Del 1. Skisse av reguleringsteknisk system

Transkript

1 Inst. for teknisk kybernetikk Fag TELE2001 Reguleringsteknikk Øving 1, løsningsforslag v2 Revidert sist Fredrik Dessen Del 1. Skisse av reguleringsteknisk system Den såkalte cruisekontrollen i en bil har som oppgave å holde hastigheten konstant. Dette kan være behagelig på langturer. Du stiller inn ønsket hastighet, og systemet tar over. Oppgave 1.1. Du skal tegne et blokkskjema av reguleringssystemet med tilbakekobling. Skjemaet skal inneholde blokkene regulator, pådragsorgan, prosess, måleelement og signalene referanse, avvik, pådrag, måling. Bruk relevante, tilpassede benevnelser. Hvis det hadde vært snakk om temperaturregulering kunne dette f. eks. vært varmeelement, temperatur og temperaturmåler i stedet for de generelle benevnelsene. Tegn blokkskjemaet. Beskriv de ulike blokkene og signalene for dette konkrete tilfellet. CC står for cruise control og er selve regulatoren. Den tar inn forskjellen på ønsket hastighet r og målt hastighet y og beregner et pådrag u i form av ønsket motorkraft. Antar at motoren sørger for dette. Motorkraften fører til at bilen kan bevege seg og oppnå en varierende hastighet x. Hastigheten måles av en fartsmåler (hastighetsmåler, speedometer) og produserer målingen y. Oppgave 1.2. Tenk over hvilke forstyrrelser som kan påvirke prosessen. Beskriv disse. Det er lov å anta ting, og det er lov å bruke fantasien. Forstyrrelser vil være i form av eksterne krefter. Dette kan dreie seg om opp- og nedoverbakker eller f. eks. mot- og medvind. Ganske mange effekter kan sies å være i grenselandet mellom forstyrrelser og endringer i prosessen. Hvis du f. eks. kjører gjennom en vanndam vil friksjonskoeffisienten øke, og medføre en større motkraft. Får du en elg på panseret øker massen, men du må også ta hensyn til at elgen omtrent var i ro da dette skjedde.

2 Del 2. Enkle stasjonære betraktninger Her skal du ut fra enkle, konstante sammenhenger komme fram til stasjonær tilstand for et uregulert og deretter et regulert system. Anta at luftmotstand og friksjon for en bil øker med hastigheten slik: Oppgave 2.1. FF = CCvv 2 der CC = 3 kg/m Hvilken kraft FF skal til for å opprettholde en hastighet på 30 m/s? Vi kan da sette opp ligningen med v = 30 m/s Oppgave 2.2. FF = CCvv 2 = 2700 N Anta at cruisekontrollen styrer motorkraft etter formelen FF uu = KK pp (vv ø vv). Her står vv ø og vv for hhv. ønsket og virkelig hastighet, og forskjellen mellom dem kalles reguleringsavviket. Ønsket hastighet er 30 m/s. Vi vet hva ønsket hastighet er, men ikke den virkelige, så vi kan ikke benytte beregnet verdi FF eller vv fra forrige oppgave. Hva blir virkelig hastighet og reguleringsavvik hvis KK pp er henholdsvis 0, 1000 og 2000 Ns/m? Kan du trekke noen slutning basert på dette? Vi oppnår kraftbalanse når FF uu = CCvv 2. Regulatoren kommanderer en kraft FF uu = KK pp (vv ø vv), så vi kan sette opp ligningene Litt rydding gir annengradsligningen FF uu = KK pp (vv ø vv) = CCvv 2 CCvv 2 + KK pp vv KK pp vv ø = aavv 2 + bbbb + cc = 0 Dermed finner vi løsningen med den velkjente formelen vv = bb ± bb2 4aaaa KK pp ± KK 2 pp + 4CCKK pp vv ø = 2aa 2CC For K p = 0 Ns/m gir dette v = 0 m/s, eller e = 30 m/s For K p = 1000 Ns/m gir dette v = 27,70 m/s, eller e = 2,30 m/s For K p = 2000 Ns/m gir dette v = 28,76 m/s, eller e = 1,24 m/s

