NTNU Fakultet for teknologi

Transkript

1 NTNU Fakultet for teknologi Eksamensdato: 9. juni 2017 Fag: Faglærer: TELE2001 Reguleringsteknikk Fredrik Dessen Løsningsforslag, versjon Prosessen du skal jobbe med er skissert i vedlegg 3. Første delen av oppgavesettet omhandler enkeltkomponenter, mens resten tar for seg hele prosessen. Del 1. Eksperimentell modellering (23%) Vi starter med å se på reguleringsventilen, deretter koblingen til væskenivå. Oppgave 1.1. (5%) Figur V1.1 i vedlegg 1 viser sprangresponsen til en ventil som vurderes brukt. Hvilken overføringsfunksjon (struktur og parameterverdier) tilsvarer dette? Vi finner disse generelle trekkene: Responsen ser ut til å starte ved t = 0,33 Stigningen endres der gradvis fra null Stigningen når en topp, for deretter å falle litt og stabilisere seg Responsverdien går etter hvert mot en konstant verdi Dette peker i retning av en andre ordens prosess med komplekskonjugerte poler, men med ganske bra dempning. Transportforsinkelse. KK h(ss) = 1 + 2ζζ ss + ss 2 ee ττττ ωω 0 ωω 0 Siden det dreier seg om komplekskonjugerte poler brukes kap i læreboka, selv om figuren ikke er helt lik. Røde opptegninger i figur V1.1. Finner der K, ττ og δδ, så ln δδ ζζ = ππ 2 + (ln δδ) = 0,69 ; ωω 2 0 = 2ππ = 0,98 ; ττ = 0,33 TT pp 1 ζζ2 De som fikk 3 poeng på denne hadde ofte antatt reelle poler, kombinert med mangler i forklaring eller opptegning. Oppgave 1.2. (5%) Figur V1.2 i vedlegg 1 viser frekvensresponsen til en annen ventil som vurderes. Hvilken overføringsfunksjon (struktur og parameterverdier) tilsvarer dette? Vi finner disse generelle trekkene. Opptegninger i rødt i figur V1.2.

2 Eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2017 (LF) Side 2 Amplitude konstant -0,9 db ved lave frekvenser Knekk, deretter stigning -40 db/dekade ved høye frekvenser Null fase ved lave frekvenser, og kan se ut til å flate ut ved -180 Ser ut som -90 kommer ved ωω = ωω 0, altså ingen forsinkelse Forsterkning ved ωω 0 er riktignok mindre enn 0 db, men mer enn -6 db Dette peker i retning av en andre ordens prosess med komplekskonjugerte poler, men med ganske bra dempning. Ingen forsinkelse. KK h(ss) = 1 + 2ζζ ss + ss 2 ωω 0 ωω 0 Egenfrekvensen ωω 0 finnes i tegningen som 1,49 rad/s. Ved denne frekvensen har amplituden falt med 3,2 db, så 20 log 2ζζ = 3,2 2ζζ = 10 3,32 20 = 1,466 ζζ = 0,73 Til slutt, KK = 0,9 db = 0,9 (tilfeldigvis). Et alternativ for å finne dempningskonstanten er å sammenligne med fig i læreboka. Her er det en kurve som går gjennom ca. -3 db ved ωω 0 som har ζζ = 0,7. Oppgave 1.3. (3%) Anta at de to ventilene i vedlegg 1 ellers er like, og at vi har følgende kriterier for valg av ventil: Sprangresponsen skal ha en dempning som tilsvarer minimum forstyrrelse eller mer, men ut over dette ha raskest mulig responstid. Hvilken ventil ville du velge? Vi finner i boka at minimum forstyrrelse tilsvarer en dempning på 0,6 til 0,8. Begge ventilene ligger i dette området. Ut over dette ser vi at ventilen i oppgave 1.1 har en egenfrekvens på ca. 1 rad/s (pluss at den har en transportforsinkelse), mens ventilen i oppgave 1.2 er raskest med en egenfrekvens på 1,5 rad/s. Vi velger derfor sistnevnte. Oppgave 1.4. (5%) I denne oppgaven vil du trenge data fra vedlegg 3. Tegn opp sprangresponsen fra ventilstrøm til væskenivå i figur V1.1, og frekvensresponsen i figur V1.2. Responsene skal altså ikke inkludere noen ventil. Overføringsfunksjonen fra ventilstrøm til væskenivå er h pp (ss) = 1 AAAA der AA er tankens grunnflate. I vedlegg 3 finner vi at grunnflaten i tanken er 1 m 2. Siden alle data er metriske blir forsterkningen ved ωω = 1 rad/sek lik 1. Stigningen i tid blir 1 per sekund, og i Bode-diagrammet -20 db per dekade og -90 ved alle frekvenser. Opptegninger i grønt. Det kan se rart ut (i fig. V1.1) at responsen til

