ù [rad/sek] h O [db] o o o o o o o o o o o

Transkript

1 D:\Per\Fag\Regtek\Oppgavebok\4 Løsning på øving\reglov6_2014.wpd Fag TELE2001 Reguleringsteknikk HIST,EDT Juni -14 PHv Løsningsforslag oppgavene 24 og 25 (Øving 6) Oppgave 24 Innjustering i frekvensplanet. a) Åpen-sløyfefunksjon for turtallsreguleringen og P-regulator blir når K p=1: Knekkfrekvenser: Tidsforsinkelse: ù 1 = 1/T 1 = 10 [rad/sek] ù 2 = 1/T 2 = 50 [rad/sek] ù = 1/ô = 200 [rad/sek] ô Plotteformler: Ved hjelp av knekkfrekvensene får vi tegnet opp asymptotene og korrigerte kurver får vi tegnet opp v.hj.a. plotteformlene. Vi velger noen frekvenser i området rundt knekkfrekvensene og får f.eks. generert følgende tabell: ù [rad/sek] h O [db] o o o o o o o o o o o ho Bodediagrammet kan kontrolleres med Matlab: % r6ov24ax.m w=logspace(0,3,500);%gir startdekade og sluttdekade samt antall punkter mellom. t1=1; n1=[ ]; [ttau,ntau]=pade(0.005,3); %pade gi padeapproksimasjon. Her 3. ordens. [t,n]=series(t1,n1,ttau,ntau);%seriekopler prosess og tidsforsinkelse. phbode(t,n,w); b) Fra Bodediagrammet avleser vi: ÄK = 28db K K = 25 ù K = ù 180 = 106 rad/sek T K = 2ð/ù 180 = sek = 59 msek PID-innstilling etter Ziegler- Nichols blir da: K = 0.65 K = = 24.2dB P T = 0.5 T = 29.6 msek i d K K K T = 0.12 T = 7.11 msek Side 111

2 2 Løsningsforslag oppgavene i boka (Øving 6 i Regtek) Vi forventer vanligvis en respons av typen minimum areal eller litt roligere med PID-regulator når vi bruker Ziegler-Nichols tommelfingerregler. Reguleringssløyfa er simulert i Simulink med en serie-regulator, referanse lik 1 og uten last. For at teorien og simuleringa skal henge i hop er det viktig at regulatoren ikke går i metning når vi ser på innsvingningsforløpet. Under simuleringa ble derfor minimum og maksimumsgrensene for regulatoren satt lik -uendelig og +uendelig. (-inf og inf). Som vi ser av sprangresponsen roer denne seg ned etter ca 7-8 halvperioder og er noe mer urolig enn minimum areal. c) Optimalisering etter spesifikasjoner til reguleringsegenskapene: Dersom vi skal dimensjonere etter spesifikasjoner må vi først ta stilling til hva slags regulator som trengs. Responsen skal være hurtigst mulig. D-virkning Null stasjonæravvik. I-virkning Deretter må regulatorparametrene betstemmes i det vi tar hensyn til stabilitetskravene. I dette tilfelle er det spesifisert en respons av typen minimum forsyrrelse. Dette er et strengt stabilitetskrav og i følge tabellen i avsnitt i boka vi kan i utgangspunktet prøve med fasemargin på 45. Vi finner et forslag til innstillinger for PID-regulatoren ut fra tabellen i sammendraget til kapittel 8. Finner først ønska kryssfrekvens ved å se på faseforskyvinga: Ut fra Bode-diagrammet for prosessen finner vi at -155 har vi omtrent ved ù = 70 rad/sek. Vi finner da: Ved 70 rad/sek er amplitudeforholdet omtrent -22 db. K P velges da lik: d) Den åpne sløyfefunksjonen med den nye PID-regulatoren er vist i Bode-diagrammet under: Side 112

3 Løsningsforslag oppgavene i boka (Øving 6 i Regtek) 3 Fra Bodediagrammet ser vi at kryssfrekvensen havnet på 68 rad/sek og det er omtrent der vi ønsket. Fasemarginen ble ca 43 og forsterkingsmarginen blir ca 12 db. Dette er svært nær det vi ønsket å oppnå. Vi burte derfor vente å få en sprangrespons av typen minimum forstyrrelse. Sprangresponsen er vist på figuren ved siden av: Responsen tilfredstiller kravet til minimum forstyrrelse ved at den stiller seg inn på 1 halvperiode. Sammenligner vi responsene for de to regulatorene ser vi at responsen er noe raskere for den første (Ziegler-Nichols). Men reponsen hadde mye dårligere stabilitetsegenskaper enn det som var foreskrevet. Med den andre (optimaliserte) regulatoren fikk vi foreskrevet responstype og nesten like rask reaksjonsevne. For tegne opp åpen-sløyfefunksjon i Bode-diagram og få framsprangresponsen kan du enten gå veien om Simulink eller skrive m-filer direkte i Matlab. Bodediagrammet får du fram med denne m-fila:: % ov6op1d.m Kp=7.9; Ti=0.04; Td=0.014; N=10; tpi=[ti*kp Kp]; npi=[ti 0]; tpd=[td 1]; npd=[td/n 1]; tpr=1; npr=[ ]; Side 113

