NTNU Fakultet for teknologi

Transkript

1 NTNU Fakultet for teknologi Eksamensdato: 7. juni 2016 Fag: Faglærer: Løsningsforslag, versjon 6 TELE2001 Reguleringsteknikk Fredrik Dessen Del 1. Enkle overføringsfunksjoner (25%) I disse oppgavene skal du finne fram til- eller undersøke overføringsfunksjoner basert på figurer som du finner i vedleggene. Oppgave 1.1. (5%) Ta utgangspunkt i vedlegg 1. Prosessen representert ved denne frekvensresponsen påtrykkes følgende inngangssignal: u(t) = A sin(ωt) + B Hvor A = 0,2 B = 3,8 ω = 14 rad/s Hva blir utgangssignalet y(t) etter at inngangssignalet har fått lov å stå på en stund? Poenget med å spesifisere at inngangssignalet har fått lov å stå på en stund, er at vi ikke skal trenge å tenke på transienter. Siden systemet er lineært skal vi da stå igjen med et utgangssignal med samme frekvens som på inngangen, pluss et konstantledd. Røde markeringer i vedlegget. Tallet 14 er omtrent lik 10 2, og befinner seg dermed midt mellom 10 og 20 i diagrammet. Her leser vi av følgende: Forsterkning C = -35,5 db = 0,017 Faseforskyvning ϕ = -161º = rad Vi har også et konstantledd, og må finne forsterkning ved lave frekvenser: Forsterkning K = -18 db = 0,126 Utgangssignalet kommer på formen Her er A y = AC = 0,2 0,017 = 0,0034 ω = 14 rad/s (uendret) B y = BK = 3,8 0,126 = 0,48 ϕ = -2,81 rad y(t) = A y sin(ωt + φ) + B y De som fikk 4 poeng hadde oftest glemt å multiplisere B med K for å få konstantleddet på utgangen riktig.

2 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2016 Side 2 Oppgave 1.2. (5%) Ta fortsatt utgangspunkt i frekvensresponsen i vedlegg 1. Finn overføringsfunksjonen som denne representerer. Grønne markeringer i vedlegget. Vi ser følgende trekk ved frekvensresponsen: Absoluttverdien går fra konstant -18 db ved lave frekvenser, og faller til slutt med minus 40 db/dekade ved høye Fasen går fra konstant 0º ved lave frekvenser til minus 180º ved høye Skjæringspunktet mellom asymptotene i amplitudeplottet (knekkpunktet) faller sammen med minus 90º i faseplottet Vi har en resonanstopp i nærheten av knekkpunktet. Dette peker i retning av en andre ordens prosess med komplekskonjugerte poler. Ingen transportforsinkelse. Overføringsfunksjonen kan dermed skrives som Her er K h(s) = 1 + 2ζ s ω + ( s 0 ω ) 2 0 K = 18 db = 0,126 ; ω 0 = 5 rad/s Det er flere måter å finne den relative dempningen på. I alle tilfeller kommer vi fram til ζ = 0,4. De to første benytter seg av avlesning av at forsterkningen ved ω 0 er 20 db, som tilsvarer 2 db over stasjonær forsterkning. 1. Sett inn for K og ω 0 i ligning (6.34) eller (6.35) i læreboka, og løs med hensyn på ζ 2. Sammenlign med fig i læreboka, og velg riktig kurve Den tredje benytter seg av høyden Q på resonanstoppen, og tilsvarende frekvens ω r. Dette gir samtidig en ekstra mulighet for beregning av ω Benytt den første av ligningene (7.6) i boka, med Q = 2.6 db = 1.35 Mange av de som fikk 4 poeng hadde ikke funnet relativ dempning. Oppgave 1.3. (5%) Ta fortsatt utgangspunkt i vedlegg 1. Prosessen representert ved denne frekvensresponsen kobles i serie med en forsinkelse på 0,1 sekund. Plott den resulterende frekvensresponsen i samme diagram. Blå markeringer i vedlegget. Fasebidraget som følge av transportforsinkelsen skal være φ = ωτ