3 Konklusjon: Vi kommer nærmere ønsket verdi (altså mindre reguleringsavvik) jo større K p er. Del 3. Forstyrrelser Kraftbalansen for bilen kan utvides til FF uu + FF ff = CCvv 2 Her representerer vv bilens hastighet. FF uu er motorkraft, FF ff representerer forstyrrelser mens CC er friksjonskonstanten fra forrige del av øvingen. Vi antar fortsatt at CC = 3 kg/m. Likevel: Det er som regel lurt å vente lengst mulig med å sette inn tall. Oppgave 3.1. Det er lurt å øve seg på forklaringsoppgaver. Du møter dem helt sikkert på eksamen: Fortell med egne ord hva som ligger bak ligningen ovenfor. Angi også forenklinger eller spesielle antagelser du legger merke til. Bruk gjerne fantasien eller egen erfaring. Kreftene på venstre side er motorkraft, samt en kraft fra en ekstern forstyrrelse. På høyre side friksjonskrefter tilsvarende hovedsakelig luftmotstand. Dette ser vi fordi leddet er en funksjon av hastigheten. Dette er en forenklet representasjon fordi Her kjører vi med konstant hastighet. Akselerasjon er ikke tatt med. Kreftene FF uu og FF ff er konstante. Friksjonskreftene er mer komplisert i praksis. Luftmotstand er verd et studium i seg selv, men et andregradsledd er ganske vanlig å starte med. Friksjonskonstanten CC varierer heller ikke. Det gjør den i praksis. Oppgave 3.2. (Frivillig. Det går an å hoppe til 3.4 uten å gjøre denne) Anta at forstyrrelsen FF ff skyldes en nedoverbakke. Hvis bakken heller med en vinkel ϕ nedover, og bilen har en masse mm vil FF ff = mmmm sin φφ Vis ved hjelp av en figur at denne formelen stemmer.

4 Forstyrrelsen tilsvarer kraftkomponenten som er parallell med bakken. Vi ser av figuren at vi kan skrive sin φφ = FF ff GG = FF ff mmmm Oppgave 3.3. (Frivillig. Det går an å hoppe til 3.4 uten å gjøre denne) En stigning oppgitt med prosenttallet p er slik at pp = 100% sin φφ Regn ut FF ff for nedoverbakker på 5% og 10%. Her er G tyngdekraften til bilen, G = mg, der igjen g er tyngdens akselerasjon, 9,8 m/s 2. Vi får dermed og Oppgave 3.4. FF ff = 0,05 mmmm = 490 N FF ff = 0,1 mmmm = 980 N Nå skal vi se hvordan forstyrrelsen påvirker et regulert system. Anta at vi bruker samme regulator som i oppgave 2.2, altså FF uu = KK pp (vv ø vv) og at vi fortsatt skal prøve med de tre alternative verdiene på regulatorforsterkning KK pp. Forskjellen er nå at vi skal se hva som skjer i to forskjellige nedoverbakker. Disse skal gi FF ff = 490 N og FF ff = 980 N. Fra før av har du regnet på FF ff = 0 flat mark. Sett opp en 3x3 tabell med reguleringsavvik for de tre alternativene for KK pp og de tre alternativene for FF ff. Vi oppnår kraftbalanse når FF uu + FF ff = CCvv 2. Regulatoren kommanderer en kraft FF uu = KK pp (vv ø vv), så vi kan sette opp ligningene Litt rydding gir annengradsligningen FF uu + FF ff = KK pp (vv ø vv) + FF ff = CCvv 2 CCvv 2 + KK pp vv KK pp vv ø FF ff = aavv 2 + bbbb + cc = 0 Dermed finner vi løsningen med den velkjente formelen Tabellen blir vv = bb ± bb2 4aaaa 2aa KK pp ± KK 2 pp + 4CC KK pp vv ø FF ff = 2CC FF ff KKKK N 30 m/s 2,3 m/s 1,2 m/s 490 N 17,2 m/s 1,9 m/s 1,0 m/s 980 N 11,9 m/s 1,5 m/s 0,8 m/s

