Løsningsforslag til eksamen i TELE 2008A Styresystemer og reguleringsteknikk 26/ s.1 av 16

Transkript

1 Løsningsforslag til eksamen i TELE 008A Styresystemer og reguleringsteknikk 6/5-04 s. av 6 Løsningsforslag eksamen i TELE008A Styresystemer og reguleringsteknikk 6. mai 04. v/ NB! Litt bedre kvalitetssikra! Send gjerne en epost om du fortsatt finner feil! Oppgave (5%) a) En forenkla modell av spenningssløyfa til et av aggregatene i Nea kraftstasjon er vist under. Diskretisering av regulatoren med bakoverdifferansen: Overføringsfunskjonen til K( + Ts) regulatoren i s-planet er gitt til å være en begrensa PID: H ( s) = ( + Ts) Må først transformere overføringsfunksjonen fra s-planet til z-planet med bakoverdifferansen: z s = Innsatt gir dette med h=0,003: h z K( + T ) (0, 003 ( 0,003 K + T z )) u H k z = = = z (0, T ( z )) e ( + T ) k 0,003 Kryssmultipliserer, rydder og bruker forskyvingssatsen for å komme fram til differenslikninga for regulatoren. u (0, T ( z )) = e K(0, T ( z )) k k (0,003 + T) u + Tz u ) = K((0,003 + T ) e T z e ) k k k k (0,003 + T) u + Tu ) = K((0,003 + T ) e T e ) k k k k Tu + K((0,003 + T ) e T e ) Tu + K(0,003 + T ) e KT e u = k k k = k k k k 0, T 0, T NB! Det er omsettingstida i den fysiske regulatoren som gjør dette til en langsom regulator. Når differenslikninga skal settes inn i en fysisk regulator brukes alltid differenslikninga for den raske regulatoren. b) Når stabiliteten til reguleringssløyfa skal vurderes i z-planet er det greiest å bruke tabell om overføringsfunksjonen finnes der direkte. Det gjør den ikke, men det går an å dele opp overføringsfunksjonen i en første ordens del og en tidsforsinkelsesdel. Tidsforsinkelser kan transformeres separat. Se linje 0 i tabell, 5, 5 0,0s H z = Z e Z Z 0,0s { e } Ha ( z) H ( z) G = = τ, 5s+, 5s+ Først kan tidsforsinkelser transformeres for seg med nr i tabell eller n0 i tabell :

2 Løsningsforslag til eksamen i TELE 008A Styresystemer og reguleringsteknikk 6/5-04 s. av 6 0,0 0,0 τ H ( z) Z e z h z 0,003 z 5,4 τ = = = = s { } Eksponenten må være et heltall. Dersom desimaldelen er større eller lik 0, bør det rundes oppover for å være på den sikre sida. H ( z) z 6 τ = Deretter kan første ordensleddet transformeres med linje i tabell :,5 e 0,667 0,003 0,999 0, 005 Ha ( z) = Z Z, 5 zoh =,5s zoh = = = + s+ 0, 667 0, 667 z e 0,667 0,003 z 0,999 z 0,999 Den totale overføringsfunksjonen blir:: 0, 005 0, 005 H ( z) = H ( z) H ( z) G τ a = = z 6 z 0,999 z 7 0,999z 6 c) Den karakteristisk likninga for reguleringssløyfa i z-planet finnes ved å bruke den z- transformerte for en langsom P-reg sammen med overføringsfunksjonen for generatoren i z- planet. Overføringsfunkjonen for langsom digital P-regulator: K H K z P = P reg = z K 0, 005 0, 005 Åpen sløyfefunksjon blir da: P K P H = H 0 P reg H = = G z z 7 0,999z 6 z 8 0,999z 7 Karakteristisk likning blir nevneren i overføringsfunksjonen til den lukka sløyfa satt lik null. Fordi denne nevneren alltid blir lik +H 0 så blir den karakteristiske likninga lik teller + nevner = 0 når teller og nevner er telleren og nevneren i den åpne sløyfefunksjonen. Karakteristisk likning blir: n 0, , , t K z z K 0 = P + + P = For at prosessen skal være stabil må alle røttene i den karakteristiske likninga havne innafor enhetssirkelen i z-planet. Det betyr at absoluttverdien til røttene må være mindre enn. Dersom et polpar ligger på enhetssirkelen og resten av polparene ligger innafor så har vi stående svingninger. Den P-forsterkinga som gjør at vi får dette er kritisk forsterking. d) Den karakteristiske likninga basert flere gjeldende siffer enn i svaret over gir røttene oppgitt oppgaveteksten rekna ut med Matlab:ved kritisk tilfelle. Det er med K P = 69. Ser på det polparet som ligger akkurat på enhetssirkelen Antar at det er det øverste polparet, men sjekker for sikkerhetsskyld. Bruker Pytagoras for å rekne ut absoluttverdien: r = re r + im r = + = { } { } {0,99569} {0,0900} 0,99975,000 For å finne kritisk periodetid må polparet på enhetssirkelen reknes over til s-planet. Velger verdien for polparet på enhetssirkelen. Vi er interessert i imaginærdelen i s-planet fordi denne gir svingefrekvensen i rad/sek direkte. NB Svaret på arccos må være i radianer!