3 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2016 Side 3 Det skal legges til fasekurven som allerede er der. Husk fortegn. Bidraget er minus 1 radian, eller minus 57º ved ω = 1/τ, altså ved 10 rad/s. Bidraget ved andre frekvenser finnes også fra ligningen over. Av de som fikk 4 poeng var det en del som hadde blandet inn 2π da de skulle finne minus-57-grader-frekvensen. Oppgave 1.4. (5%) Ta utgangspunkt i sprangresponsen i vedlegg 2, og finn overføringsfunksjonen som denne representerer. Vi finner disse generelle trekkene: Responsen starter umiddelbart etter spranget Stigningen endres øyeblikkelig, og er brattest i starten Responsen går etter hvert mot en konstant verdi Dette peker i retning av en første ordens prosess uten transportforsinkelse, altså: h(s) = K 1 + Ts Røde opptegninger i vedlegg 2. Det er påført hvordan man finner fram til følgende: ΔX = 83 0 = 83% ΔU = = 20% Det er også vist hvordan vi finner tidskonstanten som tiden det tar for responsen å stige til 63% av sluttverdien. Av dette finner vi K = ΔX ΔU = = 4.15 T = 2.5 De få som fikk 4 poeng på denne manglet opptegninger i vedlegget. Oppgave 1.5. (5%) Lag et asymptotisk Bode-plott som tilsvarer overføringsfunksjonen h(s) = s 1 + 5s Bruk de vanlige svararkene til dette. 5 cm per dekade og 5 cm per 20 db. Ved lave frekvenser (s blir liten) vil h(s) gå mot 1, dvs. amplituden mot 0 db og fasen mot 0 grader. Ved høye frekvenser vil h(s) gå mot 50s/5s = 10, dvs. amplituden mot 20 db og fasen igjen mot 0 grader. Vi har to knekkfrekvenser: Først 1/50, så 1/5. Dette tilsvarer 0.02 og 0.2 rad/s. Mellom disse vil amplitudens asymptote stige med 20 db/dekade, mens fasens asymptote vil ligge på pluss 90 grader. Dette er vist i figuren nedenfor.

4 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2016 Side 4 De som fikk 4 poeng på denne manglet gjerne ett av forløpene 90 grader Fase 0 grader 20 db Amplitude 0 db 0.02 rad/s 0.2 rad/s Del 2. Blokkdiagrammer (33%) Blokkdiagrammet nedenfor viser en Laplace-transformert beskrivelse av en ganske generell prosess. h 2 (s) u(s) h 1 (s) x(s) h 3 (s) y(s) v(s) h 4 (s) Oppgave 2.1. (5%) Forklar kort hvilke antagelser man gjør for å få beskrivelsen på denne formen. Hvorfor må vi Laplace-transformere for å kunne utføre neste deloppgave? Den viktigste antagelsen man gjør når man Laplace-transformerer er linearitet. Hele poenget med å Laplace-transformere er at man da kan løse differensialligninger ved

5 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2016 Side 5 hjelp av algebraiske manipulasjoner. Blokkdiagrammer representerer algebraiske sammenhenger, og disse skal nå manipuleres. De som fikk 2 poeng hadde oftest ikke med poenget om algebraiske manipulasjoner. Oppgave 2.2. (6%) Reduser blokkdiagrammet fra forrige deloppgave så langt som mulig, dvs. til to blokker som tilsvarer overføringsfunksjonene fra u(s) til y(s) og fra v(s) til y(s). Dette skal gjøres i trinn som hvert representerer en regel for reduksjon av blokkdiagrammer. Trinn 1: Flytting av summasjonspunkt: h 2 (s) u(s) h 1 (s) h 3 (s) y(s) v(s) h 4 (s)/h 3 (s) Trinn 2: Reduksjon av tilbakekobling: u(s) h 1 (s) h 3 (s) h 3 (s)h 3 (s) y(s) v(s) h 4 (s)/h 3 (s) Trinn 3: Flytting av summasjonspunkt: u(s) h 1 (s) h 3 (s) h 3 (s)h 3 (s) y(s) v(s) h 4 (s)/h 3 (s) h 3 (s) h 3 (s)h 3 (s) Trinn 4: Reduksjon av seriekoblinger (begge samtidig): u(s) h 1 (s)h 3 (s) h 3 (s)h 3 (s) y(s) v(s) h 4 (s) h 3 (s)h 3 (s)

