10.1 Oppgaver til kapittel 1

Transkript

1 10 Oppgaver 10.1 Oppgaver til kapittel Oppgaver til kapittel Oppgaver til kapittel Oppgaver til kapittel Oppgaver til kapittel Oppgaver til kapittel Oppgaver til kapittel Oppgaver til kapittel Modifiserte gamle eksamensoppgaver

2 252 Kapittel 10 Oppgaver 10.1 Oppgaver til kapittel 1 Oppgave 1 Keramikkovn I denne oppgava skal vi se på temperaturregulering av en keramikkovn. Ovnsrommet varmes av et varmeelement med maksimal effekt på 10 kw. a) Tegn et blokkskjema av et reguleringssystem med tilbakekopling som tar seg av denne temperaturreguleringa. Blokkskjemaet skal inneholde blokkene: regulator pådragsorgan prosess måleelement Angi hva de ulike blokkene inneholder og sett navn på signalpilene som forbinder blokkene. Angi også benevningen på signalene i blokkdiagrammet. Ikke bare sett de generelle navnene, men også de spesielle navnene som passer for denne konkrete temperaturreguleringssløyfa. Anta at regulator og måleelement gir ut signal i området 4-20mA. b) Foreslå forstyrrelser som kan påvirke prosessen. Oppgave 2 Cruisecontrol Cruisecontrol til en bil har som oppgave å regulere hastigheten automatisk, og det kan være behagelig på langturer. En setter inn ønsket hastighet og cruisecontrol tar over "gasspedalen". a) Tegn blokkskjema for cruisecontrol av en bil. Blokkskjemaet skal inneholde blokkene regulator pådragsorgan prosess måleelement Angi hva de ulike blokkene inneholder og sett navn på signalpilene som forbinder blokkene. Angi også benevningen på signalene i blokkdiagrammet. Ikke bare sett de generelle navnene, men også de spesielle navnene som passer for denne konkrete reguleringssløyfa. Anta at regulator og måleelement gir ut signal i området 1-5V. b) Foreslå forstyrrelser som kan påvirke reguleringssystemet.

3 10.1 Oppgaver til kapittel Oppgave 3 Sjiktakkumulator Figuren viser prosess- og instrumenteringsskjema for oppvarming av en sjiktakkumulator via en varmeveksler. En sjiktakkumulator er en varmtvannstank som alltid er fyllt med vann. Det kaldeste vannet samles i bunn og det varme stiger opp til toppen. For å varme opp vannet pumpes det kalde bunnvannet gjennom en varmeveksler før det fylles tilbake på toppen av akkumulatoren. Varmt forbruksvann tappes fra toppen av akkumulatoren, mens nytt kaldvann slippes inn på bunn. Forklar ut fra skjemaet hva de forskjellige instrumentsymbolene betyr.

4 254 Kapittel 10 Oppgaver Oppgave 4 Nivåregulering av tank Figurene viser prosess og instrumenteringsskjema samt blokkskjema for nivåregulering av en tank. Du skal nå finne fram til overføringsfunksjonen for tanken + nivåmåleren og membranmotoren basert på sprangresponsen til hver av de to blokkene. En membranmotor består av et stort membran som er festa til ventilspindelen. Lufttrykket på oversida av membranet vil bestemme posisjonen til ventilspindelen. a) Et opptak av sprangresponsen for tanken med nivåmåler er vist øverst på neste side. Som du ser er dette en integrator med tidsforsinkelse. Finn fram til integrasjonstida og tidsforsinkelsen. Bruk dette til å sette opp overføringsfunksjonen: h tank = y(s)/ q(s). (Tidsforsinkelsen du kommer fram til her er mye større enn den du ville finne om du tok opp sprangresponsen på en vanlig tank.) Her er y det målte nivået i tanken og q netto innstrømming til tanken. På figuren er det brukt normaliserte verdier, dvs verdier i området mellom 0 % og 100 %. b) Et opptak av sprangresponsen for membranmotoren er vist nederst på neste side. Hvilken type prosess er dette? Finn fram til de størrelsene som karakteriserer denne prosessen og bruk dette til å sette opp overføringsfunksjonen h membranmotor = g(s)/u(s). Her står g for spindelposisjonen og u for pådraget.

5 10.1 Oppgaver til kapittel 1 255

6 256 Kapittel 10 Oppgaver Oppgave 5 Linearisering Ventilen er av den likeprosentige typen. Det betyr at væskegjennomstrømminga øker med relativt like mange prosent for hver del ventilspindelen flyttes. F eks er gjennomstrømminga 2 l/sek når ventilspinelposisjonen er 6 mm. Når ventilspindelen flyttes til 9 mm øker gjennomstrømminga til 3,5 l/sek. Dette gir en økning på 75 %. Dersom ventilspindelen flyttes med nye 3 mm til 12 mm så vil gjennomstrømminga øke med nye 75 % i forhold til 3,5 l/sek. Da vil gjennomstrømminga bli 6,125 l/sek. Med normaliserte verdier blir den statiske sammenhengen mellom spindelposisjonen, g, og gjennomstrømminga i ventilen, q inn, lik: Den nederste likninga forteller bare at ventilen stenger helt når ventilspindelen går de siste 5 prosentene til nedre posisjon. Dette er utafor det området hvor reguleringa vanligvis foregår. a) Tegn opp et diagram som viser gjennomstrømming som funksjon av spindelposisjonen. Hva blir spindelposisjon når gjennomstrømminga er på 0,5 (dvs 50% av maks gjennomstrømming)? Bestem grafisk størrelsen på den stasjonære småsignalforsterkinga ved denne gjennomstrømminga.. Tips: Tegn opp tangenten til kurva i arbeidspunktet. b) Finn fram til en linearisert sammenheng mellom spindelposisjon og gjennomstrømming når vi bare er interessert i små variasjoner rundt det generelle arbeidspunktet g 0,q inn0. Tips! Bruk Taylorrekkeutvikling på den øverste likninga. (Vi er bare interessert i det likeprosentige området.) c) Hvor stor er den stasjonære småsignalforsterkinga rundt et arbeidspunkt hvor ventilspindelposisjonen er 0,85?