3 Eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2017 (LF) Side 3 tanken starter før ventilen i det hele tatt reagerer, men de to har ingenting med hverandre å gjøre før vi setter dem sammen til et system. Oppgave 1.5. (5%) Tegn opp frekvensresponsen til tank og ventil kombinert for ventilen i vedlegg 2. Responsen er tegnet med rødt i vedlegg 2. Responsen fra forrige oppgave er også tegnet her. Det er snakk om å multiplisere overføringsfunksjonene for ventil og tank. Dette gjøres ved å addere db-verdiene og addere fasene. Del 2. Regulatorinnstilling (22%) Her skal vi jobbe med innstilling av nivåregulering med klassiske metoder, men med en vri mot slutten. Prosessen er fortsatt som vist i vedlegg 3. Oppgave 2.1. (5%) Vedlegg 4 viser en sprangrespons fra pådrag til måling. Høyden på spranget er 0,3. Finn kritisk forsterkning og -periodetid ved hjelp av sprangresponsmetoden. Sprangresponsmetoden beskrives i kap. 2.8 i læreboka. Opptegninger i rødt i vedlegg 4 viser hvordan man ut fra dette finner ekvivalent forsinkelse og integrasjonstid. Fra dette igjen finnes kritisk forsterkning og -periodetid som KK kk = 2TT eeee ττ ee = 1,6 ; TT kk = 4ττ ee = 4,4 sek Oppgave 2.2. (5%) I forrige oppgave brukes begrepene kritisk forsterkning og -periodetid, selv om dette kanskje ikke er de helt korrekte betegnelsene. Hvordan defineres egentlig kritisk forsterkning og -periodetid? Beskriv en annen eksperimentell metode for å finne de to størrelsene. Diskuter fordeler og ulemper med de to metodene. Verdiene er for det første kun definert i en lukket sløyfe, og forholder seg til en eller annen justerbar forsterkningsverdi i sløyfen, vanligvis proporsjonalforsterkningen KK pp. Kritisk forsterkning KK kk er da definert som den verdien av KK pp som gjør at systemet ligger på grensen mellom stabilitet og ustabilitet. Ved denne frekvensen vil systemet svinge med en periodetid TT kk, som defineres som kritisk periodetid. Som beskrivelsen over antyder kan verdiene finnet eksperimentelt i en lukket reguleringssløyfe ved å øke KK pp fra en lav verdi, og til systemet begynner å svinge. Her leser vi av KK kk og TT kk. Fordelen med denne metoden er at verdiene leses av direkte, så vi vet nøyaktig hva de blir. Ulempen er at man bruker det virkelige systemet, og at dette kanskje ikke tåler å stå og svinge og kanskje slett ikke å bli ustabilt. En annen ulempe, f. eks. hvis systemet består av et førsteordens ledd og en integrator er at vi

