Del 1. Linearisering av dynamisk modell

Transkript

1 Inst. for teknisk kybernetikk Fag TELE200 Reguleringsteknikk Øving 2, løsningsforslag Revidert sist Fredrik Dessen Del. Linearisering av dynamisk modell Vi skal fortsette med cruisekontrollen fra forrige øving. Av og til må du gjenta noe fra denne. En enkel dynamisk modell av en bil er gitt av differensialligningen vv(tt) FF uu + FF ff CCvv(tt) 2 Her representerer v bilens hastighet. m er masse, F u motorkraft, F f representerer forstyrrelser mens C er friksjonskonstanten fra forrige del av øvingen. Vi antar en masse på 000 kg, og fortsatt at C 3 kg/m. Oppgave.. Fortell med egne ord hva som ligger bak denne ligningen. Saenlign med oppgave 3. i forrige øving. Dette er Newtons andre lov. Leddet vv er masse ganger akselerasjon, og leddene på høyre side av uttrykket representerer ulike krefter som bidrar til å akselerere massen. Kreftene som er tatt med er motorkraft, kraft fra ekstern forstyrrelse, og en kraft som representerer friksjonskrefter tilsvarende hovedsakelig luftmotstand. Dette ser vi fordi leddet er en funksjon av hastigheten. Eneste forskjellen fra forrige øving er akselerasjonsleddet, som bringer oss fra Newtons første til andre lov. Oppgave.2. Du utførte linearisering av det statiske systemet i forrige øving. Nå skal du ta med leddet vv(tt). Dette er ganske enkelt bla. fordi vv(tt) (vv + ΔΔvv(tt) ) vv + Dessverre er det litt vanskelig å se akkurat hva prikken skal dekke i disse uttrykkene, men forhåpentligvis er det forståelig. Sett opp en lineær differensialligning som representerer dynamikken i små variasjoner rundt arbeidspunktet vv 30 m/s og FF ffff 0. Her gjentas den dynamiske modellen oppgitt tidligere vv(tt) FF uu (tt) + FF ff (tt) CCvv(tt) 2 Vi har allerede funnet ut at når hastigheten er 30 m/s så er motorkraften 2700 N. For arbeidspunktet kan vi skrive vv FF uuuu + FF ffff CCvv 2 Hvis vi vil uttrykke v, F u og F f som små avvik fra arbeidspunktet kan vi skrive vv(tt) vv + ΔΔvv(tt) ; vv(tt) vv + ΔΔvv(tt)

2 FF uu (tt) FF uuuu + ΔΔFF uu (tt) ; FF ff (tt) FF ffff + ΔΔFF ff (tt) En lineær modell for variasjonene rundt arbeidspunktet er 2 vv + (vv ) + (FF uuuu + ΔΔFF uu (tt)) + FF ffff + ΔΔFF ff (tt) CCvv 2 + vv2 ΔΔvv(tt) FF uuuu + FF ffff CCvv 2 + ΔΔFF uu (tt) + ΔΔFF ff (tt) vv2 ΔΔvv(tt) De to parentesene i nederste ligning har vi allerede funnet ut er like. Disse kan strykes, så vi finner følgende lineære modell for små variasjoner rundt arbeidspunktet: ΔΔFF uu (tt) + ΔΔFF ff (tt) vv2 ΔΔvv(tt) ΔΔFF uu (tt) + ΔΔFF ff (tt) 2CCCC ΔΔvv(tt) Her vil 2CCCC 80 kg/s, og vi vet at 000 kg. Del 2. Laplace-transformasjon og overføringsfunksjoner Oppgave 2.. Vi ser på en situasjon hvor bilen først kjører horisontalt, men ved tiden t 0 koer til en nedoverbakke. Motorkraften holdes konstant, men nedoverbakken gir en hjelp på FF ff (tt > 0) 700 N. Bruk prosedyren med Laplace-transformasjon, algebraiske manipulasjoner, og inverstransformasjon til å finne hastighetsforløpet før og etter dette tidspunktet. Vi Laplace-transformerer den lineariserte ligningen fra oppgave 3.3. Først generelt (ssssss(ss) ΔΔΔΔ(tt 0)) ΔΔFF uu (ss) + ΔΔFF ff (ss) 2CCCC ΔΔvv(ss) (ss) + 2CCCC ΔΔvv(ss) ΔΔFF uu (ss) + ΔΔFF ff (ss) + (tt 0) ( + 2CCCC )ΔΔvv(ss) ΔΔFF uu (ss) + ΔΔFF ff (ss) + (tt 0) ΔΔvv(ss) ΔΔFF uu(ss) + ΔΔFF ff (ss) + (tt 0) + 2CCCC Dette uttrykket trenger vi senere. Nå setter vi inn verdier for pådrag, forstyrrelse og startverdi. Vi snakker nå om variasjonene rundt et arbeidspunkt, så vi får ΔΔFF uu (ss) 0 ; ΔΔFF ff (ss) ss ; (tt 0) 0 Her er det satt inn for FF ff (tt > 0) 700 N. Dermed blir ligningen