3 Løsningsforslag til eksamen i TELE 008A Styresystemer og reguleringsteknikk 6/5-04 s.3 av 6 a ω = β = arccos == arccos = 7, 4[ rad / sek] h 0, 003 a + b 0, , 0900 Kritisk periodetid blir da: TK π π = = 0,088[ sek] ω 7, 4 Forslag til innstilling av PI-regulator basert på Ziegler-Nichols tommelfingerregler: K P = 0, 45* K = 0, og T = 0,85* T = 0,85 0,088 0,075[ sek] K i K e) Den begrensa PI-regulatoren skal nå dimensjoneres sånn at et sprang i referansen gir et stasjonært avvik på %. Stasjonær forsterking finnes ved å la z gå mot i overføringsfunksjonene. Her skal vi ha stasjonær forsterking fra r til e. For blokker som har en endelig stasjonær forsterkinga i seg sjøl holder der å rekne med blokkas stasjonære forsterking. Undersøker derfor stasjonær forsterking for begrensa PI-regulator i z-planet og for generatoren i z-planet først. K(0, T ( z )) K(0, T ( )) K lim lim = H z = = = K z z (0, T ( z )) (0, T ( )) 0, 005 0, 005 K lim H ( z) lim,5 G = z G = z z 7 0,999z 6 = 0,999 = Verdien på K kan reknes ut fordi H re Skal være lik % dvs 0,0. H re = 0,0 + h = + K K = K, 5 = 0 + G 99 + K,5 = K,5 = 00 K = = 66 0, 0,5 Tidskonstantene T og T kan nå reknes ut basert på formlene i oppgaveteksten. T = Ti = 0, 075[ sek] og K 66 T = T = 0, 075 = 0, 6[ sek ] i K 3 p f) Valg av antialiasing-filter når støyen ikke er målt baserer seg på et kompromiss mellom tilstrekkelig demping ved halve samplingsfrekvensen og at filteret skal påvirke reguleringssløyfa minst mulig. Med en bit AD-omformer kan det tommelfingermessig være greit med 40 db demping ved halve samplingsfrekvensen. Dette vil dempe støy ved halve samplingsfrekvensen til %. Med så stor demping bør det velges et andre eller tredje ordens Butterworthfilter. Dersom det er viktig at reguleringssløyfa skal påvirkes minst mulig av filteret bør knekkfrekvensen for filteret være et godt stykke over kritisk frekvens dvs ω 80 når vi bruker P-regulator. Denne verdien fant vi når vi skulle finne kritisk periodetid basert på polanalysa over. ω 80 = ω = β = 7,4 rad/s.