4 Eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2017 (LF) Side 4 kan ende opp med en svært høy KK kk og tilsvarende liten TT kk. Resultatet blir da en svært aggressiv regulator. Dette skjer ikke med sprangresponsmetoden. En annen fordel med denne er at man ikke trenger å lukke sløyfen. En ulempe er at verdiene bare kan tilnærmes siden det faktisk ikke oppstår noen svingning. Også her er det en ulempe at man bruker det virkelige systemet, og at dette kanskje ikke tåler en slik sprangrespons og kanskje slett ikke at tanken renner over eller tømmes helt. Det går også an å trekke fram metoder basert på polplassering eller undersøkelser av Bode-plott. Da må man få med at dette er betraktninger på papiret, som er avhengige av at tilgjengelige data er korrekte. Et vesentlig poeng her er at polplassering og Bode-plott forutsetter lineære systemer. Dette er ikke alltid tilfelle. Oppgave 2.3. (5%) Anta at de korrekte tall for kritisk forsterkning og periodetid er hhv. 8 db og 5,2 sek. Vi ønsker å regulere væskenivået slik at vi får null stasjonært avvik, en sprangrespons av typen minimum areal, og ellers en raskest mulig respons. Hvorfor passer det bra å bruke en PID-regulator? Hvorfor kan det passe å bruke Ziegler og Nichols håndregler for å finne regulatorparametrene? Finn passende parametre. Integralvirkning må med hvis vi vil oppnå null stasjonært avvik. Dette kan vi finne fram til på flere måter, men generelt, og i samsvar med kap. 8.8 i læreboka, blir det et krav uansett system at det skal være en integrator på strekket fra avvik e til der hvor forstyrrelsen v kommer inn. Se egen boble til venstre i vedlegg 3. Det er også nevnt at det er ønskelig med en raskest mulig respons. Derivatvirkning vil kunne løfte fasen slik at ωω 180 får en høyere verdi, og vi kan oppnå høyere båndbredde. Ziegler og Nichols håndregler er kjent for å resultere i systemer med responstype minimum areal, eller 4:1, som noen sier. Her er parametrene ut fra formlene i boka: KK pp = 0,65 KK kk = 8 db + 20 log 0,65 = 4,26 db = 1,63 TT ii = 0,5 TT kk = 2,6 sek ; TT dd = 0,12 TT kk = 0,62 sek De som fikk 4 poeng på denne hadde ofte ikke fått med koblingen mellom ZN og minimum areal. Oppgave 2.4. (2%) Det er faktisk ikke helt klart hvorvidt Ziegler og Nichols håndregler for en PIDregulator er utviklet for en regulator på sum- eller produktform. Skriv opp overføringsfunksjonene for en PID-regulator, både på sum- og produktform. Ikke ta med derivasjonsfilteret, altså ikke (1 + (TT dd /nn)ss)) i nevner. Avskrift fra kap , unntatt derivasjonsfilter. Først på sumform

5 Eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2017 (LF) Side 5 Så på produktform h PPPPPP (ss) = KK pp TT ii ss + TT ddss h PPPPPP (ss) = KK pp (1 + TT ii ss)(1 + TT dd ss) TT ii ss Begge formene skal gi samme overføringsfunksjon h PPPPPP (ss). Oppgave 2.5. (5%) Mange mener at håndreglene bare gjelder for en regulator på sumform. Formlene for en regulator på produktform blir da KK pp = 0,33 KK kk og TT ii = TT dd = 0,25 TT kk. Vis at disse formlene for regulatorparametre omtrentlig stemmer. Det som skal vises er at de to uttrykkene for h PPPPPP (ss) blir omtrent de samme når vi setter inn a) ZN-formlene fra boka i sumformen og b) de nye formlene i produktformen. Starter med sumformen, og får leddene der på felles nevner: h PPPPPP (ss) = KK pp TT ii ss + TT ddss = KK pp 1 + TT iiss + TT ii TT dd ss 2 TT ii ss Her setter vi inn ZN-formlene fra boka: Nå går vi over til produktformen: h PPPPPP (ss) = 0,65 KK kk 1 + 0,5 TT kkss + 0,06 TT 2 kk ss 2 0,5 TT kk ss h PPPPPP (ss) = KK pp (1 + TT ii ss)(1 + TT dd ss) TT ii ss Her setter vi inn de nye ZN-formlene: = KK pp 1 + TT ii + TT dd ss + TT ii TT dd ss 2 TT ii ss h PPPPPP (ss) = 0,66 KK kk 1 + 0,5 TT kkss + 0,063 TT 2 kk ss 2 0,5 TT kk ss Vi ser altså noen små forskjeller, men påstanden stemmer omtrentlig. Del 3. Utjevningstank A (34%) Strømmen ut av tanken går til et avsnitt som er avhengig av en ganske jevn tilførsel. Det benyttes fortsatt en nivåregulator, men hovedoppgaven er nå utjevning. Oppgave 3.1. (5%) Forklar alle detaljene i prosessdiagrammet i figur V3.1. Forklar også hva som gjør at utjevning kan oppnås. Påtegninger med rødt i figur V3.1 som beskriver hver detalj. Utjevning kan oppnås med nivåregulering hvis vi baserer oss på en litt sløv nivåregulator. Hvis denne

