Del 1. ACC adaptiv cruisekontroll

Transkript

1 Inst. for teknisk kybernetikk Fag TELE2001 Reguleringsteknikk Ekstra øving 4, løsningsforslag Revidert sist Fredrik Dessen Del 1. ACC adaptiv cruisekontroll Cruisekontroll har eksistert lenge. Nyere på området hastighetsregulering av bil er ACC, som står for adaptive cruise control. Slike systemer måler i tillegg avstanden til bilen foran, og tilpasser hastigheten deretter. Ordet adaptiv i denne sammenhengen kommer av at hastigheten tilpasses bilen foran. I reguleringsteknikken brukes dette ordet om noe helt annet: Regulatorer som hele tiden tilpasser sine forsterkninger og tidskonstanter etter registrerte endringer i prosessen. Vi skal se på et system hvor avstanden til bilen foran reguleres. Anta samme dynamiske modell som i forrige øving. Den lineariserte utgaven av denne er: mmδδvv(tt) = ΔΔFF uu (tt) + ΔΔFF ff (tt) 2CCCC aa ΔΔvv(tt) Her er som før CC = 3 kg/m, vv aa = 30 m/s og mm = 1000 kg. Hastigheten reguleres også som før, med en regulator ΔΔFF uu (tt) = KK pp (ΔΔvv ø (tt) ΔΔΔΔ(tt)) Her er KK pp = 2000 Ns/m. Totalt får vi den dynamiske ligningen mmδδvv(tt) = KK pp ΔΔΔΔ ø (tt) + ΔΔFF ff (tt) (KK pp + 2CCCC aa )ΔΔvv(tt) Oppgave 1.1. Følgende ble besvart allerede i øving 1, så det er kun snakk om å skrive opp svaret: For hånd: Sett opp den Laplace-transformerte av ligningen over. Sett også opp overføringsfunksjonen fra ønsket til virkelig hastighet. Direkte fra forrige øving: Av dette ser vi at ΔΔvv(ss) = KK ppδδδδ ø (ss) + ΔΔFF ff (ss) + mmmmmm(tt = 0) mmmm + KK pp + 2CCCC aa h vvø vv(ss) ΔΔvv(ss) ΔΔΔΔ ø (ss) = KK pp = mmmm + KK pp + 2CCCC aa 1 + KK pp KK pp + 2CCCC aa mm ss = KK 1 + TTTT KK pp + 2CCCC aa Det siste uttrykket er tatt med som hjelp til neste oppgave, pluss senere opptegning. Matlab: Lag en overføringsfunksjon i Matlab ved hjelp av funksjonen tf. Følgende script er laget en gang for alle: % Script Ov1_11 % Alle konstantverdier C = 3; m = 1000;

2 Ekstra øving 4, løsningsforslag Side 2 va = 30; Kp = 2000; K = Kp/(Kp + 2*C*va); T = m/(kp + 2*C*va); % Alternativ 1 s = tf('s'); of11 = K/(1 + T*s); display(of11); % Alternativ 2 of11 = tf([k], [T 1]); display(of11); Dette er utskriften i kommandovinduet: >> Ov1_11 of11 = s + 1 Continuous-time transfer function. of11 = s + 1 Continuous-time transfer function. Oppgave 1.2. Egentlig er det avstanden til bilen foran som skal reguleres, men foreløpig ser vi bare på den dynamiske ligningen som beskriver sammenhengen mellom hastighet og posisjon. Den er svært enkel: xx(tt) = vv(tt) Her er x(t) posisjonen til egen bil, mens v(t) er hastigheten. Oppgaven er like enkel: For hånd: Forklar ligningen. Sett opp den Laplace-transformerte, og sett opp overføringsfunksjonen fra v(s) til x(s). Den Laplace-transformerte ligningen er Overføringsfunksjonen blir ssss(ss) + ss(tt = 0) = vv(ss) xx(ss) vv(ss) = 1 ss Matlab: Lag overføringsfunksjonen i Matlab. Kommando og utskrift i kommandovinduet >> of12 = 1/s of12 = 1 -

3 Ekstra øving 4, løsningsforslag Side 3 s Continuous-time transfer function. Oppgave 1.3. Vi jobber fortsatt rundt et arbeidspunkt va. For denne hastigheten kan vi skrive: xx aa (tt) = vv aa (tt) Siden va er konstant blir xa lineært økende. Dette stemmer jo med at bilen kommer stadig lenger fram når man kjører med konstant hastighet. Tenk på dette arbeidspunktet som en slags Skybert-bil som beveger seg helt jevnt, mens den virkelige bilen kan variere litt fra dette. En annen måte å tenke på er at dette er idealbilen som akkurat følger fartsgrensen på en strekningsmåling. Kommer du foran denne bilen vanker det gebyr. For hånd: Sett opp den fulle overføringsfunksjonen fra ønsket hastighet til virkelig posisjon for det lineariserte systemet. Dette er jo bare produktet av de to overføringsfunksjonene. h vvø xx(ss) ΔΔxx(ss) ΔΔΔΔ ø (ss) = ΔΔxx(ss) ΔΔvv(ss) ΔΔvv(ss) ΔΔΔΔ ø (ss) = KK pp KK pp + 2CCCC aa = mm ss 1 + ss KK pp + 2CCCC aa KK ss(1 + TTTT) Matlab: Beregn overføringsfunksjonen i Matlab ved å multiplisere de to forrige. Dette scriptet forutsetter at oppgave 1.1 er kjørt først: % Script Ov1_13 % Skal kjøres direkte etter Ov1_11.m of13 = of11/s; display(of13); Dette er utskriften i kommandovinduet: >> Ov1_13 of13 = s^2 + s Continuous-time transfer function. Del 2. Bode-plott av overføringsfunksjoner Du har nå 3 overføringsfunksjoner fra del 1, inkludert alle numeriske verdier. Oppgave 2.1. For hånd: Tegn opp Bode-plott av overføringsfunksjonene fra oppgave 1.1 og 1.2 i samme Bode-diagram. Opptegninger i svart vedlegg 1. I tillegg har jeg tatt med asymptoter i rødt. Faser er stiplet.

4 Ekstra øving 4, løsningsforslag Side 4 Matlab: Tegn overføringsfunksjonene i Matlab ved hjelp av funksjonen bode eller bodeplot. Resultatet av å kjøre kommandoen >> bode(of11, 1/s); er vist i vedlegg 2. Dette plottet har samme kvaliteter som den «håndtegnede» figuren, men er ikke skalert på ideell måte. Frivillig Matlab: Finn ut hvordan du ved hjelp av funksjonen bodeplot kan lage separate figurer for amplitude og fase. Dette står på manualsidene. Følgende kode viser bare amplitudeplottet, og i en større figur: >> h = bodeplot(of11, 1/s); >> setoptions(h,'phasevisible','off'); Oppgave 2.2. Med utgangspunkt i opptegningen fra forrige oppgave: For hånd: Tegn i samme Bode-diagram den fulle overføringsfunksjonen fra motorkraft til posisjon. Sammenlign tegningen med svaret på oppgave 1.3. Opptegninger i blått vedlegg 1. I tillegg har jeg tatt med asymptoter i rødt. Fase er stiplet i blått. Sammenligning: Svaret i oppgave 1.3, innsatt ss = jjjj er KK h vvø xx(jjjj) = jjjj(1 + jjjjjj) Ved lave frekvenser får vi lim h vv ωω 0 ø xx(jjjj) = KK jjjj Absoluttverdien av asymptoten får en stigning på -1, og verdien K = 0,92 = db ved ωω = 1. Fasen går mot -90º ved lave frekvenser siden arg(1/j) = -arg(j) = -90º. Dette stemmer med figuren. Ved høye frekvenser får vi lim h vv ωω ø xx(jjjj) = KK ωω 2 TT Absoluttverdien av asymptoten får en stigning på -2, og verdien K/T = 2 = 6dB ved ωω = 1, evt. K/T = 2/100 = -34dB ved ωω = 10. Fasen er et negativt, reelt tall ved høye frekvenser. Da er fasen -180º. Dette stemmer med figuren. Matlab: Tegn overføringsfunksjonen i Matlab ved hjelp av funksjonen bode eller bodeplot, gjerne et separat diagram. Resultatet av å kjøre kommandoen >> bode(of13);

5 Ekstra øving 4, løsningsforslag Side 5 er vist i vedlegg 3. Dette plottet har samme kvaliteter som den «håndtegnede» figuren, men er ikke skalert på ideell måte. Hvis du sammenligner vedlegg 2 og vedlegg 3 er det vanskelig ved første øyekast å se at overføringsfunksjonene i vedlegg 1 har stigning -1 ved høye frekvenser, mens overføringsfunksjonene i vedlegg 1 har stigning -2. Vi må studere db-skalaene for å avgjøre dette. Faseplottene ser helt like ut. Eneste forskjellen er grade-skalaen. Del 3. ACC legg på sensordynamikk Vi skal ved en senere anledning regulere bilens posisjon i forhold til bilen foran. For å få til dette monteres en radar i fronten. Denne måler avstanden til bilen foran. Radarmålinger er som regel befengt med en del støy. Sensoren kan f. eks. plukke opp ekko fra andre biler i køen, samt objekter i nærheten. Målingen glattes derfor gjennom et lavpassfilter, slik at vi kan skrive: 1 yy(ss) = 1 + TT ff ss xx(ss) For enkelhets skyld kaller vi dette foreløpig for en posisjonsmåling. Her er yy(ss) måleverdien som vi får presentert, mens xx(ss) er bilens faktiske posisjon. TT ff er tidskonstanten til lavpassfilteret, og vi antar Oppgave 3.1. TT ff = 0,5 sek For hånd: Sett opp Bode-plott av lavpassfilteret i et eget diagram. Tegningen er vist i vedlegg 5. Vi får et knekkpunkt ved frekvensen 1/TT ff = 2. Amplituden ved lave frekvenser er 1 = 0 db, og ved høye frekvenser har amplituden en stigning -1, og nærmer seg 1/ωωωω ff, mens fasen går mot -90 grader. Matlab: Beregn overføringsfunksjonen i Matlab, og plott den ved hjelp av funksjonen bode eller bodeplot. Dette kan se slik ut i Matlab: >> sensor = 1/(1+0.5*s) s + 1 Continuous-time transfer function. >> bode(sensor); Plottet er vist i vedlegg 6, og skiller seg lite fra de tidligere Matlab-plottene.

6 Ekstra øving 4, løsningsforslag Side 6 Oppgave 3.2. For hånd: Ta med resultatet fra oppgave 2.2, og tegn Bode-plottet for overføringsfunksjonen fra ønsket hastighet og helt til måleverdi. Dette er vist i vedlegg 8. Her er resultatet fra oppgave 3.1 vist i blått og resultatet fra 2.2 vist i grønt. Sluttresultatet er i svart. Det samme er markeringene av db- og gradeskala. Asymptotene for sluttresultatet er også tatt med. Som man ser er de to knekkpunktene svært nær hverandre. Dette skjer jo av og til. Matlab: Beregn overføringsfunksjonen i Matlab, og plott den ved hjelp av funksjonen bode eller bodeplot. Dette kan se slik ut i Matlab: >> of32 = sensor*of13 of32 = s^ s^2 + s Continuous-time transfer function. >> bode(of32) Plottet er vist i vedlegg 9, og skiller seg lite fra de tidligere Matlab-plottene, spesielt vedlegg 3. Del 4. ACC finne sprangrespons Gå tilbake til oppgave 1.3, hvor du fant overføringsfunksjonen fra ønsket hastighet til virkelig posisjon for bilen. Nå skal du se på sprangresponsen. Albert Åberg kjører side om side med Skybert. De sitter i hver i sin bil. Til å begynne med har begge bilene en hastighet på 30 m/s, tilsvarende arbeidspunktet va fra øving 2. Ved tiden t = 0 endrer Albert ønsket hastighet fra 30 til 35 m/s, mens Skybert fortsetter som før. Du skal studere forskjellen i posisjon mellom de to bilene. Oppgave 4.1. Her skal du skrive svaret først. Bruk gjerne relevant familiealbum. Først i neste oppgave skal du vise hvordan man kommer fram til dette svaret. Uttrykk Alberts posisjon i forhold til Skybert som en funksjon av tid. Skriv opp bokstavuttrykk, og sett til slutt inn tall. I løsningsforslaget til øving 2 finner vi overføringsfunksjonen h vvø xx(ss) ΔΔxx(ss) ΔΔΔΔ ø (ss) = ΔΔxx(ss) ΔΔvv(ss) ΔΔvv(ss) ΔΔΔΔ ø (ss) = KK pp KK pp + 2CCCC aa = mm ss 1 + ss KK pp + 2CCCC aa KK ss(1 + TTTT) Her er det snakk om avviksvariable, altså avvik fra arbeidspunktet. I denne oppgaven representerer Skybert arbeidspunktet, så forskjellen mellom bilene er direkte

7 Ekstra øving 4, løsningsforslag Side 7 representert av uttrykket over. Laplace-transformert sprangrespons finnes ved å multiplisere med spranget i ønsket hastighet: xx(ss) = h vvø xx(ss)vv ø (ss) = KK ss(1 + TTTT) vv ø ss Dette gjenkjenner vi fra forelesningsnotatene som første ordens prosess og integrator, men uten transportforsinkelse. Sprangrespons som funksjon av tid blir: xx(tt) = KK vv ø tt TT 1 ee tt TT = KK vv ø tt TT + TTTT tt TT Her kan vil sette inn K = 0,9174, T = 0,4587 og vø = 5, og K vø T = 2,1. Oppgave 4.2. Vis ved hjelp av invers Laplace-transformasjon hvordan man kommer fram til svaret i forrige oppgave. Du kan velge å sette inn tall før eller etter inverstransformasjonen. Det Laplace-transformerte spranget kan skrives som en sum av delbrøker: KK vv ø ss 2 (1 + TTTT) = AA ss + BB ss 2 + CC AAss(1 + TTTT) + BB(1 + TTTT) + CCss2 = 1 + TTTT ss 2 (1 + TTTT) Vi ser kun på tellerne på høyre og venstre side. Innsatt s = 0: Innsatt s = -1/T: KK vv ø = BB BB = KK vv ø KK vv ø = CC TT 2 CC = TT2 KK vv ø Vi må bruke en annen teknikk for å finne A. Siden likheten skal holde for alle s kan det ikke være noen ledd som er av første eller annen grad i s. Begge disse fører fram: AAAA + BBBBBB = 0 AA + BBBB = 0 AA = BBBB = TTTT vv ø Dermed: AAAAss 2 + CCss 2 = 0 AAAA + CC = 0 AA = CC TT = TTTT vv ø xx(ss) = KK vv ø TT ss + 1 ss 2 + TT2 1 + TTTT = KK vv ø TT ss + 1 ss 2 + TT ss + 1 TT Dette kan sammenlignes med transformasjonspar nr. 3, 4 og 8 i transformasjonstabell 2 forrest i læreboka. Tilbake i den virkelige verden får vi dermed xx(tt) = KK vv ø TT + tt + TTee tt TT = KK vv ø tt TT 1 ee tt TT Dette er samme uttrykket som i forrige oppgave.

8 Ekstra øving 4, løsningsforslag Side 8 Oppgave 4.3. Her skal du først bruke manuelle metoder. Disponer også tidsskalaen bra, slik at den tilsvarer et passe antall (3 til 5) tidskonstanter. Tegn opp for hånd hvordan posisjonsdifferensen utvikler seg over tid. Tegningen er vist nedenfor. Det er greit å starte med å tegne funksjonen xx 1 (tt) = KK vv ø (tt TT) Deretter tegnes funksjonen xx 2 (tt) = KK vv ø TTee tt TT Denne kan adderes direkte til linjen. De to funksjonene balanserer slik at summen starter i x = 0, med derivert lik null. Eksponentialfunksjonen reduseres med faktoren 0,37 for hver tidskonstant bortover. Det går an å konstruere tangenter som indikert. Lag samme sprangrespons i Matlab eller Simulink. Sammenlign.

9 Ekstra øving 4, løsningsforslag Side 9 K = ; T = ; dv = 5; of23 = tf(k, [T 1 0]); stepplot(of23*dv, [0:0.1:1.5]); Selve utskriften er ikke tatt med. Du vil se at den blir likedan. Ekstra ekstraoppgave: Skriv ut kurven. Prøv å gjøre det motsatte; altså, finn K og T ut fra sprangresponsen og sammenlign med utgangspunktet.

10 Vedlegg 1

11 Vedlegg 2

12 Vedlegg 3

13 Vedlegg 5

14 Vedlegg 6

15 Vedlegg 8

16 Vedlegg 9