4 Løsningsforslag til eksamen i TELE 008A Styresystemer og reguleringsteknikk 6/5-04 s.4 av 6 ω Når h=0,003 blir halve samplingsfrekvensen s π π π = = = 47[ rad / s] h h 0, 003 Ut fra skikkelig formel eller tabellen på side 43 i Sanntidsboka vil knekkfrekvensen for andre ordens filter bli: ω 0, s ω ω k = = 0, s = 0, 47 4[ rad / s] For tredje ordens filter blir det: ω ω k = 0, s = 0, 47 53[ rad / s] Filteret med tilstrekkelig demping og med størst knekkfrekvens velges. Dvs 3. ordens filter med knekkfrekvens på 53[rad/s] Sidesprang: Fordi amplitudeforholdet til Butterworthfilteret er 0dB nesten helt opp til knekkfrekvensen vil ikke amplitudeforholdet til spenningsreguleringssløyfa bli påvirka av filteret i det området som teller, dvs i området opp til kryssfrekvensen for åpen sløyfe. I oppgave b) fant vi omega 80 til å være 7,4 rad/s. For vanlige stabile reguleringsøyfer er også ω 80 > ω c. Dvs at ω c er mindre enn 7,4 rad/s. Her er ω k > ω 80 for både. og 3. ordens filter og dermed påvirkes ikke amplitudeforholdet i det hele tatt i det området som betyr noe. Når det gjelder faseforskyvinga for et Butterworthfilter så begynner den å falle lenge før knekkfrekvensen. Allerede ved en tidel av knekkfrekvensen er fasbidraget ca -n 5 og ved knekkfrekvensen er det -n 45 hvor n er filterorden. Her er ω 80 > ω k./0 for både. og 3. ordens filter, men fordi knekkfrekvensen for 3. ordens filteret er mer enn dobbelt stor som knekkfrekvensen for. ordens filteret er det best å velge 3. ordensfilteret. Dersom antialiasingfilteret skal påvirke reguleringssløyfa minst mulig er det defor best å velge et 3. ordens filter med knekkfrekvens lik 53 rad/s. Sidesprang slutt.

5 Løsningsforslag til eksamen i TELE 008A Styresystemer og reguleringsteknikk 6/5-04 s.5 av 6 Oppgave (6%) a) Ventilkonstanter Hvilke tallsvar man kommer fram til avhenger av hvilke fysiske enheter som er brukt i beregningene. Sjøl har jeg valgt å bruke: m 3 /min for strømning kg/m 3 for tetthet bar for lufttrykk m for nivå Beregningene blir da som følger: C q ρ , V = = = l0 P 0,5 5 q0 0 CV = = = 7,07 7 h0 b) Massebalanser og ulineær matematisk modell Dynamisk massebalanse for tanken: V = q+ v q = q+ v CV h Fra matematikken: dv dv dh `dv V = h dt dh dt dh For tankens geometri gjelder følgende sammenhenger: r V= π rhog = r= h 3 h H H 3 dv som gir V = π h = π h 3 H dh H Kombineres likningene, og 3 får vi: V = π h h = q+ v CV h H ( V ) ( ) H h = q+ v C h = f hq,, v (4) π h c) Linearisering (Her betegner a arbeidspunkt generelt og h 0 nivået i arbeidspunktet.) () () (3)

6 Løsningsforslag til eksamen i TELE 008A Styresystemer og reguleringsteknikk 6/5-04 s.6 av 6 Formel for linearisering av vår differensial-likning: f f f h = h+ q + v h q v a a a Anvender vi denne på vår likning får vi: H C V h = h q + + v π h 0 h 0 tegnene forteller oss bare at likningen gjelder små variasjoner. Hvis vi sløyfer disse får vi: H C V h = h q + + v π h 0 h 0 (5) Dette blir den lineære likningen som gjelder omkring et vilkårlig arbeidspunkt h. 0 d) Transferfunksjoner Følgende enheter er brukt: tid: min, strømning: m 3 /min, nivå: m Lineære modeller: h 0 = m Setter vi inn tallverdier i likningen vi fant i punkt c får vi: h =, 73,5h+ q + v P ( s) sh( s) + h( s) = q ( s) + v( s) I s-planet når vi setter starttilstand=0: 3,83,73,73 Vi ser på sammenhengen mellom q s og h s : h h s,73 0,4 = = = q s s+ 3,83 + 0,34s Dette blir transferfunksjonen mellom regulert innstrømning og nivå for dette arbeidspunktet. Tidskonstanten er 0,34min 8,9sek h 0 = m Setter vi inn tallverdier i likningen vi fant i punkt c får vi: h = 5, 093 3,535h+ q + v P ( s) sh( s) + h( s) = q ( s) + v( s) I s-planet når vi setter starttilstand=0: 8 5,093 5,093 Vi ser på sammenhengen mellom q s og h s : h h s 5,093 0, 83 = = = q s s , 0556s