6 Eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2017 (LF) Side 6 reagerer tregt vil ut-strømmen bli tilsvarende jevnere. Det er en forutsetning at tanken kan fange opp variasjonen i væskenivå som skyldes slakk nivåregulering. De som fikk 4 poeng på denne hadde gjerne utelatt forklaringen på hvorfor utjevning kan oppnås. Oppgave 3.2. (5%) Signalene i blokkdiagrammet kan med fordel illustreres med plassering og retningsangivelser i prosessdiagrammet. Forutsett korrekte fortegn i blokkdiagrammet. Forklar detaljene i blokkdiagrammet i figur V3.2, og definer positiv retning på alle signaler. Forklar sammenhenger med figur V3.1, gjerne med påføringer i denne. Prosessligningen består av at summen av væskestrømmene u og w går til blokken hp(s) som representerer tanken og kommer ut som det som da må være faktisk væskenivå x. Påføringer i grønt i figur V3.1. For at fortegnene i blokkdiagrammet skal stemme må både inn-strømmen v og ut-strømmen w være definert positiv inn mot tanken. Da er væskenivået x positivt oppover. Det samme gjelder målingen y og ønsket verdi r av væskenivå. Resultatet av dette er at ut-strøm w, pådrag u og nominelt pådrag u0 blir positive inn mot tanken, og under normal operasjon har negative verdier. De som fikk 4 poeng på denne hadde gjerne unnlatt å definere positive retninger. Oppgave 3.3. (5%) Her skal du demonstrere reduksjon av blokkdiagrammer ved hjelp av tilbakekoblingsregelen. Benytt kun informasjonen i figur V3.2. Finn ved hjelp av tilbakekoblingsregelen overføringsfunksjonene fra innstrømning til utstrømning, og fra innstrømning til tankens væskenivå. Direktefunksjonen fra inn- til utstrømning er vist i rødt i figur V3.2. Vi passerer et minustegn på vegen. h vvvv(llllllllllll) (ss) = h pp(ss)h mm (ss)h rrrrrr (ss)h vv (ss) 1 + h pp (ss)h mm (ss)h rrrrrr (ss)h vv (ss) Direktefunksjonen til væskenivå er vist i grønt i figur V3.2. h pp (ss) h vvvv(llllllllllll) (ss) = 1 + h pp (ss)h mm (ss)h rrrrrr (ss)h vv (ss) Vi må være påpasselige med fortegnet i nevner i forbindelse med h 0 (ss). Overføringsfunksjonen til nivå nivåmåling godtas også, selv om dette strengt tatt ikke er svar på spørsmålet. Det viktigste er jo å demonstrere tilbakekoblingsregelen. Altså: h pp (ss)h mm (ss) h vvvv(llllkkkkkkkk) (ss) = 1 + h pp (ss)h mm (ss)h rrrrrr (ss)h vv (ss)