7 10.2 Oppgaver til kapittel Oppgaver til kapittel 2 Oppgave 6 Ziegler-Nichols metode Du skal bruke Ziegler-Nichols tommelfingerregler for å komme fram til et forslag til innstilling av en PI-regulator for nivåreguleringa av en tank. a) Finn kritisk forsterking og kritisk periodetid fra kurvene under og kom med et forslag til innstilling av P-forsterking og I-tid for regulatoren. b) Ved en sprangvis endring i utstrømminga fra tanken (forstyrrelse) ble innsvigningsforløpet som vist på figuren under. Hvordan vil du endre innstillingene til PI-regulatoren for å få et innsvingningsforløp av typen minimum forstyrrelse? (Øke eller minke P-forsterking og/eller øke eller minke I-tid). Begrunn svaret!

8 258 Kapittel 10 Oppgaver Oppgave 7 Innjustering i tidsplanet Turtallsregulering av en likestrømsmotor som driver en valse er vist på figuren under: Et blokkskjema for sløyfa er vist på figuren under: a) Metoden med manuell sjølvjustering er brukt for å komme fram til et forslag til innstilling av en PID-regulator. Finn kritisk forsterking og kritisk periodetid og kom fram til et forslag til innstillinger for regulatoren.

9 10.2 Oppgaver til kapittel b) Sprangresponsmetoden blir brukt på den samme prosessen for på denne måten å komme fram til et forslag til innstilling av en PID-regulator. Resultatet av forsøket er vist under. Finn fram til en slags kritisk forsterking og kritisk periodetid og kom fram til et forslag til innstillinger for regulatoren nå. c) Under innjustering av regulatoren som PID-regulator blir prosessen alt for urolig. Dette er vist på figuren under. Forklar hvilke type svingninger det er, og hva som bør gjøres for å få redusert oscillasjonene.

10 260 Kapittel 10 Oppgaver 10.3 Oppgaver til kapittel 3 Oppgave 8 Blokkskjemaregning a) Bestem overføringsfunksjonen fra r til y (h ry =y/r) og fra v til e (h ve =e/v)). b) Pådragsorgan med lokal tilbakekopling. F eks ventil med ventilstiller. Bestem overføringsfunksjonen fra r til y (h ry =y/r) og fra r til e (h re =e/r)). c) Servosystem (følgeregulering) med foroverkopling fra referansen. F eks automatisk skjærebrenner for stålplater. Bestem overføringsfunksjonen fra r til y (h ry =y/r) og fra r til e (h re =e/r)). R 1 og G er gitt. Finn den overføringsfunksjonen for R 2 (som funksjon av R 1 og/eller G,) som gjør at utgangen y alltid følger referansen r. Det vil si at e=0. (Tips! Sett h re =0.) d) Prosessregulering (konstantregulering) med foroverkopling fra forstyrrelsen. F eks automatisk temperaturregulering av hus hvor den viktigste forstyrrelsen er utetemperaturen. Bestem overføringsfunksjonen fra r til y (h ry =y/r) og fra v til y (h vy =y/v)). R 1, G 1 og G 2 er gitt. Finn den overføringsfunksjonen for R 2 (som funksjon av R 1, G 1 og/eller G 2,) som gjør at utgangen y ikke blir påvirket av forstyrrelser. (Tips! Sett h vy =0.) Figuren står på neste side.

11 10.3 Oppgaver til kapittel Oppgave 9 Sluttverditeoremet Denne oppgava henger nøye sammen med oppgaveteksten og figuren til oppgave 8a). a) Bruk sluttverditeoremet og finn stasjonærverdien for y når det kommer et sprang på 2 i r og v er null hele tida. b) Bruk sluttverditeoremet og finn stasjonærverdien for y når det kommer et sprang på 4 i v og r er null hele tida. c) Finn stasjonærverdien for y når det kommer et sprang på 2 i r og et sprang på 4 i v samtidig. Tips: Bruk superposisjon. Superposisjonsprinsippet sier at utsignalet fra en lineær krets med flere innsignal er summen av utsignalene som framkommer når det er signal på en inngang av gangen og alle de andre inngangene nullstilles. Oppgave 10 Operasjonsforsterkerkopling Figuren viser en operasjonsforsterkerkopling med to innganger og en utgang. a) Finn overføringsfunksjonene fra u 1 til u 3 og fra u 2 til u 3. b) Ved t=0 kommer det et sprang i u 1 fra 0 V til 1 V. (u 2 =0 hele tida.) Finn u 1 (s), u 3 (s) og u 3 (t). Skisser u 1 (t) og u 3 (t). c) Ved t=0 kommer det i stedet et sprang i u 2 fra 0 V til -1 V. (u 1 =0 hele tida nå.) Finn u 2 (s), u 3 (s) og u 3 (t). Skisser u 2 (t) og u 3 (t). d) Ved t=0 kommer det i nå et sprang i u 1 fra 0 V til 1 V og et sprang i u 2 fra 0 V til!1 V. Bruk superposisjonsprinsippet og finn u 3 (s) og u 3 (t) nå. Skisser u 1 (t), u 2 (t) og u 3 (t).