7 Løsningsforslag til eksamen i TELE 008A Styresystemer og reguleringsteknikk 6/5-04 s.7 av 6 Dette blir transferfunksjonen mellom regulert innstrømning og nivå for dette arbeidspunktet. Tidskonstanten er 0,0556min 3,3sek Vi ser at vi får nesten 6 ganger så rask dynamikk ved arbeidspunkt h 0 = m i forhold til h 0 = m. På grunn av den koniske formen blir væskevolumet dramatisk mye mindre ved lavt nivå og dermed får væsken en mye mindre oppholdstid i tanken. e) Foroverkopling Foroverkoplingssløyfa ser slik ut V hf foroverkoplingsregulator hm strømningsmåler U-PI fra serieregulator hvv reguleringsventil q Innstrømning til tanken For denne sløyfa gjelder følgende transferfunksjoner når tallverdier er satt inn: ( s) ( s) s ma l s 0,065 h ( s) = e h ( s) = = ma + 0, 05s m / min u s + 0,s 0,0 m 3 v Dessuten har vi for reguleringsventilen: q l 5 m 000 min 3 = CV = 70 Dette gir: P ρ h VV q 0,065 0,75 m u s + 0,s + 0,s min ma 3 = = = Ved ideell foroverkopling er det foroverkoplingen som tar seg av hele forstyrrelsen uten hjelp fra serie-regulatoren og sørger for at innvirkningen på prosessen blir minst mulig. Vi lar h FI betegne den ideelle foroverkoplingen og kan da sette: V s + h h h = 0 (Ideelt sett) Dette gir: m FI VV FI 0,0s ( 0, 05s) e ( 0,s) + + = = h h 0,75 m VV h = 0,67 + 0,05s + 0,s e FI h 0,0s Denne ideelle foroverkopling lar seg ikke realisere av to grunner:

8 Løsningsforslag til eksamen i TELE 008A Styresystemer og reguleringsteknikk 6/5-04 s.8 av 6 h FI har flere nullpunkter enn poler. Dette krever en forsterkning som øker ubegrenset når frekvensen på inngangssignalet øker. h FI inneholder «positiv tidsforsinkelse» dvs utgangs-signalet opptrer før inngangs-signalet og dette er fysisk umulig. Men vi kan bruke den ideelle foroverkopling som utgangspunkt når vi skal finne en praktisk realiserbar foroverkopling: 0,0s h = 0,67 + 0,05s + 0,s e 0,67 + 0,5s+ 0,005s F h 0,67 + 0,5s + 0,0s 0,67 + 0,7s+ 0,003s F 0,0s e = 0,67( + 0,7s) Dette er en ideell PD. Vi velger en praktisk PD ved å knekke en dekade lenger opp: + 0,7s hf ( s) = 0,67 + 0,07 s I denne transferfunksjonen har vi tidskonstanter gitt i minutter. Velger vi tidskonstanter i sekunder får vi: + 0s hf ( s) 0,67 + s f) Tilstandsrommodell Vi tar utgangspunkt i den lineære differensiallikning som gjelder for h 0 = m: h =, 73,5h+ q + v = 3,83h+, 73 q +,73 v () Transferfunksjonen for strømning gjennom reguleringsventilen har vi allerede funnet: q ( s) 0,75 hvv ( s) = = u( s) + 0,s ( + s) q ( s) = u( s) Dette er en likning som vi kan kryssmultiplisere: 0, 0,75 I tidsplanet kan vi da skrive: q + 0,q = 0,75 u eller q = 0q + 7,5 u () Likning () og () blir våre to dynamiske prosesslikninger. Det blir da naturlig å velge h og q som våre to tilstander. Da er det bare å skrive de to likningene på matriseform:

9 Løsningsforslag til eksamen i TELE 008A Styresystemer og reguleringsteknikk 6/5-04 s.9 av 6 h 3,83, 73 h 0, 73 = 0 0 u v q + q 7,5 + 0 Dermed ser vi at matrisene blir: 3,83, 73 0, 73 A= B= C = 0 0 7,5 0 For å finne målematrisen D trenger vi en målelikning. Vi har oppgitt måleelementets forsterkning K m = 4(mA/m). Målelikningen blir da ganske enkelt: y = 4 h (3) eller på matriseform: h y = [ 4 0 ] og dermed har vi: D= [ 4 0] q