6 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2016 Side 6 Alternativt svar: Det går an å bruke tilbakekoblingsregelen som beskrives i kap. 3.2, rett under figur 3.2 i læreboka. Løsningen er kompakt og elegant, og følger direkte av figuren i oppgaveteksten. For overføringsfunksjonen fra u til y får vi direktefunksjonen h 1 (s)h 3 (s) og åpen sløyfefunksjonen h 3 (s)h 2 (s). Vi har negativ tilbakekobling og får dermed y(s) u(s) = h 1h h 2 h 3 For overføringsfunksjonen fra v til y får vi direktefunksjonen h 4 (s) og fortsatt åpen sløyfefunksjonen h 3 (s)h 2 (s). Vi har fortsatt negativ tilbakekobling og får dermed y(s) v(s) = h h 2 h 3 Oppgave 2.3. (6%) Vi ønsker å være helt sikre på resultatet, og derfor utvikle det reduserte blokkdiagrammet på en alternativ måte. Vis hvordan dette kan gjøres ved å sette opp algebraiske ligninger basert på figuren over, for deretter å manipulere disse. Basert på figuren i oppgaveteksten kan vi sette opp disse ligningene: x = h 1 u h 2 y y = h 3 x + h 4 v Vi eliminerer x ved å sette første ligning inn i andre. Deretter manipuleres uttrykket: y = h 3 (h 1 u h 2 y) + h 4 v = h 1 h 3 u h 2 h 3 y + h 4 v y + h 2 h 3 y = h 1 h 3 u + h 4 v y = h 1h 3 h 4 u + v 1 + h 2 h h 2 h 3 Vi ser at dette uttrykket stemmer med resultatet i oppgave 2.2. Det er hele veien antatt at alle størrelser er funksjoner av s. Enkelte fikk trekk for ikke å påpeke samsvar da gjerne manglende samsvar mellom svaret på denne oppgaven og oppgave 2.2. Oppgave 2.4. (5%) Vedlegg 3 beskriver en dynamisk prosess. Sett inn de manglende konstantene i de til sammen 9 tomme, firkantede blokkene i figur V4.1 og V4.2. Røde markeringer i vedlegg 4. Blokkdiagrammene inneholder nøyaktig samme informasjon som ligningene i vedlegg 3, så ingen prosesskjennskap er nødvendig. De som fikk 3 poeng på denne hadde oftest satt inn C e og C i foran integratorene.

7 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2016 Side 7 Oppgave 2.5. (6%) Identifiser pådrag u(s), forstyrrelse v(s) og måling y(s) i prosessen i vedlegg 3 og 4. Vis hvordan prosessen kan gis samme struktur som den «ganske generelle prosessen» i figuren øverst i denne oppgavedelen. Finn uttrykk for h 1 (s), h 2 (s), h 3 (s) og h 4 (s). Disse uttrykkene skal forenkles og presenteres på standard form. Pådrag u(s), forstyrrelse v(s) og måling y(s) er identifisert med grønne markeringer i vedlegg 4. Det skal videre vises at vi kan få et av disse blokkdiagrammene på samme form som figuren i oppgaveteksten. Figur V4.2 er delt i to av to stiplete firkanter. Dette kan man regne som et hint hvis man vil. Vi starter uansett med denne figuren, og første trinn i prosessen er å Laplace-transformere, dvs. erstatte integratoren med 1/s. Vi får: T i T o P e 1/C e s H ei T e P ei 1/C i s T i For å utføre «vis-hvordan-delen» av oppgaven trenger man ikke dra med seg alle uttrykkene nedover. Man trenger heller ikke å ha fått riktig på oppgave 2.4. Hvis man har ambisjoner om å få til «finn-uttrykk-for-delen» bør man nok det. Neste skritt blir flytting av et summasjonspunkt i varmeelement-delen: C e s T i T o P e 1/C e s H ei T e P ei 1/C i s T i Deretter kommer reduksjon av tilbakekoblinger. Begge halvdelene samtidig:

8 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2016 Side 8 C e s T i P e H ei /C e s H ei /C e s P ei 1/C i s /C i s T i T o Til slutt flyttes begge summasjonspunktene ett hakk til høyre: H ei H ei /C e s P e H ei /C e s H ei /C e s 1/C i s /C i s T i T o /C i s /C i s Nå er vi ferdig med «vis-hvordan-delen». Vi ser at vi har endt opp med samme struktur på blokkdiagrammet. Vi har kommet langt med «finn-uttrykk-delen» også, men mangler å komme på standard form. Det er ikke så vanskelig: h 1 (s) = h 2 (s) = h 3 (s) = h 4 (s) = H ei C e s 1 + H ei C e s H ei 1 + H ei C e s 1 C i s 1 + C i s C i s 1 + C i s = C e H ei s = s = C es 1 + C = 40s e H s 1 + 4s ei = = C i s C i s = 0, s = s Det er ikke nødvendig å sette inn tallverdiene for å levere et fullgodt svar. Ganske mange fikk med seg ett poeng for å identifisere pådrag, forstyrrelse og måling. De som fikk 4 poeng fikk til vis-hvordan-delen, men fikk feil i noen av uttrykkene.

9 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2016 Side 9 Oppgave 2.6. (5%) Avslutt med å finne uttrykk som beskriver dynamikken i de to tomme firkantede blokkene i figur V4.3. Også disse skal forenkles og presenteres på standard form. I oppgave 2.2 og 2.3 kom vi fram til mer generelle uttrykk for hva som skal stå i de to tomme boksene. Det vi skal gjøre nå er bare å sette inn resultatene fra oppgave 2.5 i disse uttrykkene. Som vanlig kan det være greit å tenke litt overordnet først, så vi slipper å dra med oss alt for mange store uttrykk og gjøre alt for mange gjentagelser. Det er som oftest nyttig å dele opp overføringsfunksjonene i tellere og nevnere slik: Vi kan nå begynne å sette inn: h uy (s) = h vy (s) = h 1 (s) = h 2 (s) = h 4 (s) = h 3 (s) = C e H ei s C es 1 + C e H ei s C i s C i s h 1(s)h 3 (s) 1 + h 2 (s)h 3 (s) = h 4 (s) 1 + h 2 (s)h 3 (s) = = t 1(s) n 1 (s) = 1 n 1 (s) = t 2(s) n 2 (s) = t 2(s) n 1 (s) = t 3(s) n 3 (s) = t 4(s) n 4 (s) = 1 n 3 (s) t 3 n 1 n t = 2t 3 n 1 n 3 1 n t = 2t 3 n 1 n 3 t 3 n 1 n 3 + t 2 t 3 n 1 n 1 n 3 + t 2 t 3 Vi ser nå at det er 3 uttrykk som skal utvikles videre: To forskjellige tellere og en felles nevner. Nevneren blir som regel den samme i slike sett av overføringsfunksjoner. Tellerene har vi allerede uttrykk for. Den felles nevneren kan utvikles slik: n 1 n 3 + t 2 t 3 = (1 + C e s) (1 + C i s) + C e s = 1 + ( C e + C i + C e ) s + C ec i s 2 H ei H ei H ei Vi kan nå sette opp det endelige svaret på standard form: h uy (s) = ( C e H ei + C i + C e ) s + C = ec i H ei H s 2 io 0, s + 160s 2