7 Eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2017 (LF) Side 7 De som fikk redusert poengsum på denne hadde ofte ikke med minustegnet på hvw. Mangler i forklaring av begreper som direktefunksjon og åpen sløyfe var også vanlig. Oppgave 3.4. (5%) Her skal du få samme resultat som i forrige oppgave, men må passe på å vise hvordan du jobber med algebraiske ligninger hentet fra figuren. Finn overføringsfunksjonene fra inn- til utstrømning, og fra innstrømning til tankens væskenivå, kun ved hjelp av ligninger og algebraiske manipulasjoner. Ut fra blokkdiagrammet kan vi sette opp følgende to ligninger: xx(ss) = h pp (ss)(vv(ss) + ww(ss)) ww(ss) = h vv (ss) uu 0 (ss) + h rrrrrr (ss) rr(ss) h mm (ss)xx(ss) I andre ligning kan vi sette inngangene rr(ss) og uu 0 (ss) til null, siden de ikke er med blant inn-signalene det spørres om. Andre ligning blir da Setter nå inn første ligning, og får ww(ss) = h vv (ss)h rrrrrr (ss)h mm (ss)xx(ss) ww(ss) = h vv (ss)h rrrrrr (ss)h mm (ss)h pp (ss)(vv(ss) + ww(ss)) 1 + h vv (ss)h rrrrrr (ss)h mm (ss)h pp (ss) ww(ss) = h vv (ss)h rrrrrr (ss)h mm (ss)h pp (ss)vv(ss) som kan omdannes til uttrykket for h vvvv(llllllllllll) (ss) i oppgave 3.3. For å få overføringsfunksjonen fra forstyrrelse til nivå setter vi inn tredje ligning i første: xx(ss) = h pp (ss) vv(ss) h vv (ss)h rrrrrr (ss)h mm (ss)xx(ss) 1 + h pp (ss)h vv (ss)h rrrrrr (ss)h mm (ss) xx(ss) = h pp (ss)vv(ss) som kan omdannes til uttrykket for h vvvv(llllllllllll) (ss) i oppgave 3.3. Oppgave 3.5. (4%) Vi skal nå gjøre et overslag. I denne sammenhengen setter vi inn h rrrrrr (ss) = KK pp ; h vv (ss) = 1 ; h pp (ss) = 1 AAAA ; h mm(ss) = 1 Forklar kort hvilke forenklinger som er gjort, og i hvilke situasjoner dette kan fungere. Sett opp detaljerte uttrykk for overføringsfunksjonene fra inn- til utstrømning, og fra innstrømning til tankens væskenivå. Forenklingene som er gjort er at ventilen og sensoren antas perfekte. I tillegg benyttes kun en proporsjonalregulator. Dette kan fungere for et overslag hvor man ikke vurderer stabilitet, eller hvor man vet man skal ligge et stykke unna stabilitetsgrensen. Årsaken til dette er at når man fjerner to dynamiske elementer, som hver ville bidratt med -90 på fasen, vil dette systemet ikke lenger kunne bli ustabilt.