12 262 Kapittel 10 Oppgaver Oppgave 11 Hjuloppheng på bil Vi skal se på hjulopphenget til en personbil. Vi dimensjonere hjulopphenget slik at det får en ønsket respons når en trykker karosseriet ned og slipper. Under en slik test så kan en betrakte veidekket som konstant. Dersom en i tillegg antar at hjulet er stivt og masseløst, får vi et mekanisk svingesystem som vist i figuren under. m [kg] : massen som virker på et hjuloppheng (ca 1/4 bilens masse) k [N/m] : fjæras fjærkonstant d [N/(rad/s)] : støtdemperens dempekonstant x [m] : karosseriets posisjon x=0 når bilen står i ro på flatt underlag, dvs at tyngdekraften mg er inkludert i likevektspunktet. Du trenger derfor ikke å ha med tyngdekraften under modelleringen. a1) Vis at differensiallikningen som beskriver karosseriets posisjon x når karosseriet presses ned med en ytre kraft F blir: a2) Overfør differensiallikninga til Laplaceplanet og vis at overføringsfunksjonen mellom startverdien for posisjonen til karosseriet i x-retning (initialposisjonen x(0)) og posisjonen x blir: Dette tilsvarer at vi har en ytre kraft som trykker ned karosseriet over det ene hjulet i forhold til hvileposisjonen. Deretter slippes krafta når t = 0. F eks at en person setter seg på panseret over det ene hjulet. Da presses panseret f eks 10 cm ned mot veidekket. Personen hopper så av ved t = 0. Overføringsfunksjonen forteller da noe om hvordan posisjonen til x, dvs posisjonen til panseret over hjulet vil blir etter at personen har hoppet av. Vanligvis ønsker vi at panseret skal gå tilbake til utgangsstillingen uten mer enn å svinge seg litt forbi utgangsstillingen før den returnerer til utgangsstillingen. Mange svingninger tyder på at støtdemperen er slitt. (Tips: Det er tre størrelser som virker som innsignal og dermed påvirker posisjonen x: Den ytre krafta F, startverdien for hastigheten til karosseriet i x-retning og starverdien for posisjonen til karosseriet i x-retning. Når vi skal ha overføringsfunksjonen fra x(0) til x må de to andre innsignalene settes lik null.) b) Hjulopphenget skal dimensjoneres sånn at responsen holder gitte spesifikasjoner i form av udempa egenfrekvens og relativ demping. Vi ønsker

13 10.3 Oppgaver til kapittel Finn verdiene for fjærkonstanten k og dempekonstanten d ved å sammenlikne nevneren i overføringsfunksjonen fra x(0) til x med nevneren i en standard 2. ordens prosess med oscillasjoner: Bruk m=250 kg (det tilsvarer en bil på ca 1000kg). c) Skisser eller simuler karosseriets respons når det trykkes ned 0,1m og slippes. Når vi slipper er den ytre krafta F lik null. I tillegg forutsetter vi at karosseriet står i ro sånn at startverdien for hastighet i x-retning er lik null. Startverdier fungerer som impulser i Laplace-planet. I Matlab kan du simulere responsen ved å bruke kommandoen: impulse(startverdi*[tellerpolynomkoeffisienter],[nevnerpolynomkoeffisienter]) Oppgave 12 Nivåregulering av tank Nivåregulering av en enkel tank er vist i figuren ovenfor. x [m] : nivået i tanken y [V] : målt nivå i tanken z=k v u [m 3 /s] : volumstrøm inn i tanken v [m 3 /s] : volumstrøm ut av tanken (forbruk) u [V] : pådraget til reguleringsventilen A [m 2 ] : tverrsnittsarealet til den sylindriske tanken a) Nivåmåleren antas å være lineær og momentan. Overføringsfunksjonen blir dermed en konstant K m. Nivåmåleren gir ut spenning i området fra 1 til 5V når væskenivået i i tanken går fra 0,1 til 1m. Bestem K m.