10 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2016 Side 10 h vy (s) = 1 + C e H ei s 1 + ( C e H ei + C i + C e ) s + C = ec i H ei H s 2 io 1 + 4s s + 160s 2 Det er ikke nødvendig å sette inn tallverdiene for å levere et fullgodt svar. De som fikk 3 poeng her fikk vist fremgangsmåten, men fikk feil i noen av uttrykkene. Alle som kom så langt endte for øvrig med karakteren A. Del 3. Frekvensanalyse (22%) I denne oppgavedelen skal du finne regulatorparametre ved å bruke metoden beskrevet i kapittel 8 i læreboka. Vedlegg 5 viser overføringsfunksjonen fra pådrag til måling tilsvarende figur V4.3. Oppgave 3.1. (5%) Utfør de nødvendige modifikasjoner av prosessens overføringsfunksjon basert regulatorbeskrivelsen i vedlegg 3. Tegn inn den modifiserte overføringsfunksjonen i vedlegg 5. I hvilket område er det spesielt viktig at modifikasjonen gjøres nøyaktig? Som det står innledningsvis skal prosedyren i kap. 8 følges. Det første man gjør er å legge inn en forsinkelse avledet av regulatorens sampleintervall. Dette er oppgitt i vedlegg 3 til 1 sekund, som skal multipliseres med 1,5 og dermed gir en forsinkelse på 1,5 sekunder. Det er kun faseforløpet som endres. Påtegninger er vist med rødt i vedlegg 5. Vi skal bruke kurvene til å finne ω øc, og det er viktig at tegningen blir nøyaktig i frekvensområdet like under prosessens ω 180. Dette kommer klart fram nedenfor. Overraskende mange svarte ikke på dette, eller la deler av svaret på oppgave 3.2 inn her. De som fikk 4 poeng hadde ikke med faktoren 1,5. Oppgave 3.2. (5%) Finn regulatorparametre som tilfredsstiller kravene i vedlegg 3. Vis ved påføringer i vedlegg 5 hvordan du kommer fram til svaret. I denne deloppgaven trenger du ikke sjekke forsterkningsmargin. Det gjøres i neste deloppgave. Antar respons av typen minimum forstyrrelse. Dette kan oppnås med en fasemargin på 45 grader. Krav til stasjonært avvik nevnes ikke direkte, men det står at det ønskes en best mulig undertrykkelse av svingninger i omgivelsestemperaturen. Om man tolker dette som at det ikke stilles krav til stasjonært avvik vil det være tilstrekkelig å bruke en PD-regulator. Med n = 10 i derivasjonsfilteret skal vi nå få h(ω øc ) = φ = 175 Denne fasen er markert med blått i vedlegg 5. Vi finner ut fra dette ω øc = 0,12 rad/s. Vi finner:

11 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2016 Side 11 Dermed Altså h 0 (ω øc ) = 61,2dB [K p ] db = h 0 (ω øc ) 3dB = 58,2dB K p = 10 58,2 20 = 813 T d = 1 = 1 = 8,3 sek ω øc 0.12 Alternativt svar: De aller fleste foreslo en PID-regulator, enten fordi det var oppgitt som tilgjengelig utstyr, eller fordi best mulig undertrykkelse har blitt tolket som også minst mulig stasjonært avvik. Dette er også riktig. Opptegningene for PID-regulator er vist i grønt i vedlegg 5. Vi får h(ω øc ) = φ = 155 ω øc = 0,06 h 0 (ω øc ) = 50dB [K p ] db = h 0 (ω øc ) 4dB = 46dB K p = = 200 T d = 1 = 1 = 16,7 sek ω øc 0,06 T i = 2,8 ω øc = 46,7 sek Hvis noe ble feil i oppgave 3.1 blir tallene selvfølgelig ikke helt som disse. Jeg må innrømme at kravet om null stasjonært avvik skulle vært med i spesifikasjonen i vedlegg 3, men at dette ble uteglemt. Trekk på denne skyldes ofte manglende begrunnelser eller dårlige opptegninger. Oppgave 3.3. (6%) Den åpne sløyfens overføringsfunksjon for et sett regulatorparametre er vist i vedlegg 6. Oppgi minst én grunn til at dette kan være (eller ikke kan være) samme parametersett som du kom fram til i forrige deloppgave. Sjekk fase- og forsterkningsmargin. Etterjuster regulatoren tilsvarende kravene i vedlegg 3. Vi ser at fasemarginen er 45 grader, så antagelig er regulatoren tilpasset kravet om minimum forstyrrelse. Kryssfrekvensen ligger på 0,066. Dette er et stykke unna ønsket kryssfrekvens for PD-regulatoren, så det er antagelig ikke snakk om samme regulator. Videre kan vi se at h 0 går mot uendelig når ω går mot null. Dette stemmer definitivt

12 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2016 Side 12 ikke med en PD-regulator i prosessen det er snakk om. Både prosessen og en PDregulator går mot konstante verdier ved lave frekvenser. Alternativt svar, hvis det ble benyttet PID i forrige oppgave. Kryssfrekvensen ligger svært nær ω øc for PID-regulatoren. Fasemarginen er riktig, og det er riktig at h 0 går mot uendelig når ω går mot null. Det kan godt være denne regulatoren. Det er kun nødvendig å oppgi én grunn. Husk likevel at denne typen spørsmål åpner muligheten for å vise forståelse for faget, og at oppgitt grunn ikke kan være for triviell. Fasemargin 45º og forsterkningsmargin 20 (26 db) er vist i grønt i vedlegg 6. Etterjustering er vist i rødt i samme vedlegg. Det står i vedlegg 3 det ønskes en raskest mulig respons. Det går an å øke forsterkningen med 13 db uten å forverre fasemarginen. Kryssfrekvensen økes da til De som fikk 4 poeng på denne manglet gjerne diskusjonen om hvorvidt dette var regulatoren fra oppgave 3.2. Alternativt manglet etterjusteringsdelen. Overføringsfunksjonen fra forstyrrelse til måling tilsvarende figur V4.3 er vist i vedlegg 7. Anta en svingning i omgivelsestemperaturen T o med en amplitude på 10 grader og en periode på 10 minutter. Oppgave 3.4. (6%) Hvilken amplitude vil temperaturen T i inne i skapet svinge med når du bruker regulatorparametre tilsvarende figuren i vedlegg 6? Hva om du bruker dine egne, etterjusterte regulatorparametre? Det er altså snakk om å finne responsen på en forstyrrelse. Generelt uttrykkes overføringsfunksjonen fra forstyrrelse til måling som h vy(reg) (s) = --- h vy(s) 1 + h 0 (s) = h vy(s)n(s) Her er h vy (s) overføringsfunksjonen fra forstyrrelse til måling for det uregulerte systemet. Overføringsfunksjonen h 0 (ω) til den lukkede sløyfen er vist i vedlegg 6, mens h vy (ω) er vist i vedlegg 7. Vi er kun interessert i hva som foregår ved frekvensen som tilsvarer en periode på 10 minutter, altså 600 sekunder: ω = 0,01 rad/s. Her er: h vy (0,01) = 7,6dB = 0.42 ; h vy (0,01) = 63 = 1,1 rad h 0 (0,01) = 27,6dB = 24 ; h 0 (0,01) = 145 = 2,53 rad Overføringsfunksjonen til den lukkede sløyfen er i kartesiske koordinater Vi legger til 1 og får: h 0 (0,01) = 19,66 j13, h 0 (0,01) = 18,66 j13,77

13 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2016 Side 13 Tilbake i polare koordinater får vi: Eller hvis vi inverterer: 1 + h 0 (0,01) = 23,19 ; 1 + h 0 (0,01) = 143,6 N(0,01) = 1 = ; N(0,01) = 143,6 23,19 Det spørres bare om amplitude, så vi finner svaret ved y(0,01) = N(0,01) h vy (0,01) v = 0,043 0,42 10K = 0.18K K står for Kelvin, og er i denne konteksten det samme som grader temperatur. Samme prosedyre for den etterjusterte regulatoren. Nå får vi h 0 (0,01) = 40,6dB = 107 ; h 0 (0,01) = 145 = 2,53 rad h 0 (0,01) = 87,65 j61, h 0 (0,01) = 86,65 j61, h 0 (0,01) = 106,18 ; 1 + h 0 (0,01) = 144,7 N(0,01) = 1 = ; N(0,01) = 144,7 106,18 y(0,01) = N(0,01) h vy (0,01) v = 0,0094 0,42 10K = 0.039K Den etterjusterte regulatoren (med triplet båndbredde) undertrykker forstyrrelsen nesten 5 ganger bedre. De som fikk 2 poeng på denne utførte analysen kun på det åpne systemet, altså bare ved hjelp av vedlegg 7. Del 4. Mer regulering (20%) Det er fortsatt prosessen i vedlegg 4 som skal reguleres. Prosessen er beskrevet av 0.1 y(s) = s s 2 u(s) s s s 2 v(s) Forsinkelser som skyldes reguleringssystemets samplingstid skal representeres av en første ordens Padé-approksimasjon. Oppgave 4.1. (3%) Sett opp et enkelt reguleringsteknisk blokkdiagram for den regulerte prosessen. I tillegg til de to blokkene i figur V4.3 må du ta med de nødvendige komponenter og signaler som sikrer at y(s) kan følge en referanse r(s).