8 Eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2017 (LF) Side 8 Vi setter direkte inn i svaret fra en av de to foregående oppgavene, og får h vvvv(llllllllllll) (ss) = h pp(ss)h mm (ss)h rrrrrr (ss)h vv (ss) 1 + h pp (ss)h mm (ss)h rrrrrr (ss)h vv (ss) = AAAA 1 + KK pp AAAA h vvvv(llllllllllll) (ss) = h pp (ss) 1 + h pp (ss)h mm (ss)h rrrrgg (ss)h vv (ss) = KK pp 1 AAAA 1 + KK pp AAAA = AA KK pp ss = 1/KK pp 1 + AA KK pp ss Det går også an å tegne nytt blokkdiagram hvor h vv (ss) og h mm (ss) er tatt bort. Uttrykkene kan da finnes fra scratch med reduksjon av blokkdiagrammer, tilbakekoblingsmetoden eller algebraiske manipulasjoner i et svært enkelt diagram. Oppgave 3.6. (5%) Det er ønskelig å holde tanken nær halvfull hele tiden, så den kan ta opp variasjoner i begge retninger. Derfor er stasjonære betraktninger viktige. Vi fortsetter med forenklede overføringsfunksjoner som ovenfor. Sett opp stasjonære uttrykk for w og x som funksjon av inngangene r, u0 og v. Her også kan løsningen finnes fra scratch i et forenklet blokkdiagram. Her ser vi at, for at x skal ha en fornuftig verdi stasjonært må w være motsatt like stor som v. Uttrykket for w blir derfor enkelt: ww = vv For å finne et stasjonært uttrykk for væskenivå kan vi starte med regulatorligningen, ww = uu 0 + KK pp (rr xx) som, når vi setter inn ww = vv og flytter litt på ting, resulterer i xx = 1 KK pp (uu 0 + vv) + rr Oppgave 3.7. (5%) Anta at en gitt inn-strøm kan beskrives av følgende forløp som har fått lov å stå på en stund: qq iiiiii (tt) = qq 0 + qq 1 ssssss(ωω 1 tt) Sett opp uttrykk for resulterende ut-strøm og væskenivå på samme form. Hva kan du kvalitativt si om variasjonene i ut-strøm og væskenivå for forskjellige verdier av KK PP? Antar at uttrykkene vi skal fram til henholdsvis har formene

9 Eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2017 (LF) Side 9 ww(tt) = ww 0 + ww 1 ssssss(ωω 1 tt + φφ 1 ) xx(tt) = xx 0 + xx 1 ssssss(ωω 1 tt + θθ 1 ) Det er snakk om respons ved to frekvenser: null og ωω 1. I tillegg må vi huske på at det står på et nominelt pådrag. Stasjonære betraktninger fra oppgave 3.6 gir oss ww 0 = qq 0 ; xx 0 = 1 KK pp (uu 0 + qq 0 ) + rr Forsterkning og fase som funksjon av frekvens: h vvvv (ωω) = AA 2 ωω KK pp ; h vvvv (ωω) = arctan AA KK pp ωω h vvvv (ωω) = 1/KK pp 1 + AA 2 ωω KK pp ; h vvvv (ωω) = arctan AA KK pp ωω Konstantene for det varierende signalet kan derfor skrives: ww 1 = qq AA 2 ωω KK 1 pp ; xx 1 = qq 1 /KK pp KK pp 1 + AA 2 ωω KK 1 pp φφ 1 = θθ 1 = arctan AA KK pp ωω 1 Stasjonært eller ved lave frekvenser vil ut-strømmen ikke påvirkes av KK pp, mens variasjoner i væskenivået er omvendt proporsjonale med KK pp. Tidskonstanten ser vi er AA/KK pp. Ved høye frekvenser i forhold til dette vil variasjoner i ut-strømmen reduseres omvendt proporsjonalt med KK pp, mens væskenivået ikke lenger påvirkes. Del 4. Utjevningstank B (21%) Vi skal nå legge inn litt mer dynamikk. Vedlegg 5 viser et normalisert Bode-plott av regulatoren fra oppgave 2.5, mens vedlegg 6 og 7 er identiske og viser prosessen med dynamikk for ventil og sensor inkludert. Oppgave 4.1. (4%) Anta for regulatoren i vedlegg 5 at KK pp kan velges fritt. TT ii og TT dd kan varieres, men vil alltid vil være like. Du kan derfor betrakte TT ii og TT dd som én parameter. Forklar hvordan Bode-plottet i vedlegg 5 forandrer seg når KK pp endres, og når TT ii = TT dd endres.