5 Vi kommer nærmere ønsket verdi (altså mindre reguleringsavvik) jo større K p er. Forstyrrelsen (nedoverbakken) vil i dette tilfellet hjelpe oss. Vi kommer altså nærmere ønsket hastighet når denne øker. Dette er fordi trillehastigheten uten motorkraft er mindre enn ønsket hastighet, og økt motorkraft fører oss nærmere denne. Situasjonen blir annerledes om ønsket hastighet er lavere (enn 11,9) eller bakken er brattere. Del 4. Linearisering Oppgave 4.1. Linearisering er beskrevet i kap. 1.6 i læreboka. Kort fortalt starter man med først å uttrykke f. eks. variabelen xx som verdien i et arbeidspunkt, pluss en variasjon rundt dette. Altså som: xx(tt) = xx aa + xx På samme måte representerer man en funksjon av en variabel som ff(xx) = ff(xx aa + xx) ff(xx aa ) + (xx) xx xx=xx aa Vi skal bruke arbeidspunktet vv aa = 30 m/s, FF uuuu = 2700 N og FF ffff = 0. Dette er tallene fra oppgave 2.1. Lineariser ledd for ledd ligningen fra oppgave 3.1 rundt dette arbeidspunktet. Sett inn tall til slutt. Her gjentas ligningen fra oppgave 3.1: FF uu + FF ff = CCvv 2 Samme ligning må også gjelde i arbeidspunktet: FF uuuu + FF ffff = CCvv aa 2 Hvis vi vil uttrykke vv, FF uu og FF ff som små avvik fra arbeidspunktet kan vi definere vv = vv aa + ΔΔvv ; FF uu = FF uuuu + ΔΔFF uu ; FF ff = FF ffff + ΔΔFF ff En lineær modell for variasjonene rundt arbeidspunktet er (FF uuuu + ΔΔFF uu ) + FF ffff + ΔΔFF ff CCvv 2 aa + (CCvv2 ) ΔΔvv vv=vv aa Vi kan fjerne de tre leddene som tilsvarer ligningen i arbeidspunktet, og får ΔΔFF uu + ΔΔFF ff (CCvv2 ) ΔΔvv vv=vv aa Det eneste som gjenstår nå er å utføre partiellderivasjonen. Da blir uttrykket ΔΔFF uu + ΔΔFF ff 2CCCC aa ΔΔvv Defineres DD(vv aa ) 2CCvv aa blir dette ΔΔFF uu + ΔΔFF ff DD(vv aa )ΔΔvv = 180 kg/s ΔΔvv