14 264 Kapittel 10 Oppgaver b) Sett opp volumbalansen til tanken, og finn differensiallikningen som beskriver nivået x i tanken. (Her skal du se bort i fra nivåmåleren og regulatoren). Fordi det er pumpeturtallet som bestemmer volumstrømmen ut av tanken anses dette som en forstyrrelse v som er uavhengig av nivået i tanken. c) Tegn elementært blokkdiagram til nivåreguleringssystemet. Anta at regulatoren er en P- regulator med forsterkning K p. d) Bestem overføringsfunksjonene mellom r og y, og mellom v og y. e) Bestem K p slik at en ikke får mer enn 0,2 m endring i nivået ved et sprang i væskestrømmen ut av tanken på 0,02 m 3 /s. Anta her at A=2 m 2 og K v =0,005 m 3 /s/v. TIPS: Rekn ut stasjonærverdien for det målte nivået i tanken, y, når væskestrømmen ut fra tanken er et sprang på 0,02 m 3 /s. I dette uttrykket for stasjonærverdien skal K p inngå som en variabel. Deretter setter du uttrykket for stasjonærverdien lik 0,2 m og rekner ut verdien for K p. Dette blir den minimale verdien som kan velges for K p dersom kravet skal være oppfylt. Oppgave 13 Likestrømsmotor Siemens likestrømsmotor: 1HC EB..-6JU1 (se side 84 i kapittel 3) skal modelleres. Motoren skal brukes til turtallsstyring av en last. a) Gå inn i databladet og bestem motorens karakteristiske størrelser. Anta at jerntapene er neglisjerbare, slik at spennings-og momentkonstanten er lik i tallverdi. Anta videre at dempningskonstanten d er neglisjerbar. b) Tegn elementært blokkdiagram, og bestem motorens overføringsfunksjon fra påtrykt spenning u til turtallet ω på motorens aksling. c) Skriv overføringsfunksjonen på standard form: og bestem K, ζ og ω 0. d) Skisser eller simuler sprangresponsen til motoren når den påtrykte spenninga får et sprang fra 0 til merkespenning (den som er gitt i databladet). Hva blir stasjonært turtall når motoren går uten last? I Matlab kan du simulere sprangresponsen ved å bruke kommandoen: step(innsprang*[tellerpolynomkoeffisienter],[nevnerpolynomkoeffisienter]) 10.4 Oppgaver til kapittel 4 Oppgave 14 Overføringsfunksjon ut fra sprangrespons a) I denne oppgava skal du bestemme overføringsfunksjonen til tre prosesser ut fra

15 10.4 Oppgaver til kapittel Prosess A: sprangresponsene som er vist på de neste sidene. Skriv opp overføringsfunksjonene på standard form. NB! Pass på at disse sprangresponsene ikke er tatt opp med normaliserte verdier. Inn- og ut-signal har forskjellige enheter. Dette gjør at forsterkinger ikke blir ubenevnt. Integrasjonstida for integratoren i prosess A får enheten sekund ma/m. De vanlige tidskonstantene får fortsatt enheten sekund. I prosess B er det litt støy på sprangresponsen så det kan være vanskelig å avgjøre om det er en første eller andre ordens prosess. Du kan prøve å tilnærme det til en første ordens prosess med tidsforsinkelse. Prosess B:

16 266 Kapittel 10 Oppgaver Prosess C: b) Under ser du enhetssprangresponsen til en 4. ordens prosess. Du skal prøve å tilnærme denne til en 2. ordens prosess med tidsforsinkelse. Hva blir overføringsfunksjonen til denne tilnærminga?

17 10.5 Oppgaver til kapittel Oppgave 15 Enkel polplassering og sprangrespons Finn polene og tegn inn plasseringa i det komplekse plan. Bruk samme komplekse plan for alle overføringsfunksjonene. Skisser deretter sprangresponsen sånn omtrent for hver enkelt overføringsfunksjon. For system med komplekskonjugerte poler kan det være greit å regne ut relativ demping for å kunne få en idé om innsvingningsforløpet. Det viktigste er ikke at skissene blir helt riktige, men at det relative forholdet mellom polplassering og sprangrespons stemmer. Som en kontroll kan du simulere sprangresponsene. I Matlab kan du simulere sprangresponsen ved å bruke kommandoen: step([tellerpolynomkoeffisienter],[nevnerpolynomkoeffisienter]). a) b) c) d) e) f) 10.5 Oppgaver til kapittel 5 Oppgave 16 Polanalyse Bruk kalkulator eller Matlab til å finne ut om prosessene med disse karakteristiske likningene er stabile eller ikke. I Matlab kan du regne ut røttene i et polynom med kommandoen roots([polynomkoeffisienter]). a) b) c) Oppgave 17 Stabilitetsundersøkelse av reguleringssløyfe Du skal undersøke stabiliteten til reguleringssløyfa under med forskjellige metoder og komme fram til et forslag til valg av regulatortype (P, PI osv) og innstilling av regulatorparametre for å oppfylle følgende krav: Ved en sprangendring i lasten (forstyrrelsen) skal det ikke bli noe stasjonært avvik og innsvingningsforløpet skal være av typen minimum areal.

18 268 Kapittel 10 Oppgaver a) Sett opp karakteristisk likning for reguleringssløyfa med P-regulator dvs H R =K p. b) Finn kritisk forsterking og kritisk periodetid ved hjelp av polanalyse og kalkulator eller Matlab. (Tips: Varier K p til du finner et polpar på imaginær akse som vist i eksempel 5.7) Bruk deretter Ziegler-Nichols tommelfingerregler til å finne et forslag til innstilling av den regulatortypen du vil bruke for å oppfylle spesifikasjonene. I Matlab kan du regne ut røttene i et polynom med kommandoen roots([polynomkoeffisienter]) Oppgaver til kapittel 6 Oppgave 18 Opptak av frekvensrespons Opptak av frekvensresponsen for en prosess ga følgende utskrift på prosess-skriveren ved en bestemt frekvens. Finn frekvensen, amplitudeforholdet og faseforskyvinga. Oppgave 19 Fra overføringsfunksjon til frekvensrespons En prosess med P-regulator har følgende overføringsfunksjon for den åpne sløyfa: a) Finn h 0 (jω). b) Finn et uttrykk for amplitudeforholdet, h 0 (jω), og faseforskyvinga, ph 0 (jω).