4 4 Løsningsforslag oppgavene i boka (Øving 6 i Regtek) [ttau,ntau]=pade(0.005,3);% 3. ordens pade [treg,nreg]=series(tpi,npi,tpd,npd); [tpro,npro]=series(tpr,npr,ttau,ntau); [to,no]=series(treg,nreg,tpro,npro); phbode(to,no); %[tc,nc]=cloop(to,no); %step(tc,nc); %grid; Sprangresponsen kan du få fram ved å kommentere bort phbode og ta vekk kommentartegnet (%) fra de 3 siste linjene foran end. Oppgave 25 Autopilot. a) Autopiloten er en digital regulator med samplingstid, h=0,2 sekunder. Tidsforsinkelsen blir da 1,5 ganger samplingstida. ô = 1,5 h = 1,5 0,2 = 0,3 [sek] reg a) Åpen-sløyfefunksjon for autopiloten og P-regulator blir når K p=1: b) Knekkfrekvenser: ù 1 = 1/T 1 = 1/1 = 1 [rad/sek] ù 2 = 1/T 2 = 1/0,1 = 10 [rad/sek] Integratoren krysser 0 db-linja: ù ci = K = 2 [rad/sek] Tidsforsinkelsen gir -57 ved: ù = 1/ô = 1/0,3 = 3,3 [rad/sek] Asymptotene er vist i Bodediagrammet litt lenger ut i løsningsforslaget basert på knekkfrekvensen og at integratoren starter med -20dB/dek og -90. For å skissere de virkelige kurvene kan de litt unøyaktig tegnes opp basert på at amplitudeforholdet tar innersvingen med 3 db ved knekkfrekvenser som ligger minst en dekade fra hverandere og faseforskyvinga korrigeres med 45 når knekkfrekvensene ligger minst en dekade fra hverandre. Til slutt korrigeres for tidsforsinkelsen. Et mer nøyaktig alternativ er å bruke plotteformler for å tegne noen få utvalgte punkter i tillegg til asymptotene: ô Ved hjelp av knekkfrekvensene får vi tegnet opp asymptotene og korrigerte kurver får vi tegnet opp v.hj.a. plotteformlene. Vi velger noen frekvenser i området rundt knekkfrekvensene og får f.eks. generert følgende tabell: Side 114

5 Løsningsforslag oppgavene i boka (Øving 6 i Regtek) 5 ù [rad/sek] 0, h O [db] 11,1 3-7, o o o o o o ho Bodediagrammet kan kontrolleres med Matlab: t1=2; n1=[ ]; phbode(t1,n1, tau,0.3); d) Fra Bodediagrammet ser vi at amplitudekryssfrekvensen, ù c er mindre enn fasekryssfrekvensen, ù. Dermed er systemet stabilt. 180 ù c 1,2 rad/sek ù 180 1,5 rad/sek ÄK = - h(ù 180) [db] 2,6 db Äö =180 + h(ù c) = 10 e) Stasjonær forsterking fra r til e: Stasjonær forsterking brukes til å rekne ut utsignalet dersom innsignalet har en konstant stasjonærverdi. F eks når inngangasignalet er et sprang. Når stasjønær forsterking her er lik null så betyr det at vi får null stasjonært avvik ved et sprang i referansen. Det gjelder sjøl om vi bare har en P-regulator. Grunnen er at vi har en integratorvirkning i prosessen og dermed har en integrator mer i sløyfa enn i direktefunksjonen fra r til e. Stasjonært forsterking fra lasten, T L(s) og til e. Passerer to minustegn fra T L til e. Dermed blir det fortsatt positiv direktefunksjon. Side 115