10 Eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2017 (LF) Side 10 Endringer i KK pp gjør at amplitudegrafen forskyves vertikalt. Opp ved økning. Fasen endres ikke. Endringer i tidskonstantene gjør at begge forskyves horisontalt. Til venstre ved økning. Oppgave 4.2. (6%) Du skal etter hvert multiplisere Bode-plottene i vedlegg 5 og 6, men for å gjøre det må du først bestemme regulatorparametrene i hvert fall må én av dem bestemmes for å fastlegge hvordan faseforløpet blir. En av parametrene skal velges slik at fasemarginen får mulighet for å bli 45 eller bedre. Hvilken parameter er dette, og hvilke verdier må den ligge innenfor? For at fasemarginen skal kunne bli 45, må det ett eller annet sted på produktet av de to Bode-plottene finnes et sted hvor fasen ligger over Faseplottet kommer ikke til å påvirkes av KK pp, men vil påvirkes av tidskonstantene (forskyvning horisontalt). Vi ser at når plottene multipliseres vil vi uansett alltid ende på -180 ved lave frekvenser, og, tja, antagelig -270 ved høye. Vi ser også at hvis vi velger en veldig høy tidskonstant vil vi kunne få en fase på bare så vidt under 0 ved f. eks. ωω = 0,01 rad/sek. Spørsmålet som gjenstår er hvor små TT ii og TT dd kan gjøres. Røde opptegninger i vedlegg 5 og 6. Det er markert en frekvens i hvert vedlegg med en prikkete vertikal linje. Anta at dette er samme frekvens i begge vedlegg. Da får vi et fasebidrag fra prosessen på -157,5, og fra regulatoren på 22,5. Totalt -135, og dermed en fasemargin på 45. Hvis vi forskyver regulatoren mot høyre vil vi kunne oppnå stadig mindre fasemargin, og det motsatte ved forskyvning mot venstre. Det er vist i et eget vedlegg (mellom 6 og 7) hvordan de to diagrammene passer sammen. På denne måten leser vi av frekvensen 0,255 rad/s, tilsvarende en tidskonstant på 4 sekunder. Konklusjon: De to tidskonstantene er begrenset til Oppgave 4.3. (5%) TT ii = TT dd > 4 sek Sjefen ønsker en regulator med TT ii = TT dd = 25, men sett foreløpig KK pp = 1. Tegn inn den åpne sløyfens overføringsfunksjon i vedlegg 6 eller 7. Plottet skal brukes i neste oppgave. Tegnet med rødt i vedlegg 7. 0 db-linjen er flyttet litt for å få plass til det som trengs av amplitudekurve. Alternativet er å tegne utenfor rutemønsteret. Det er også OK. Oppgave 4.4. (6%) Tips for å løse denne oppgaven får du ved å se over oppgave 3.3 eller 3.4. Sjefen ønsker en fasemargin på 45. Hva er største og minste verdi for KK pp under disse betingelsene? Hvilken verdi gir best utjevning?

11 Eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk juni 2017 (LF) Side 11 Tegnet med grønt i vedlegg 7. Fasen er -135 ved to frekvenser. Ved den laveste av disse er h 0 (ωω) = 44 db, og ved den høyeste 21,2 db. Grensene for KK pp er gitt av at fasemargin er definert i forbindelse med kryssing av 0 db-linjen. Derfor: Vi fant i oppgave 3.3 at 0,0063 = 44 db < KK pp < 21,2 db = 0,087 h vvvv(llllllllllll) (ss) = Dette betyr at ved lave frekvenser vil og ved høye frekvenser h pp(ss)h mm (ss)h rrrrrr (ss)h vv (ss) 1 + h pp (ss)h mm (ss)h rrrrrr (ss)h vv (ss) = h 0(ss) 1 + h 0 (ss) h vvvv(llllllllllll) (ss) 1 = 0 db h vvvv(llllllllllll) (ss) h 0 (ss) Denne informasjonen er tegnet i blått i vedlegg 7 for begge ekstremverdier av KK pp.vi ser at påvirkningen av v på w forsvinner fortere for den laveste verdien. Altså best utjevning for KK pp = 44 db.

12

13

14

15

16

17

18

19