19 10.6 Oppgaver til kapittel c) Sett først P-forsterkinga, K p =1 og regn ut amplitudeforholdet og faseforskyvinga ved følgende frekvenser: ω=0,01 0,02 0,1 0,2 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0 og 5,0 Sett opp resultatet i en tabell. d) Bruk resultatene fra c) og tegn opp Nyquistkurven i polardiagram. (Kanskje blir det litt langt mellom enkelte punkter. Om nødvendig får du regne ut noen flere verdier som du velger sjøl) e) Bruk Nyquistdiagrammet og finn amplitudekryssfrekvensen og fasekryssfrekvensen. Finn også forsterkingsmarginen og fasemarginen. f) Finn kritisk forsterking og kritisk periodetid for denne reguleringssløyfa og kom fram med et forslag til innstilling av en PID-regulator. g) Bruk resultatene fra c) og tegn opp amplitudeforholdet og faseforskyvinga i Bodediagram. h) Bruk Bode-diagrammet og finn amplitudekryssfrekvensen og fasekryssfrekvensen. Finn også forsterkingsmargin og fasemargin. i) Finn kritisk forsterking og kritisk periodetid fra resultatene i Bode-diagrammet. Hvordan stemmer dette med det du fikk i punkt f)? j) Kom fram til et forslag til innstilling for en P-regulator for denne reguleringssløyfa. k) Hvor stor blir fasemarginen og forsterkingsmarginen når du bruker en P-regulator med forsterkinga du fant i punktet over? Oppgave 20 Asymptotisk og virkelig frekvensrespons. Skisser asymptotisk og virkelig frekvensrespons på et vanlig ruteark for disse overføringsfunksjonene: a) b) c) d) e) Oppgave 21 Frekvensrespons i Bodediagram Tegn opp skissemessig asymptotisk og virkelig frekvensrespons til følgende sammensatte overføringsfunksjoner. (Du kan godt bruke vanlig ruteark.)

20 270 Kapittel 10 Oppgaver a) b) c) d) e) Som en kontroll på om du har tegna rett kan du bruke Matlab og kommandoen bode. (Dersom du har tilgang til phbode så tegner denne diagram som vist i oppgavene til kapittel 7.) Oppgave 22 Frekvensanalyse av reguleringssløyfe Du skal undersøke stabiliteten til reguleringssløyfa ved hjelp av frekvensanalyse i Bodediagrammet. a) Tegn opp den åpne sløyfefunksjonen, h 0, i Bodediagram. Tegn først opp asymptotene og så de virkelige kurvene. Bruk først H R =K p =1 b) Finn først amplitudekryssfrekvensen, ω c, og fasekryssfrekvensen, ω 180. Finn deretter forsterkingsmarginen og fasemarginen. c) Finn kritisk forsterking og kritisk periodetid. d) Bruk Ziegler-Nichols tommelfingerregler og kom fram til et forslag for innstilling av P- regulatoren. e) Bruk Bodediagrammet og finn størrelsen på forsterkingsmarginen og fasemarginen med verdien på k p fra punkt d). f) Bruk kritisk forsterking og kritisk periodetid fra punkt c) og kom fram til et forslag for verdiene til en PI-regulator.

21 10.7 Oppgaver til kapittel g) Hva blir den åpne sløyfefunksjonen når du bruker PI-regulatoren fra punkt f)? Den generelle overføringsfunksjonen for en PI-regulator er: h) Tegn opp asymptotiske og virkelige frekvensresponskurver i Bodediagram. Finn fasemargin og forsterkingsmargin. Hvordan er den relative stabiliteten med PIregulatoren i forhold til den relative stabiliteten med P-regulatoren i punkt e)?. i) Er det overhodet mulig å justere P-forsterkinga til PI-regulatoren sånn at fasemarginen blir minst 45E? 10.7 Oppgaver til kapittel 7 Oppgave 23 Matematisk modellering fra bodediagram Finn overføringsfunksjonen til disse prosessene:

22 272 Kapittel 10 Oppgaver

23 10.8 Oppgaver til kapittel Oppgaver til kapittel 8 Oppgave 24 Innjustering i frekvensplanet Turtallsregulering av en likestrømsmotor som driver en valse er vist på figuren under:

24 274 Kapittel 10 Oppgaver a) Tegn opp den åpne sløyfefunksjonen i Bodediagram. b) Kom fram til et forslag til innstillinger for en PID-regulator ved hjelp av Ziegler-Nichols tommelfingerregler. Hvilken type innsvingningsforløp får du sånn omtrent med denne metoden? c) Du skal nå i stedet bruke den mer nøyaktige metoden for innjustering av en regulator i Bode-diagrammet basert på at du vil ha oppfylt følgende spesifikasjoner. * Null stasjonært avvik * Raskest mulig sløyfe * Innsvingningsforløp av typen minimum forstyrrelse Hvilken regulatortype og innstillinger bør velges? (Du trenger ikke håndtegne opp den åpne sløyfefunksjonen med den valgte regulatoren for å kontrollere at spesifikasjonene holder. Som en kontroll på om du har tegna rett kan du bruke Matlab.) d) Du skal nå bruke Matlab til å tegne og analysere reguleringssløyfa med den regulatoren du fant i punkt c) over. i) Tegn opp den åpne sløyfefunksjonen med regulatoren i Bodediagram (AFF-diagram). Finn fasemarginen og forsterkingsmarginen. Hvilken type innsvingningsforløp kan du forvente deg ut fra dette? ii) Bruk Matlab til å simulerer sprangresponsen for reguleringssløyfa ved et sprang i referansen. Får du det innsvingningsforløpet du kunne forvente ut fra frekvensanalysa? Oppgave 25 Innjustering i frekvensplanet (Oppdatert i 2012) En autopilot til en modellbåt skal justeres inn ved hjelp av frekvensanalyse. Autopiloten er en digital regulator med samplingstid på 0,1 sekund. Fordi roret kan slå ut begge veier i forhold til null utslag er det ikke noe nominelt pådrag i autopiloten. Vår oppgave går ut på å finne en regulatorfunksjon H R (s) slik at systemet fungerer som det skal. r T L x y Referansesignal fra fjernkontroll som angir ønsket kursvinkel for fartøyet. (volt) Ytre moment fra vind, strøm og bølger som forsøker å dra fartøyet ut av kurs. (Nm) Fartøyets virkelige kursvinkel. (rad.) Målt kursvinkel fra digitalt kompass. (volt)

25 10.8 Oppgaver til kapittel a) Hvor stor blir tidsforsinkelsen i autopiloten? b) Autopiloten går som en P-regulator med K p = 1. Hva blir den åpne sløyfefunksjonen h * od (s)? c) Skisser asymptoter og korrigerte kurver for *h * od (jω)* og ph * od (jω). d) Finn systemets forsterkningsmargin K og fasemargin φ når K p =1. Er det tilbakekoplede systemet stabilt? Begrunn svaret. e) Hva blir stasjonær forsterking fra referansen r(s) til avviket e(s)? e(s) = r(s) - y(s) Hva blir stasjonær forsterking fra ytre moment T L (t) til avviket e(s)? Kommenter resultatene. f) Systemets egenskaper skal nå forbedres med en passende regulator H R (s). Følgende spesifikasjoner skal oppfylles: - Kryssfrekvensen ω c skal være størst mulig. (Bl.a for å kunne undertrykke så høye bølgefrekvenser som mulig.) - K $ 12dB og φ $ 45E (Uten gode stabilitetsmarginer er ikke autopiloten stø på rattet! Her ønskes det et innsvigningsforløp av typen minimumforstyrrelse og som bare gir ca en til to halvperiode før det roer seg ned.) - Null stasjonæravvik v/sprang i forstyrrelsen. (Hele poenget med en autopilot er jo at den skal holde kursen uansett sjø og vind.) - Null stasjonæravvik v/sprang i referansen. (Den bør også fungere om vi velger en annen kurs!) Hvilken regulatortype (P, PI, PD eller PID på sumform) trengs for å møte spesifikasjonene og hvilke regulatorverdier oppfyller kravene best? g) Du skal nå kontrollere at spesifiksjonene er oppfylt ut fra diagrammet under som viser den åpne sløyfefunksjonen h o (s) med et sett regulatorparametre. Amplitudeforhold i db Bodediagram for åpen sløyfe med PID-regulator h 0 h 0 Faseforskyving i grader Radianer pr sek -360 Kontroller om alle spesifikasjonene er oppfylt og begrunn svaret. Hvilke endringer vil du foreslå dersom noen av spesifikasjonene ikke er oppfylt?

26 276 Kapittel 10 Oppgaver 10.9 Modifiserte gamle eksamensoppgaver Oppgave 26.1 Ei generell monovariabel reguleringssløyfe er vist i Figur 1. Bestem overføringsfunksjonene til regulator, pådragsorgan, prosess og måleelement med utgangspunkt i Figur 2, Figur 3, Figur 4 og Figur 5. Figur 1 Generell monovariabel reguleringssløyfe u e t [sek] Figur 2 Regulator

27 10.9 Modifiserte gamle eksamensoppgaver z u t [sek] Figur 3 Pådragsorgan Figur 4 Prosess

28 278 Kapittel 10 Oppgaver Figur 5 Måleelement Oppgave 26.2 Et forenklet blokkdiagram for regulering av roll-bevegelsen til et fly er vist i Figur 6. Roll er en manøver der flyet dreier om sin egen lengdeakse. Momentet fra balanseroret genererer rollhastigheten. Figur 6 Blokkdiagram for regulering av roll-vinkelen r e u z x y : ønsket roll-vinkel : reguleringsavvik : pådrag til motor : moment til balanseror : roll-hastighet : roll-vinkel Regulatoren er en PD-regulator med innstilt forsterkning K p = 0,2, derivasjonstid T d = 2,5 og max forsterking i D-del, n=10.