10 Løsningsforslag til eksamen i TELE 008A Styresystemer og reguleringsteknikk 6/5-04 s.0 av 6 Oppgave 3 ( 5%) Spesifikasjonene i stikkordsform º Start = => alle dataregistre = 0 º => målesekvens starter º Temperatur => D0 º Y0 = => loddet senkes º 40 motoromdreininger til nedre måleposisjon º I nedre måleposisjon holdes temperaturføleren i 5 minutter før avlesning º Y = => loddet heves º Det måles hver 4. time º Øvre måledata til D00 -> º Nedre måledata til D00 -> º Stopp = => påbegynt målesyklus gjøres ferdig, deretter stoppes måleprosessen og det ventes på ny startordre Enkel forklaring på programmet Mesteparten av styringen programmeres som et sekvensprogram, i tillegg kommer programmeringen av start og stopp, se figur. Start StartStopp Sekvensprogram Aksjoner m/ vinsjekjøring og logging av temperaturer Stopp Figur Grafisk programstruktur, benyttede nettverk Noen problemstillinger Benytter 00ms timer for å angi 5 minutter: 5 minutter = 5 minutter * 60 sekunder = 300 sekunder 5 minutter = 300 sekunder * 0 stk 00ms => 3000 stk 00ms => TValue = 3000

11 Løsningsforslag til eksamen i TELE 008A Styresystemer og reguleringsteknikk 6/5-04 s. av 6 Tilordningsliste Tabell Global Label for programmet: a) Grafisk struktur for sekvensprogrammet, SFC 0 M0 O S Start (X) Stopp (X0) Puls hver 4. time (M00) M Logger temp. i øvre skikt til D00V0 TUE Sensor kjøres ned M Teller motoromdreininger 40 stk. (X) (Y0=) CC0 CS0, 40 motoromdreininger er kjørt 3 M3 D t#5min Pause 5 minutter esetter teller for motoromdreininger (CC0) TC0 TS0, fem minutter er gått 4 M4 Logger temp. i nedre skikt til D00V0 TUE 5 M5 Sensor kjøres opp Teller motoromdreininger 40 stk. (X) (Y=) CC CS, 40 motoromdreininger er kjørt 6 M6 TUE Inkrementerer V0 esetter teller for motoromdreininger (CC) Figur Grafisk presentasjon av sekvensprogrammet med aksjoner, SFC

12 Løsningsforslag til eksamen i TELE 008A Styresystemer og reguleringsteknikk 6/5-04 s. av 6 0 M0 S Start (X) Stopp (X0) M Nullstilling av dataregister D00-.D99 og indeksregister V0 TUE M Logger temp. i øvre skikt til TempOppe[V0] TUE 3 Sensor kjøres ned M3 Teller motoromdreininger 40 stk. (X) (Y0=) CC0 CS0, 40 motoromdreininger er kjørt 4 M4 D t#5min Pause 5 minutter esetter teller for motoromdreininger (CC0) TC0 TS0, fem minutter er gått 5 M5 Logger temp. i nedre skikt til TempNede[V0] TUE 6 M6 Sensor kjøres opp Teller motoromdreininger 40 stk. (X) (Y=) CC CS, 40 motoromdreininger er kjørt NOT M0, Startflagg 7 M7 Inkrementerer V0 esetter teller for motoromdreininger (CC) M00, puls hver 4. time Figur 3 Grafisk presentasjon av sekvensprogrammet med aksjoner, SFC, alternativ løsning.

13 Løsningsforslag til eksamen i TELE 008A Styresystemer og reguleringsteknikk 6/5-04 s.3 av 6 Hele PLS-programmet i LD

14 Løsningsforslag til eksamen i TELE 008A Styresystemer og reguleringsteknikk 6/5-04 s.4 av 6 Alternativ løsning:

15 Løsningsforslag til eksamen i TELE 008A Styresystemer og reguleringsteknikk 6/5-04 s.5 av 6

16 Løsningsforslag til eksamen i TELE 008A Styresystemer og reguleringsteknikk 6/5-04 s.6 av 6

17 Løsningsforslag til eksamen i TELE 008A Styresystemer og reguleringsteknikk 6/5-04 s.7 av 6 Avkryssingstabell for Oppgave 4 (flervalgsoppgave): I II III IV V VI VII VIII a) X X IX X XI XII b) c) X X X d) X X X X X e) Kommentar til IV: iktig sekvens for de fire første verdiene for y er [, 0, -, 5] Det betyr at ingen av svaralternativene er rett. Dermed skal det heller ikke krysses av for noen av svaralternativene! Kommentar til VII: Ingen av svaralternativene er rett. Dermed skal det heller ikke krysses av for noen av svaralternativene!