6 6 Løsningsforslag oppgavene i boka (Øving 6 i Regtek) Dette resultatet er som vi kunne vente ut fra regelen om at like mange integratorer i den åpne sløyfefunksjonen som i direktefunksjonen fra inngang til avvik gir stasjonært avvik ved sprang på inngangen. f) Optimalisering etter krav til stabilitetsmarginer og reguleringsegenskaper: Kravet som stilles til null stasjonært avvik ved et sprang i referansen krever at vi har en integratorvirkning i regulatoren. Kravet til størst mulig kryssfrekvens gjør at vi starter med en derivatorvirkning i regulatoren. Det betyr at vi starter med å velge en PID-regulator. (I helt spesielle tilfeller med stor tidsforsinkelse i prosessen hender det at kravet til forsterkingsmargin gjør at vi må etterjustere P-forsterkinga veldig mye. Dermed kan vi få en langt lavere kryssfrekvens enn den ønska kryssfrekvensen vi burde få ut fra faseforskyvinga. I sånne tilfeller bør vi undersøke om vi kan oppnå like høy kryssfrekvens med en PI-regulator.) Regulatorparametrene betstemmes ut fra stabilitetskravene og Bodediagrammet for den åpne reguleringssløyfa. I dette tilfelle er det spesifisert en fasemargin på minst 45 og en forsterkingsmargin på minst 12dB. Vi må nå først finne den faseforskyvinga som gir ønska kryssfrekvens og benytter forslag til innstillinger for PID-regulator på sumform ut fra tabellen i sammendraget til kapittel 8. Tabellen gir dette kravet til faseforskyvinga ved ønska kryssfrekvens: Ut fra Bodediagrammet finner vi at faseforskyving lik -165 har vi omtrent ved frekvensen 1,1 rad/sek. Dette gir følgende forslag til innstilling av T og T : i d Ved 1,1 rad/sek er amplitudeforholdet omtrent +1 db. K P velges da lik: g) Den åpne sløyfefunksjonen med PID-regulator er gitt i oppgaveteksten. Av diagrammet ser vi at fasemarginen er ca 45 og at forsterkingsmarginen er ca 8 db. Dermed er kravene til fasemargin oppfylt (Äö 45 ), men forsterkingsmarginen er for liten (ÄK=8dB<12dB). Kryssfrekvensen er ca 1,2 rad/sek. Ser vi litt nøyere på diagrammet ser vi at en reduksjon av forsterkinga (dvs en senking av kurva for amplitudeforholdet) vil gi økt forsterkingsmargin, men samtidig redusert kryssfrekvens og dermed langsommere sløyfe. Kravet om stabilitet har prioritet foran rask sløyfe. Her er det nødvendig å redusere K p med 4 db for å oppfylle kravet til ÄK. Fordi fasebulken er ganske flat på toppen ser det ut til at Äö fortsatt vil bli ca 45 sjøl om amplitudekurva flyttes 4 db nedover. Ny K blir da: p Side 116

7 Løsningsforslag oppgavene i boka (Øving 6 i Regtek) 7 En mer nøyaktig opptegning viser at stabilitetskravene er så godt som oppfyllt. ÄK=12dB og Äö=44. Det stasjonære avviket vil bli null både med sprang i referansen og m e d s p r a n g i forstyrrelsen når vi bruker PID-regulator. (Fordi det nå er minst en integrator mer i den åpne sløyfefunksjonen enn i direktefunksjonen fra inngang til avvik i begge tilfeller.) Sidesprang 1: Fra sprangresponsen med K p=0,7 ser det ut som innsvingningsforløpet er bedre enn med K p=0,45. Isolert sett er dette rett. Fartøyet er både raskere tilbake til rett kurs og har mindre dynamisk avvik fra den rette kursen. Ser vi derimot på pådraget er det tydelig at det er overlagra en rask s v i g n i n g o p p å innsvigningsforløpet når K p=0,7. Dette tyder på at det ikke er et innsvingningsforløp av typen minimum forstyrrelse. Med K p=0,45 er det ingen overlagra svingning. Dersom det er ønskelig med så store stabilitetsmarginer som gitt i oppgaveteksten er PID med K =0,45 (T =2,9 og T =0,9 best. p i d Sidesprang 2: I dette tilfellet førte dimensjonering ut fra Äö 45 og ÄK 12dB til en alt for liten forsterkingsmargin ved første forsøk. Ved reduksjon av K p fra 0,7 til 0,45 ble stabilitetskravene oppfylt, men sløyfa ble mye treigere. Et alternativ er da å dimensjonere ut fra de alternative kravene på Äö 60 og ÄK 9dB. I dette tilfelle med litt etterjustering av K p ble de alternativen kravene akkurat oppfylt med K p = 0,5 T i = 3,3 og T d = 1,2. Sprangresponsene er litt bedre enn med Äö 45 og ÄK 12dB. Se figuren over. Side 117

8 8 Løsningsforslag oppgavene i boka (Øving 6 i Regtek) Til egne notater: Side 118