3 2CCCC ΔΔvv(ss) ss 2CCCC + 2CCCC ss(ss + 2CCCC KKKK ) ss(ss + 2CCCC ) ss(ss + αα) Siste brøken kjenner vi igjen som transformasjonspar i transformasjonstabell 2 helt foran i læreboka. Dermed får vi i tids-verdenen ΔΔvv(tt) KK( ee αααα ) ( ee 2CCCC tt ) 2CCCC Vi regner ut K 3,9 m/s og T /α 5,6 sek, og bruker dette i neste oppgave. 3 Oppgave 2.2. Tegn opp forløpet. Vær raus med markeringer som forklarer opptegningen. Oppgave 2.3. Hva blir overføringsfunksjonen fra forstyrrelse ΔΔFF ff (ss) til ΔΔvv(ss)? Hva med motorkraft ΔΔFF uu (ss) til ΔΔvv(ss)? Vi snakker ikke om sprang lenger, men henter dette uttrykket fra oppgave 2.: ΔΔvv(ss) ΔΔFF uu(ss) + ΔΔFF ff (ss) + (tt 0) + 2CCCC Med overføringsfunksjoner setter vi de variablene vi ikke er interessert i til null. Dette kjenner vi som superposisjonsprinsippet for lineære systemer. Derfor h FFuu vv(ss) ΔΔvv(ss) ΔΔFF uu (ss) + 2CCCC h FFff vv(ss) ΔΔvv(ss) ΔΔFF ff (ss) + 2CCCC 2CCCC + 2CCCC ss 2CCCC + 2CCCC ss 2CCCC + TTTT 2CCCC + TTTT

4 Sae overføringsfunksjon begge steder. Hvis vi ser bort fra startverdien kan vi for øvrig skrive øverste uttrykket som ΔΔvv(ss) h FFuu vv(ss)δδff uu (ss) + h FFff vv(ss)δδff ff (ss) Oppgave 2.4. Hjelp med de to neste oppgavene finner du i kap til i læreboka. Tegn asymptotisk overføringsfunksjon i et Bode-diagram. 50 per dekade (og per 20 db). Se neste oppgave. Oppgave 2.5. Tegn full overføringsfunksjon i sae Bode-diagram. 4 Kan ikke garantere at skaleringen er riktig, men rutenettet var opprinnelig 5. Del 3. Regulert system Anta sae veistrekning som i del 4, men at cruisekontrollen er slått på og styrer motorkraft etter formelen ΔΔFF uu (tt) KK pp (vv ø (tt) vv(tt)). Her står vv ø og vv for hhv. ønsket og virkelig hastighet. Det du også bør merke deg er at vi fortsetter med

5 arbeidspunktet vv, slik at også vv ø (tt) vv + ΔΔvv ø (tt). Dermed kan regulatoren også skrives som Anta KK pp 2000 Ns/m og v ø 30m/s. ΔΔFF uu (tt) KK pp (ΔΔvv ø (tt) ΔΔΔΔ(tt)) 5 Oppgave 3.. Vi ser på situasjonen hvor bilen først kjører på flat vei, og ved tiden t 0 koer til nedoverbakken. Motorkraften styres etter formelen ovenfor. Bruk prosedyren med Laplace-transformasjon, algebraiske manipulasjoner og inverstransformasjon til å finne hastighetsforløpet før og etter dette tidspunktet. Den lineariserte ligningen fra oppgave.2 gjentas her Vi kan skrive regulatorligningen som: ΔΔFF uu (tt) + ΔΔFF ff (tt) 2CCCC ΔΔvv(tt) FF uu (tt) KK pp (ΔΔΔΔ ø (tt) ΔΔvv(tt)) Vi kan sette dette direkte inn i den lineariserte prosessbeskrivelsen: Vi Laplace-transformerer dette. Først generelt: KK pp (ΔΔΔΔ ø (tt) ΔΔvv(tt)) + ΔΔFF ff (tt) 2CCCC ΔΔvv(tt) KK pp ΔΔΔΔ ø (tt) + ΔΔFF ff (tt) (KK pp + 2CCCC )ΔΔvv(tt) (ssssss(ss) ΔΔΔΔ(tt 0)) KK pp ΔΔΔΔ ø + ΔΔFF ff (ss) (KK pp + 2CCCC )ΔΔvv(ss) (ss) + (KK pp + 2CCCC )ΔΔvv(ss) KK pp ΔΔΔΔ ø + ΔΔFF ff (ss) + (tt 0) ( + KK pp + 2CCCC )ΔΔvv(ss) KK pp ΔΔΔΔ ø + ΔΔFF ff (ss) + (tt 0) ΔΔvv(ss) KK ppδδδδ ø + ΔΔFF ff (ss) + (tt 0) + KK pp + 2CCCC Dette uttrykket trenger vi i senere. Nå setter vi inn verdier for forstyrrelse og startverdi. Vi snakker om variasjonene rundt et arbeidspunkt, så vi får ΔΔFF ff (ss) ss ; (tt 0) 0 I tillegg ser vi at ønsket hastighet er lik hastighetens arbeidspunkt vv a. Dermed blir ΔΔΔΔ ø 0, og vi får: ss + KK pp + 2CCCC KK pp + 2CCCC KK pp + 2CCCC ΔΔvv(ss) ss(ss + KK pp + 2CCCC ) ss(ss + KK pp + 2CCCC ) Dette kan vi som før saenligne med transformasjonspar i transformasjonstabell 2 helt foran i læreboka:

6 Dermed får vi i tids-verdenen ΔΔvv(ss) ΔΔvv(tt) KK( ee αααα ) KKKK ss(ss + αα) ( ee KK pp +2CCCC tt ) KK pp + 2CCCC Vi regner ut K 0,32 m/s og T /α 0,46 sek, og bruker dette i neste oppgave. 6 Oppgave 3.2. Tegn opp forløpet. Vær raus med markeringer som forklarer opptegningen. Oppgave 3.3. Hva blir overføringsfunksjonen fra forstyrrelse ΔΔFF ff (ss) til ΔΔΔΔ(ss)? Hva med overføringsfunksjonen fra ønsket hastighet til virkelig hastighet? Vi snakker ikke om sprang lenger, men henter dette uttrykket fra oppgave 3.: ΔΔvv(ss) KK ppδδδδ ø + ΔΔFF ff (ss) + (tt 0) + KK pp + 2CCCC Når vi snakker om overføringsfunksjoner setter vi de variablene vi ikke er interessert i til null. Dette kjenner vi som superposisjonsprinsippet for lineære systemer. Derfor h FFff vv(ss) ΔΔvv(ss) ΔΔFF ff (ss) + KK pp + 2CCCC h vvø vv(ss) ΔΔvv(ss) ΔΔvv ø (ss) KK pp + KK pp + 2CCCC KK pp + 2CCCC + ss KK pp + 2CCCC + TTTT KK pp + 2CCCC + KK pp KK pp KK pp + 2CCCC ss KK pp + 2CCCC + TTTT KK pp + 2CCCC Vi ser at når regulatorforsterkningen blir stor undertrykkes forstyrrelsen. Dette fordi overføringsfunksjonen blir mindre og mindre i absoluttverdi. Ønsket hastighet følges

7 bedre når forsterkningen blir stor. Dette ser vi av at absoluttverdien til denne overføringsfunksjonen nærmer seg ved lave frekvenser. 7 Oppgave 3.4. Tegn asymptotisk overføringsfunksjon i et Bode-diagram. 50 per dekade (og per 20 db). Se neste oppgave. Oppgave 3.5. Tegn full overføringsfunksjon i sae Bode-diagram. Vi trenger bare tegne én overføringsfunksjon. Forskjellen mellom dem er bare forsterkningsfaktoren KK pp. Fasen blir nøyaktig den sae for begge. I stedet for å tegne flere kurver, er det mer effektivt bare å fortelle hva forsterkningen ved lave frekvenser er for de to tilfellene. Som du ser har jeg heller ikke brydd meg om å regne ut desibel-verdi. Ingen grunn til det, slik oppgaven er utformet. Det vil ofte være slik at man i prinsippet kan tegne en første-ordens respons en gang for alle og ta kopier av den. Forskjellen fra gang til gang blir forsterkningen ved lave frekvenser, og frekvensen ved knekkpunktet.

8 Del 4. Sprangresponsmetoden Vi ser nå på en annen bil, og har fått tak i sprangresponsen nedenfor. Denne viser en liten hastighetsøkning (fra et arbeidspunkt) som skyldes en endring i pådraget på % fra sae arbeidspunkt Oppgave 4.. Hvorfor er det bedre å bruke sprangresponsmetoden enn Ziegler-Nichols? Det kan bli ganske ubehagelig å sitte i en bil som bringes til svingninger ved stabilitetsgrensen, og å gjenta dette forsøket ved mange arbeidspunkt. Bedre (og ganske naturlig) med trinnvise hastighetsendringer. Oppgave 4.2. Hvorfor kan det være ønskelig med integralvirkning i cruisekontrollen? Dette er først og fremst for å få null stasjonært avvik. Oppgave 4.3. Anta at vertikalskalaene i figuren er m/sek og prosent, men du trenger bare bruke de dimensjonsløse tallene når du skal finne integrasjonstiden. Finn parametrene til en PI-regulator ved hjelp av sprangresponsmetoden.

9 9 Kritisk forsterkning og periodetid finnes fra ligning (2.5) i boka: KK kk 2TT eeee ττ ee 2 2,0 0,63 6,35 ; TT kk 4ττ ee 4 0,63 2,52 sek Parametrene til en PI-regulator finnes av figur 2.9 i boka: KK pp 0,45 KK kk 0,45 6,35 2,86 TT ii 0,85 TT kk 0,85 2,52 2,4 sek