6 Her vil DD(vv aa ) altså en konstant som varierer med arbeidspunktet. Dette er jo greit når arbeidspunktet holder seg i ro. Oppgave 4.2. Hva er vv og FF uu når ΔΔΔΔ = 3,7 m/s og ΔΔΔΔ uu = 100 N? vv = ΔΔΔΔ + vv aa = 33,7 m/s FF uu = ΔΔΔΔ uu + FF uuuu = 2600 N Del 5. Regulering av linearisert system Nå har vi linearisert systemet slik at det er beskrevet av to ligninger. Først er arbeidspunktet definert og i balanse ut fra det ikke-lineære systemet: FF uuuu + FF ffff = CCvv aa 2 Deretter er avvik fra dette definert i en lineær ligning: ΔΔFF uu + ΔΔFF ff DD(vv aa )ΔΔvv Vi skal igjen legge på en regulator. Tidligere har vi prøvd FF uu = KK pp (vv ø vv) Dette var ikke 100% vellykket. La oss i stedet prøve FF uu = KK pp (vv ø vv) + FF uuuu(bbbbbbbbbbbbbbbb) Her har vi altså tatt med den nominelle kraften som vi vet vi trenger i dette arbeidspunktet. Denne kraften kan splittes i perfekt verdi pluss beregningsfeil : Dette møbleres om til FF uu = KK pp (vv ø vv) + FF uuuu + FF uuuu(ffffffff) ΔΔFF uu (tt) = KK pp (ΔΔvv ø ΔΔΔΔ) + FF uuuu(ffffffff) forutsatt samme arbeidspunkt for vv ø og vv. Dette innsatt i den lineariserte prosessligningen gir KK pp (ΔΔvv ø ΔΔΔΔ) + FF uuuu(ffffffff) + ΔΔFF ff DD(vv aa )ΔΔvv Oppgave 5.1. Sammenfatt med egne ord hva som ligger bak denne ligningen. Fortell også om evt. forenklinger eller spesielle antagelser du legger merke til. Bruk gjerne fantasien eller egen erfaring. Trenger vi egentlig ta med beregningsfeilen? Ikke let etter svaret i boka. Skriv heller hva du selv mener ut fra det som er oppgitt ovenfor. Alle leddene kan sies å representer avvik fra et arbeidspunkt. Kreftene på venstre side er motorkraft, en beregningsfeil og en kraft fra en ekstern forstyrrelse. På høyre side friksjonskrefter tilsvarende hovedsakelig luftmotstand. Den viktigste forenklingen er at leddet på høyre side er linearisert om et arbeidspunkt. Det er tidligere nevnt at den kvadratiske funksjonen vi brukte var en forenkling i seg selv. Feil pga. dette kan man si er tatt opp i leddet som representerer beregningsfeil.

7 Beregningsfeilen ser vi kommer inn i ligningen på akkurat samme måte som forstyrrelsen. Både forstyrrelser og feil er å betrakte som ukjente størrelser. Denne gangen er det nok bare å registrere at beregningsfeil kommer inn i ligningen på samme måte som de andre forstyrrelsene. Dette trenger ikke alltid være tilfelle. Oppgave 5.2. Vi fortsetter med samme ligning, bruker arbeidspunktet fra del 4 med KK pp = Sett opp uttrykket for reguleringsavviket ee = vv ø vv som funksjon av arbeidspunkt, forstyrrelser, beregningsfeil og endringer i ønsket hastighet. Sett inn tall til slutt. Uttrykket kan skrives KK pp (ΔΔvv ø ΔΔΔΔ) + FF uuuu(ffffffff) + ΔΔFF ff (tt) DD(vv aa )(ΔΔvv ø ΔΔΔΔ) + DD(vv aa )ΔΔvv ø Innsetting av reguleringsavvik gir ee Tall innsatt gir KK pp ee + FF uuuu(ffffffff) + ΔΔFF ff (tt) DD(vv aa )ee + DD(vv aa )ΔΔvv ø KK pp ee + DD(vv aa )ee DD(vv aa )ΔΔvv ø FF uuuu(ffffffff) ΔΔFF ff (tt) DD(vv aa) KK pp + DD(vv aa ) ΔΔvv ø 1 KK pp + DD(vv aa ) FF uuuu(ffffffff) 1 KK pp + DD(vv aa ) ΔΔFF ff(tt) ee 0,15 ΔΔvv ø 0,00085 m/sn ΔΔFF uuuu(ffffffff) 0,00085 m/sn ΔΔFF ff (tt) Som nevnt er det ikke så viktig å eksplisitt ta med beregningsfeil siden den kommer inn på samme måte som de andre forstyrrelsene. Derfor kan vi forenkle til ee DD(vv aa) KK pp + DD(vv aa ) ΔΔvv 1 ø KK pp + DD(vv aa ) ΔΔFF ff(tt)