14 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2016 Side 14 v(s) h vy (s) r(s) e(s) Regulator u(s) h uy (s) y(s) Oppgave 4.2. (6%) Sett opp karakteristisk ligning for det tilfellet at prosessen reguleres med en ren proporsjonalregulator med forsterkning K p. Uttrykket skal forenkles til standard polynomform. Karakteristisk ligning finnes av den lukkede sløyfens overføringsfunksjon. Vi kan glemme overføringsfunksjonen fra forstyrrelse til måling. Prosessen er sånn sett gitt av y(s) = s s 2 u(s) Regulator med første ordens Padé-approksimasjon er gitt av u(s) = K p 1 τ 2 s 1 + τ 2 s e(s) = K p 1 0,75s 1 + 0,75s e(s) Overføringsfunksjonen til den lukkede sløyfen er dermed gitt av Den karakteristiske ligningen blir h 0 (s) = t 0(s) n 0 (s) = 0.1K p (1 0,75s) ( s s 2 )(1 + 0,75s) 0 = t 0 (s) + n 0 (s) = 0.1K p (1 0,75s) + ( s s 2 )(1 + 0,75s) Utregnet, og på standard polynomform blir dette 0 = K p + (260,75 0,075K p )s s s 3 De som fikk 3 poeng på denne hadde ikke tatt med Padé-approksimasjonen. --- Vedlegg 8 viser en utskrift fra en Matlab-sesjon hvor løsningene på den karakteristiske ligningen over er regnet ut for forskjellige verdier av K p. Anta at noen ønsker å bruke Ziegler og Nichols metode til å komme fram til en PID-regulator for prosessen, men at de ikke har tilgang til utskriften i vedlegg 8.

15 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2016 Side 15 Oppgave 4.3. (6%) Beskriv hvordan de ville ha gått fram og hvilke regulatorparametre ville de funnet. Ziegler og Nichols metode utføres på en virkelig, regulert prosess, så de må sette i gang prosessen og regulere den med en proporsjonalregulator. Proporsjonalforsterkningen justeres til stabilitetsgrensen, altså til det oppstår stabile svingninger. Disse skal dempes langsomt ut hvis forsterkningen reduseres ørlite. De noterer så proporsjonalforsterkningen og svingningenes periode, hhv. K k og T k, og beregner parametrene fra K p = 0,65 K k T i = 0,5 T k T d = 0,12 T k De kjenner ikke til utregningene i vedlegg 8, som ser ut til å være beregninger gjort for å finne stabilitetsgrensen ut fra polplassering. Stabilitetskriteriet i denne forbindelse er at alle poler må befinne seg i venstre halvplan. Man ligger på stabilitetsgrensen det øyeblikket en eller flere poler ligger på den imaginære aksen. I vårt tilfelle skjer dette for K p et sted mellom 2500 og Grafisk interpolasjon er tegnet inn med blyant i vedlegget, og stabilitetsgrensen antas å ligge der K p = Svingefrekvensen i rad/s vil være gitt av imaginærverdiene til polparet. Ved interpolasjon finner vi β = 0,1790 og dermed svingeperioden T k = 35,1. Regulatorparametrene er beregnet i vedlegg 8. Mange fikk 4 poeng her. Ofte manglet beskrivelsen av ZN, og sammenhengen med poler i det komplekse plan. Noen mistet ytterligere et poeng ved ikke å interpolere. Oppgave 4.4. (5%) Tegn Bode-plottet til denne regulatoren. Du kan bruke de vanlige svararkene til dette, evt. et av vedleggene hvor det fortsatt er plass. Regulatoren karakteriseres ved knekkfrekvensene som tilsvarer integral- og derivasjonstiden, samt filtertidskonstanten som er en tiendedel av derivasjonstiden. Dette er hhv. 0,057; 0,24 og 2,4 rad/s. Et raskt plott er vist på eget ruteark. Noen punktverdier er hentet fra figur 8.14 i læreboka, selv om integraltiden i vårt tilfelle ikke er akkurat 2,8 ganger derivattiden. Legg merke til at det er jeg som bestemmer hva strekene i rutearket representerer. Jeg bruker vertikalstreker til 0,24 og 2,4 rad/s, og horisontalstreker til 64,6 og 84,6 db. Jeg har lagt ned bare passe mye arbeid i forslaget for oppg. 4.4, og ikke brydd meg om å være veldig nøyaktig. Det viktigste er tross alt forståelse.

16

17

18

19

20

21

22

23

24