29 10.9 Modifiserte gamle eksamensoppgaver 279 a) Tegn asymptotisk Bodediagram for hver enkelt overføringsfunksjon i figur Figur 6, dvs for regulator, motor, fly og integrator. Tegn på et vanlig ruteark. b) Regn ut eksakt db-og vinkelverdi ved vinkelfrekvensen ω = 5 rad/s for alle fire overføringsfunksjonene. Oppgave 26.3 Samme reguleringssystem som i Figur 6. Det brukes en analog P-regulator med K p =0,2. a) Finn overføringsfunksjonen fra r til y, h ry. b) Hva blir stasjonært avvik når det kommer et sprang i referansen på 0,1? c) Hva blir stasjonært avvik når referansen er en rampe med stigningsforhold på 0,1? Oppgave 26.4 Gitt reguleringssystemet som er vist i Figur 6. Bodediagrammet til åpen sløyfeoverføringsfunksjon uten regulator, h * 0(s), er vist i Figur 7. Reguleringssystemet skal ha oppfylt følgende krav: Fasemargin på minst 45E, forsterkningsmargin på minst 12 db og størst mulig båndbredde. Størst mulig båndbredde er det samme som størst mulig hurtighet. a) Dimensjoner en analog PID-regulator på produktform. Bruk n=10. Du trenger ikke å kontrollere forsterkningsmarginen. b) Dimensjoner en kommersiell digital PID-regulator på sumform som har samplingstid, h=0,33 sekund. Bruk n=10. Du trenger ikke å kontrollere forsterkningsmarginen.

30 280 Kapittel 10 Oppgaver Figur 7 Bodediagram for åpen sløyfefunksjon h * 0(s) for reguleringssystemet i figur 6. Oppgave 27 Nivåregulering av en tank. Introduksjon: MEMO Dato: Onsdag 6/12 kl Fra: Salgsjefen Til: Junioringeniøren HASTESAK: MODELLERING OG INNJUSTERING AV VÅRT NYE NIVÅREGULERINGSSYSTEM FOR TANKER. Nå er det virkelig KRISE!!! Vi venter en delegasjon som vil se på vårt nye tankreguleringssystem i dag kl Som kjent har avd.ingeniør Kåre Hansen arbeidet med denne saken, men han ble innlagt på sykhuset med tarmslyng i går. Han har foretatt endel målinger, men har ikke gjort noe av det teoretiske arbeidet som må gjøres. Uheldigvis foregår det idag utbedring på datanettet vårt sånn at fullføring av arbeidet til Hansen må foregå uten bruk av datamaskin. Fordi vi vet at du har vært borti et tilsvarende arbeid tidligere ber vi deg om å sluttføre arbeidet til Hansen. For at vi skal få tid til de siste praktiske tester på tanken før delegasjonen fra Statoil kommer må du sluttføre det teoretiske arbeidet seinest kl Dette er svært kort tidsfrist, men

31 10.9 Modifiserte gamle eksamensoppgaver 281 jeg er sikker på at du klarer oppgaven. Vedlagt følger skjemaer, kurver og måledata som Kåre Hansen har etterlatt seg på kontoret. Han har også satt opp et forslag til oppgaveliste som du kan jobbe etter. LYKKE TIL! Ole Normann Salgsjef Den egentlige oppgava starter her: I denne oppgaven skal du modellere blokkene som inngår i nivåregulering av en tank. Deretter skal du bruke forskjellige metoder til å komme fram til forslag til regulatortype og regulatorparametre. Figur 1 viser prosess- og instrumenteringsskjema, mens figur 2 viser blokkdiagram. Krav til reguleringssløyfa: Deloppgaver: * Null stasjonært avvik. * Minst mulig dynamisk avvik ved sprangendringer i væskestrømmen ut. * Innsvingningsforløp av typen minimum areal. * Raskest mulig reguleringssløyfe. A. Eksperimentell modellering: a. Ta utgangspunkt i sprangresponsene som vist i figur 3 og 4 og finn overføringsfunskjonene for ventil og tank. b. Ta utgangspunkt i tabell 1 og frekvensesponsene i tidsplanet som vist på figurene 5, 6 og 7 og finn overføringsfunksjonen for nivåmåleren. B. Innjustering av regulator basert på eksperiment: a. Ta utgangspunkt i figurene 8, 9, 10 og 11 og kom fram til et forslag til innstilling av regulatoren. C. Innjustering av regulator basert på frekvensanalyse: a. Finn fram til et forslag til innstilling av regulatoren når den er en analog regulator på produktform. b. Sjekk at spesifikasjonene er oppfylt med den valgte regulatoren. D. Testing av forskjellige regulatortyper og innstillinger: Studer figur 12 og 13 og kommenter resultatene.

32 282 Kapittel 10 Oppgaver Figur 1 Prosess og instrumenteringsskjema Figur 2 Blokkskjema Figur 3 Sprangrespons for ventil

33 10.9 Modifiserte gamle eksamensoppgaver 283 Figur 4 Sprangrespons for tank Tabell 1 Resultater fra opptak av frekvensrespons for nivåmåler Frekvens Amplitude Fase [rad/sek] [db] [grader] (Her mangler det data) Figur 5 Frekvensrespons for nivåmåler

34 284 Kapittel 10 Oppgaver Figur 6 Frekvensrespons for nivåmåler Figur 7 Frekvensrespons for nivåmåler

35 10.9 Modifiserte gamle eksamensoppgaver 285 Figur 8 Nivåregulering med P-regulator, Kp=11 Figur 9 Nivåregulering med P-regulator, Kp=13

36 286 Kapittel 10 Oppgaver Figur 10 Nivåregulering med P-regulator, Kp=15 Figur 11 Nivåregulering med P-regulator, Kp=17

37 10.9 Modifiserte gamle eksamensoppgaver 287 Figur 12 Nivåregulering med PID-regulator. Figur 13 Nivåregulering med PI-regulator.

