ser vi at dette blir for a = altså φ = π/4 og dermed ω0 T r = 1 altså ω 0 = 1/T r. nekkfrekvensen er også lik båndbredden for systemet (det er et lavpass system). ω 0 = 1 T r = f 0 = ω 0 2π 2.3 To førsteordens system i sekvens = 1.82 [rad/s] (10) = 0.29 [Hz] (11) Systemet modelleres nå med h(s) = T 1 s T 2 s + 1 e τs (12) 1. Med Matlab-kommandoen pem på følgende måte % m2 = pem(d, P2D, Td,{ max,0.5}); % alternativ ord2_sys = idproc( P2D, Td,{ max,0.5}); ord2_sys = pem(d, ord2_sys); % og jeg fikk Process model with transfer function p G(s) = * exp(-td*s) (1+Tp1*s)(1+Tp2*s) with p = Tp1 = Tp2 = Td = Estimated using PEM using SearchMethod = Auto from data set z Loss function e-007 and FPE e-007 Vi kan legge merke til at forsterkningene er, ikke uventet, omtrent den samme som for førsteordens systemet. En ser også at summen av tidskonstanter og forsinkelse er omtrent den samme som for førsteordens 1 Den frekvensen der energien ut halveres det vil si amplituden blir av maksimal amplitude 9

10 Step vifte ustep ELE620 systemidentifikasjon, øving 2 Andreordenssystem med forsinkelse. Løsningsforslag for oppgave Merk at når funksjonsblokkene inneholder varaiabelnavn er det variablene i workspace som brukes, de må altså finnes der. Her er det:, T1, T2, tau, og c To Workspace ov2result ov2inn From Workspace usim ysim u T1.s+1 Transfer Fcn 1 T2.s+1 Transfer Fcn1 Transport Delay c ymod pådrag (gul) og utgang (rosa) og simulert (blå) Scope1 Figur 7: Simulinkmodellen ov2del33.mdl for to førsteordenssystem i sekvens. onstanten c = er den samme som for 1. ordenssystem tidligere altså funnet ut fra y 0 = u 0 + c. systemet. De estimere parametrene er nå = 0.58, T 1 = 0.37, T 2 = 0.17 og τ = 0.17 i denne modellen av prosessen. De sanne verdiene for systemet er egentlig = 0.58, T 1 = 0.35, T 2 = 0.18 og τ = Både Loss function og FPE blir nå omtrent en fjerdedel av tilsvarende egenskaper for førsteordens systemet. Det er en god del bedre treff. 3. Simulink modell av prosessen er i figur De to utgangssignalene slik de viser i skopet er plottet med Matlab i figur 8. Det er perfekt treff. 10

11 Figur 8: Utgangen fra simulinkmodellen for to førsteordenssystem sammenlignet med simulert sprangrespons. Figur 9: Utgangen fra simulinkmodellen for en førsteordends modell til venstre og for to førsteordenssystem i sekvens til høyre. Her er det verifiseringssignalet som er brukt. 2.4 Verifisering av modell Vi kjører nå modellene i figur 4 og figur 7 men med den eneste forskjellen at vi nå bruker ov2datav i stedet for ov2datas.mat som inngangssignal. Vi må også passe på at konstanten c og eventeult de andre er slik de skal når modellen kjøres. For systemet i figur 4 viser resultatet venstre del av figur 9. For systemet i figur 7 viser resultatet høyre del av figur 9 11