Eksamensoppgave i TELE2001 Reguleringsteknikk

Transkript

1 Institutt for teknisk kybernetikk Løsningsforslag Eksamensoppgave i TELE2001 Reguleringsteknikk Faglig kontakt under eksamen: Fredrik Dessen Tlf.: Eksamensdato: 13. desember 2017 Eksamenstid (fra-til): 09:00 til 14:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler: Hjelpemiddelkode C Kalkulator av type Casio fx-82es PLUS, Casio fx-82ex, Citizen SR-270X, Citizen SR-270X College eller Hewlett Packard HP30S Læreboka «Reguleringsteknikk» av Bjørvik og Hveem i original innbinding. Håndskrevne notater på sidene i boka er tillatt. Bokmerker uten tekst er tillatt Tegne- og skrivesaker Annen informasjon: Oppgaveteksten kan beholdes av studenter som sitter eksamenstiden ut Målform/språk: Bokmål Antall sider (uten forside): 5 Antall sider vedlegg: 6 Informasjon om trykking av eksamensoppgave Utskrift i virkelig størrelse 1-sidig 2-sidig sort/hvit farger skal ha flervalgskjema Dato Kontrollert av: Sign Merk! Studenter finner sensur i Studentweb. Har du spørsmål om din sensur må du kontakte instituttet ditt. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike spørsmål.

2 Eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk desember 2017 LF Side 1 Innledning Prosessen du skal jobbe med er skissert i figuren nedenfor. Det dreier seg om en løpekatt. Dette kan sies å være en vogn som beveger seg langs en skinne, og er beregnet på å flytte hengende last horisontalt. Selve løpekatten er beskrevet av massen mm 1, og posisjonen dens benevnes xx 1. Massen til den hengende lasten betegnes mm 2, og posisjonen dens xx 2.Første halvdelen av oppgavesettet omhandler enkeltkomponenter, mens siste halvdel tar for seg hele prosessen. x m 1 φ F 1 L m 2 F 2 Noen tips før du starter: Se over oppgavesettet før du begynner arbeidet, og disponer tiden. Dersom noe virker uklart skal du gjøre dine egne antagelser og forklare dette i besvarelsen. Husk likevel at du også blir vurdert etter fornuften i antagelsene. Alle svar skal begrunnes. Fortell kort hva du gjør og hvorfor du gjør det. Lag gjerne påføringer i vedleggene. Riv vedleggene ut og legg dem ved svaret. Del 1. Løpekatt (23%) I denne oppgavedelen skal vi se på løpekatten, altså den vognen som går langs skinnen øverst. Det er foreløpig ikke hengt på noen last. Oppgave 1.1. (6%) Vedlegg 1 viser frekvensresponsen fra motorpådrag til hastighet. La oss kalle denne hastigheten zz 1. Pådraget vil være lik motorkraften FF 1. Bruk informasjonen i vedlegg 1 til å bestemme overføringsfunksjonen fra pådrag til hastighet for løpekatten. Påføringer i rødt. Vi har en amplituderespons som er konstant -35,5 db ved lave frekvenser, og faller med 20 db per dekade ved høye frekvenser. KK 1 0,0167. Fasen går fra konstant 0 ved lave frekvenser til 90 ved høye. Dette tyder på et første ordens system uten forsinkelse. Amplitude-asymptotene ser ut til å møtes ved ωω 0,6. Tidskonstant TT 1 1,6667. Dette bekreftes av at ved samme frekvens har amplituden falt med 3 db, og fasen til 45. Altså zz 1 (ss) FF 1 (ss) KK TT 1 ss

3 Eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk desember 2017 LF Side 2 Oppgave 1.2. (6%) Denne oppgaven baserer seg litt på den forrige, men ikke mer enn at det bør gå greit. Hva er overføringsfunksjonen fra hastighet zz 1 til posisjon xx 1? Finn også overføringsfunksjonen fra pådrag FF 1 til posisjon xx 1. Overføringsfunksjonen fra hastighet til posisjon er en ren integrasjon med integrasjonstid 1, altså xx 1 (ss) zz 1 (ss) 1 ss Overføringsfunksjonen fra pådrag til posisjon blir produktet av de to: xx 1 (ss) FF 1 (ss) KK 1 ss(1 + TT 1 ss) De to konstantene blir de samme som i forrige oppgave. Oppgave 1.3. (6%) Se vedlegg 1. Lag påføringer i samme vedlegg. Svaret trenger ikke baseres på noe av det foregående. Tegn inn frekvensresponsen til overføringsfunksjonen fra hastighet zz 1 til posisjon xx 1. Tegn også inn overføringsfunksjonen fra pådrag FF 1 til posisjon xx 1. Forklar hvordan du går fram. Første overføringsfunksjon er en ren integrator. Påføringer i grønt. Stigning -1 og går gjennom 0 db ved frekvens 1. Konstant 90 fase. Andre overføringsfunksjon er seriekoblingen av de to. Påføringer i blått. Vi summerer db-verdier og faseverdier. I praksis er det asymptotene som er summert. For amplituden er -3 db-punkt og tangent funnet før kurven er tegnet inn for hånd. For fasen er det rett og slett trukket fra 90 ved å si at den opprinnelige 0 -linjen er 90 for denne funksjonen. Oppgave 1.4. (5%) Baser denne gangen svaret på resultatet fra oppgave 1.2. Skisser sprangresponsen for overføringsfunksjonen fra pådrag FF 1 til posisjon xx 1. Bruk vanlige ruteark til dette. Tegn hjelpelinjer som forklarer fremgangsmåten din. Se eget ark. For opptegningen sin del må vi identifisere KK 1 og TT 1. Vi lager et knekkpunkt ved tt TT 1, og trekker en tangent derfra med stigning KK 1. Trekker også en tangent fra origo med samme stigning. Det er tegnet inn 37%-punkter for hver tidskonstant, og tangenten i disse punktene er konstruert. Selve responsen i rødt. Del 2. Regulering av løpekatt (25%) Vi skal fortsatt se på løpekatten uten last, og ønsker å finne en passende regulator til denne. I denne oppgavedelen skal du bruke en litt annen prosessmodell enn den du kom fram til i forrige oppgavedel: Anta nå at

4 Eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk desember 2017 LF Side 3 xx 1 (ss) FF 1 (ss) KK 1 ss(1 + TT 1 ss + TT 2 2 ss 2 ) Hvis du vil kan du sette inn KK 1 0,01429; TT 1 1,354 og TT 2 2 0,4571. Du trenger ikke sette inn tall for å oppnå full poengsum. Oppgave 2.1. (5%) Som vanlig bør du starte med å skissere reguleringssystemet. Her skal regulator, prosess, forstyrrelse, pådrag, posisjon og ønsket posisjon komme klart fram. Det kan være lurt å skrive inn uttrykket for prosessen. Regulatoren er foreløpig ikke kjent. Lag en skisse av det regulerte systemet. Ta også med en forstyrrende kraft FF xx som angriper i samme punkt som pådraget FF 1. Ønsket posisjon rr, virkelig posisjon xx 1 og reguleringsavvik ee som er differensen mellom disse. Pådrag FF 1, forstyrrelse FF xx. Pådrag og forstyrrelse gir til sammen kraften som beveger løpekatten. Oppgave 2.2. (5%) Prosessen skal reguleres med en ren proporsjonalregulator med forsterkning KK pp. Finn overføringsfunksjonen fra ønsket til virkelig posisjon i det regulerte systemet. Svaret skal presenteres som en brøk med polynom i teller og nevner. Den åpne sløyfens overføringsfunksjon blir KK pp KK 1 h 0 (ss) ss(1 + TT 1 ss + TT 2 ss 2 ) tt 0(ss) nn 0 (ss) Overføringsfunksjonen fra ønsket til virkelig posisjon kalles følgeforholdet: h rrxx1 (rrrrrr)(ss) h 0(ss) 1 + h 0 (ss) tt 0 (ss) tt 0 (ss) + nn 0 (ss) KK pp KK 1 KK pp KK 1 + ss(1 + TT 1 ss + TT 2 2 ss 2 ) Dette er tilstrekkelig, siden både teller og nevner er å betrakte som polynomer. Her er et alternativ på det jeg liker å kalle standard form: 1 h rrxx1 (rrrrrr)(ss) ss + TT 1 ss KK pp KK 1 KK pp KK 2 + TT 2 2 ss 1 KK pp KK 3 1

5 Eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk desember 2017 LF Side 4 Oppgave 2.3. (5%) Anta samme proporsjonalregulator som i forrige oppgave. Svaret skal også her presenteres som en brøk med polynom i teller og nevner. Finn overføringsfunksjonen fra forstyrrelse FF xx til posisjon xx 1. Overføringsfunksjonen fra forstyrrelse til posisjon finnes av tilbakekoblingsregelen h FFxx xx 1 (rrrrrr)(ss) h FF xx xx 1 (ss) 1 + h 0 (ss) h 0(ss)/KK pp 1 + h 0 (ss) KK 1 KK pp KK 1 + ss(1 + TT 1 ss + TT 2 2 ss 2 ) Oppgave 2.4. (5%) Vedlegg 2 viser et Bode-plott av overføringsfunksjonen fra pådrag til posisjon som vi har jobbet med i denne oppgavedelen. Finn kritisk forsterkning KK kk. Finn den proporsjonalforsterkningen KK pp som gir 45 fasemargin. Finn tilsvarende forsterkningsmargin. Få med ωω 180 og ωω cc på rett plass der hvor disse er aktuelle. Se påtegninger i vedlegg 3. Rødt for første del. KK kk 46,7 db 216. Påtegninger i grønt for andre del. KK pp 34 db 50; ΔKK 12,5 db; ωω 180 1,48 og ωω cc 0,6. Oppgave 2.5. (5%) Vedlegg 3 viser en utskrift av et Matlab kommandovindu. Noen har fått beskjed om å sjekke om svarene fra forrige oppgave kan stemme. Hvis du ikke fikk til forrige oppgave kan du i stedet forsøke så godt du kan å finne KK kk, KK pp, ωω 180 og ωω cc. Hvor godt stemmer det du ser her med informasjon og resultater fra forrige oppgave? Kommenter både samsvar og manglende samsvar. Se også på dempning. Det vi ser i utskriften er røttene av det karakteristiske polynomet for forskjellige verdier av proporsjonalforsterkningen. Disse (polene) ligger i venstre halvplan opp til KK pp 200. For høyere verdier havner et komplekskonjugert par i høyre halvplan. Grensen ser ut til å gå ved KK pp 210, så det kan stemme bra at KK kk 216. Imaginærdelene av disse polene ser da ut til å være ββ 1,48. Dette stemmer på en prikk med ωω 180. For KK pp 50 får vi αα 0,3272 og ββ 0,7552, dermed ωω 0 αα 2 + ββ 2 0,8230 Disse tallene stemmer bare omtrent med ωω cc, men det er ingen lov som sier at vi skal få full treff her. Relativ dempning: ζζ αα/ωω 0 0,3976 I følge tabellen i kap i boka ligger vi da mellom responstypene minimum areal og minimum forstyrrelse. Nærmest den første. I følge fig. 8.2 passer Δφφ 45 og ΔKK 12,5 db best med minimum forstyrrelse. Dette stemmer jo heller ikke helt, men er så bra som en kan vente. Den regulerte prosessen vil ha ørlite bedre dempning enn de komplekskonjugerte polene tilsier pga. den reelle polen.

6 Eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk desember 2017 LF Side 5 Del 3. Hengende last (25%) Her skal vi se på den hengende lasten isolert. Når denne undersøkes, låses løpekatten i en fast posisjon. Vi kan gjerne se på denne konfigurasjonen som en enkel pendel. Oppgave 3.1. (5%) Det er utført et eksperiment hvor lasten er trukket ut til siden og sluppet. Selv om løpekatten er låst fast kan resultatet fra eksperimentet brukes i denne oppgaven. Bruk informasjonen i figur V4.1 i vedlegg 4 til å bestemme overføringsfunksjonen fra xx 1 til xx 2. Lag tydelige påføringer i figuren for å vise størrelsene du henter derfra. Opptegninger i rødt i figur V4.1. Responsen starter med en gang, så ingen forsinkelse. Vi får en respons som stabiliserer seg på en fast verdi etter et oscillerende innsvingningsforløp. Dermed overføringsfunksjonen KK h(ss) 1 + 2ζζ ss + ss 2 ωω 0 ωω 0 Ut fra viste oppmålinger og formler i læreboka får vi overføringsfunksjonen Oppgave 3.2. (5%) KK 1 ; ωω 0 2,2 ; ζζ 0,226 Blokkdiagram av den hengende lasten er vist i figur V4.2 i vedlegg 4. Forklar kort hva man formelt gjør for å lage en Laplace-transformert utgave av dette blokkdiagrammet. Hvorfor må dette gjøres før man kan utføre neste oppgave? Kort fortalt foretar man Laplace-transformasjon ved å erstatte derivasjon i tid med multiplikasjon med s. I praksis vil man erstatte integrasjonsblokkene i diagrammet med multiplikasjon med 1/s. I tillegg erstattes (eksplisitt eller implisitt) alle variable som er funksjoner av tid med Laplace-transformerte variable som er funksjoner av s. Hele hensikten med Laplace-transformasjon er å gjøre det mulig å løse eller analysere lineære differensialligninger ved hjelp av algebraiske manipulasjoner. Reduksjon av blokkdiagrammer tilsvarer 1:1 algebraiske manipulasjoner. Oppgave 3.3. (5%) Reduser blokkdiagrammet i figur V4.2 til formen i figur V4.3. Overføringsfunksjonene skal presenteres på standard form. Den første finner vi lett med reduksjon av seriekobling: h aa1 (ss) mm 2gg LL Den andre består av en reduksjon av tilbakekobling, satt i serie med en integrator:

7 Eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk desember 2017 LF Side 6 Oppgave 3.4. (5%) h aa2 (ss) 1 1 ss mm 2 ss mm 2 ss mm 2dd 2 ss 1 LL 2 mm 2 ss + mm 2dd 2 LL 2 LL 2 mm 2 dd 2 ss 1 + LL2 dd 2 ss Her skal du finne 4 overføringsfunksjoner, kun basert på informasjonen i figur V4.3 i vedlegg 4. Svarene skal altså inneholde h aa1 (ss) og h aa2 (ss) ikke detaljerte uttrykk. Sett opp uttrykk for overføringsfunksjonene fra xx 1 til xx 2, fra FF 2 til xx 2, fra xx 1 til FF xx og fra FF 2 til FF xx altså fire overføringsfunksjoner. Svarene finnes enkelt med tilbakekoblingsregelen: h xx1 xx 2 (ss) h aa1(ss)h aa2 (ss) 1 + h aa1 (ss)h aa2 (ss) ; h h aa2 (ss) FF 2 xx 2 (ss) 1 + h aa1 (ss)h aa2 (ss) h aa1 (ss) h xx1 FF xx (ss) 1 + h aa1 (ss)h aa2 (ss) ; h FF 2 FF xx (ss) h aa1(ss)h aa2 (ss) 1 + h aa1 (ss)h aa2 (ss) Oppgave 3.5. (5%) Her kan du basere svarene på det du gjorde i de to foregående oppgavene. Teksten refererer kun til figur V4.2, så det er også mulig å løse oppgaven isolert. Sett opp detaljerte uttrykk for overføringsfunksjonene fra xx 1 til xx 2, fra FF 2 til xx 2, fra xx 1 til FF xx og fra FF 2 til FF xx kun basert på informasjonen i figur V4.2. Overføringsfunksjonene skal presenteres på standard form. Setter inn uttrykkene fra oppgave 3.4, men før det bruker jeg et øyeblikk på å dele opp overføringsfunksjonene i teller og nevner. Dette er strengt tatt ikke nødvendig, men jeg meg for noe arbeid: h xx1 xx 2 (ss) h FF2 xx 2 (ss) h xx1 FF xx (ss) h aa1h aa2 1 + h aa1 h aa2 h aa2 1 + h aa1 h aa2 h aa1 1 + h aa1 h aa2 h FF2 FF xx (ss) tt 1 tt 2 tt 1 tt 2 + nn 1 nn 2 tt 2 nn 1 tt 1 tt 2 + nn 1 nn 2 tt 1 nn 2 tt 1 tt 2 + nn 1 nn 2 h aa1h aa2 1 + h aa1 h aa2 gggg dd 2 gggg dd 2 + ss + LL2 dd 2 ss 2 tt 1 tt 2 nn 1 tt 1 tt 1 tt 2 + nn 1 nn dd 2 gggg ss + LL gg ss2 LL mm 2 gg 1 + dd 2 gggg ss + LL gg ss2 nn tt 1 tt 2 2 ss 1 + LL2 ss mm 2dd 2 tt 2 dd 2 LL 2 tt 1 tt 2 + nn 1 nn dd 2 gggg ss + LL gg ss dd 2 gggg ss + LL gg ss2

8 Eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk desember 2017 LF Side 7 Del 4. Løpekatt med last (27%) Vi skal nå slippe fri løpekatten. Ikke helt, for den skal fortsatt styres som i del 2. Forskjellen er at nå henger det på en last. Oppgave 4.1. (5%) Du utviklet noen overføringsfunksjoner i del 2 og 3: For den regulerte løpekatten h rrxx1 (rrrrrr)(ss) og h FFxx xx 1 (rrrrrr)(ss), og for den uregulerte lasten, bla. h xx1 xx 2 (ss) og h xx1 FF xx (ss). Disse er koblet sammen i figuren nedenfor. Forklar figuren. Forklar spesielt hva størrelsen FF xx representerer. Forklar årsaken til at tilbakekoblingen via FF xx i noen tilfeller kan neglisjeres. Presiser hva som bevisst kan gjøres for å oppnå dette. Figuren representerer ikke den naturlige signalgangen i systemet, men hvordan 4 spesifikke overføringsfunksjoner settes sammen for å stemme med systemet. De to blokkene for løpekatten inneholder en del felles elementer. Det samme gjør de to blokkene for pendelen. Slik systemet er tegnet viser ekstrasløyfen fra xx 1 og tilbake til seg selv hvordan bevegelsen av løpekatten genererer en kraft motkraft, og hvordan denne motkraften påvirker løpekatten. Vi ser av figur V4.2 at FF xx mm 2 gg φφ. GG mm 2 gg er tyngdekraften på lasten mm 2. FF xx må være en komponent av denne kraften. Siden den øker med vinkelen er det naturlig å tro at det dreier seg om horisontalkomponenten av kraften langs snoren som lasten henger i. Dette bekreftes av at de to kreftene som virker horisontalt er FF xx og FF 2, som til sammen akselererer mm 2 horisontalt kun bremset av en dempning. Løpekatten er regulert. Ett av formålene til en regulator er å undertrykke forstyrrelser. I figuren ser vi at FF xx kommer inn som en forstyrrelse i reguleringssløyfen. Det tilstrebes i denne forbindelsen å gi h 0 (ss) høy forsterkning i det virksomme frekvensområdet. Fra oppgave 2.3 ser vi at da blir h FFxx xx 1 (rrrrrr)(ss) liten, og dermed kanskje neglisjerbar. h 0 (ss) kan økes både ved å øke sløyfeforsterkningen som i oppgave 2.3, og evt. å innføre integralvirkning. Førstnevnte er også med å øke båndbredden. Det er rimelig å anta at båndbredden til den regulerte løpekatten må være høy i forhold til pendelens resonansfrekvens, men dette trenger ikke være med i svaret.

9 Eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk desember 2017 LF Side 8 Oppgave 4.2. (5%) Vedlegg 5 viser Bode-plott av overføringsfunksjonen fra pådrag FF 1 til posisjon xx 1. Du har tidligere laget en proporsjonalregulator til denne. Denne gangen prøver vi med en PD-regulator. Ta en kikk på skissen du laget i oppgave 2.1 før du svarer. Hvorfor kan det være riktig å ha med derivatvirkning? Selv om det er ønskelig med null stasjonært avvik er integralvirkning ikke tatt med. Hvordan kan det stemme? D-virkning kan brukes til å løfte fasen slik at vi kan øke kryssfrekvens ωω cc, og dermed båndbredden til systemet. Dette gjør samtidig at vi undertrykker forstyrrelser bedre. Forstyrrelsen FF xx skyldes pendelbevegelsen. Den vil i gjennomsnitt være null altså ikke ha en stasjonær verdi. Dermed får vi ikke stasjonært avvik i dette tilfellet, selv om det er en forstyrrelse. Vi får uansett ikke stasjonært avvik som følge av ønsket posisjon rr. Dette skyldes at det allerede er en integrator i sløyfen. Oppgave 4.3. (5%) Vi ønsker at løpekatten skal ha en respons av typen minimum forstyrrelse, men ellers være så hurtig som mulig. Bruk metoden beskrevet i kap. 8 i læreboka til å finne parametre til en PD-regulator. Du trenger ikke sjekke forsterkningsmargin enda. Det gjør du i neste oppgave. Minimum forstyrrelse tilsvarer f. eks. fasemargin 45 og forsterkningsmargin 12 db. Opptegninger i rødt i vedlegg 5. Starter med å tegne linje for fasen , som spesifisert i fig i læreboka. Ønsket kryssfrekvens ωω øcc finnes der denne linjen krysser fasekarakteristikken. ωω øcc krysser i sin tur amplitudekarakteristikken i h 0 (jjωω øcc ), som brukes i fig i læreboka til å finne KK pp. TT dd finnes direkte fra ωω øcc. Oppgave 4.4. (6%) Her skal du bruke litt andre tall enn de du fant i forrige oppgave. Vedlegg 6 viser normaliserte utgaver av regulatorene som benyttes i metoden beskrevet i kapittel 8.3 til 8.5 i læreboka. Finn forsterkningsmargin ΔKK når KK pp 200 og TT dd 1. Før du går i gang: Tenk litt på hvordan du kan minimalisere arbeidet. Opptegninger i grønt vedlegg 5 og 6. Vedleggene må linjeres opp slik at TT dd 1. Forsterkningsmarginen finnes ved ωω 180 for det regulerte systemet. I stedet for å multiplisere regulator og prosess kan vi ta for oss akkurat denne ene frekvensen. Ved ωω 4,47 har h 0 (jjjj) sunket til 233 mens fasen til regulatoren er +53, så summen er 180. Merk av 0 db-linjen for KK pp 200. Ved ωω 180 leser vi av forsterkningene 24 db i vedlegg 5 og +12,5 db i vedlegg 6. Dermed: ΔKK 24 db 12,5 db 11,5 db

10 Eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk desember 2017 LF Side 9 Oppgave 4.5. (6%) Fortsett med KK pp 200 og TT dd 1. Anta at lasten etter forflytning henger og dingler en stund, og gir en sinusformet forstyrrende kraft FF xx på løpekatten med en amplitude på 100 N og en svingeperiode på 3 sekunder. Hvilken innvirkning får dette på posisjonen xx 1? Opptegninger i blått i vedlegg 5 og 6. Vi trenger overføringsfunksjonen h FFxx xx 1 (rrrrrr)(ss) h 0 (ss) 1 + h 0 (ss) h 0 (ss) 1 + KK pp h RR (ss)h 0 (ss) med ss jjωω der igjen ωω 2ππ 2,1. Denne frekvensen ligger 16 mm til høyre for 3 ωω 1. Vi trenger bare se på verdier ved denne frekvensen. Overføringsfunksjon Amplitude Fase h 0 (ss) 53 db 200 h RR (ss) 7 db 53 KK pp 46 db 0 KK pp h RR (ss) 53 db 53 KK pp h RR (ss)h 0 (ss) 0 db Siste overføringsfunksjonen gjort om til kartesiske koordinater: Legg til 1: Tilbake i polarkoordinater: KK pp h RR (ss)h 0 (ss) 0,838 jj0, KK pp h RR (ss)h 0 (ss) 0,161 jj0, KK pp h RR (ss)h 0 (ss) 0,568 4,9 db 73,5 h 0 (ss) ,9 48 db , KK pp h RR (ss)h 0 (ss) 0,004 Da er overføringsfunksjonen beregnet for oppgitt frekvens. Vi trenger egentlig bare amplituden. Den må multipliseres med amplituden til kraften, FF xx (ωω 2,1) 100. Dermed får vi en amplitude på xx 1 ved denne frekvensen som er xx 1 (ωω 2,1) 0, ,4 meter

11

12

13

14

15

16

17