38 288 Kapittel 10 Oppgaver Oppgave 28 Turtallsregulering av en DC-motor r [V] e [V] u [V] z [V] x [rad/s] y [V] v [Nm] : ønsket turtall gitt i volt signalspenning (1V tilsvarer ca 18,5 rad/sek. 177 o/min) : reguleringsavvik angitt i volt signalspenning : pådrag gitt i volt signalspenning : utført pådrag til DC-motoren gitt i volt motorspenning : turtallet til motoren gitt i radianer pr. sekund : målt turtall gitt i volt signalspenning : lastmoment gitt i Nm Problemstilling Du skal modellere blokkene som inngår i turtallsreguleringa av en DC-motor. Deretter skal du bruke forskjellige metoder for å komme fram til forslag på regulatortype og regulatorparametre. Du skal også undersøke reguleringssløyfas stasjonære egenskaper. Det er gjort en del målinger og eksperiment på reguleringssløyfa og disse måleresultatene er grunnlaget for å løse oppgaven. Måleresultatene er lagt ved oppgavesettet i form av figurer og tabeller. Sprangresponsene til likeretter og turtallsmåler er idealiserte kurver (de virkelige responsene er noe mer kompliserte). Krav til reguleringssløyfa 1 Null stasjonært avvik 2 Minst mulig dynamisk avvik ved sprangendringer i lastmomentet 3 Innsvingningsforløp av typen minimum forstyrrelse 4 Raskest mulig reguleringssløyfe

39 10.9 Modifiserte gamle eksamensoppgaver 289 Spesifisert oppgavetekst: A (20 %) Eksperimentell modellering Ta utgangspunkt i sprangresponsene i figurene 1 og 2 og måledataene i tabell 1 og finn overføringsfunksjonene til likeretter, turtallsmåler og DC-motor. B (10 %) Manuell innjustering av regulator Ta utgangspunkt i figur 3 og kom fram til et forslag på innstilling av regulatoren når metoden manuell sjølvjustering benyttes. C (10%) Kritisk forsterkning og kritisk periodetid Ta utgangspunkt i tabell 2 og bestem kritisk forsterkning og kritisk periodetid til reguleringsløyfa. D (30 %) Innjustering av regulator basert på frekvensanalyse Tegn Bodediagrammet til åpen sløyfefunksjon uten regulator og kom fram til et forslag på innstilling av regulatoren basert på frekvensanalyse når regulatoren er en analog regulator på produktform. Du trenger ikke å tegne opp åpen sløyfefunksjon med regulator for å kontrollere forsterkningsmarginen. Dersom du ikke har funnet noen modell av turtallsreguleringssystemet så kan du bruke: E (10%) Etterjustering av regulatoren Bodediagrammet til åpen sløyfefunksjon med regulator er vist i figur 4. Foreslå etterjustering av proporsjonalforsterkningen i regulatoren slik at de spesifiserte kravene til reguleringssløyfa oppfylles best mulig. F (20 %) Stasjonære egenskaper a) En maskiningeniør har vært å tuklet med regulatoren slik at den har havnet i P-modus med proporsjonalforsterkning på 10. Hva blir stasjonært reguleringsavvik med et sprang i referansen på 3V? Hva blir stasjonært turtall til DC-motoren angitt i rad/s? b) En automatiseringsingeniør oppdaget raskt feilen som maskiningeniøren hadde gjort og la inn en integrasjonsvirkning i regulatoren. Hva blir nå stasjonært reguleringsavvik når det i) kommer inn et sprang i referansen på 3V? ii) kommer inn et sprang i referansen på 3V og et sprang i forstyrrelsen på 20 Nm? 4 figurer og 2 tabeller følger på de neste sidene:

40 290 Kapittel 10 Oppgaver Figur 1 Sprangresponsen til likeretteren (idealisert respons) Figur 2 Sprangresponsen til turtallsmåleren (idealisert respons)

41 10.9 Modifiserte gamle eksamensoppgaver 291 Figur 3 Manuell sjølvjustering: Pådrag og målt turtall. Amplitudeforhold i db Åpen sløyfefunksjon med regulator Faseforskyving Amplitudeforhold Faseforskyving i grader Radianer pr sek -360 Figur 4 Bodediagrammet til åpen sløyfefunksjon med regulator.

42 292 Kapittel 10 Oppgaver Tabell 1 Måledata for DC-motoren: Opptak av frekvensrespons for motor Frekvens Amp[dB] Fase[grader] Tabell 2 Utskrift fra matlab som viser polene til reguleringssløyfa med P- regulator for forskjellige K P -verdier: Kp = 42 p = 1.0e+002 * i i Kp = 51 p = 1.0e+002 * i i Kp = 60 p = 1.0e+002 * i i Kp = p = 1.0e+002 * i i Kp = p = 1.0e+002 * i i Kp = p = 1.0e+002 * i i

43 10.9 Modifiserte gamle eksamensoppgaver 293 Til egne notater: