EKSAMEN Styring av romfartøy Fagkode: STE 6122

Transkript

1 Avdeling for teknologi Sivilingeniørstudiet RT Side 1 av 5 EKSAMEN Styring av romfartøy Fagkode: STE 6122 Tid: Fredag , kl: 09:00-14:00 Tillatte hjelpemidler: Godkjent programmerbar kalkulator, med tomt minne. Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Eksamen består av 5 sider (derav 1 side med formler) og 6 oppgaver. Faglærer: Førsteamanuensis, Dr.ing. Per J. Nicklasson, Tlf Oppgavenes vekt er angitt i prosent av total poengsum.

2 Side 2 av 5 ) Hva mener man med uttrykket? ) Vis at den dynamiske ligningen for avstanden mellom to legemer med masse 1 og 2 som er i relativ bevegelse i et kraftfelt beskrevet av Newton s gravitasjonslov, kan skrives som ) Vis at massesenteret til systemet fra forrige spørsmål er i ro eller i rettlinjet uakselerert bevegelse. ) Hva mener man med et? Forklar hvorfor jorden kan benyttes som et inertielt referansesystem for beskrivelse av satellittbevegelser. ) Anta at en satellitt med masse 1 går i bane rundt en planet med masse 2. Vis matematisk at satellitten under gitte forutsetninger ikke påvirker planetens bevegelse. ) Forklar hva man mener med spinnet til et stivt legeme. ) Vis matematisk at absoluttverdien til spinnet til et legeme med masse 1kg (enhetsmasse) som beveger seg i en Keplarsk bane kan skrives som 2 og at 0 I formlene over er, der er avstandsvektoren fra legemet til origo i et kartesisk koordinatsystem. Sentralkraften på legemet virker langs,og angir vinkelen mellom en av aksene i koordinatsystemet og. ) Keplar s andre lov sier at radiusvektoren (langs sentralkraften) til et legeme i en Keplarsk bane sveiper over like arealer i like tidsrom. Vis matematisk at denne sammenhengen holder slik at den tidsderiverte av arealet vektoren sveiper over er proporsjonal med absoluttverdien til spinnet. ) For en elliptisk bane gjelder / og 1 2. Utled et matematisk uttrykk for Keplar s 3. lov, dvs. ett uttrykk for omløpstiden til legemet i banen som funksjon av lengden til lengste halvakse i ellipsen,. Parameteren er korteste halvakse, er eksentrisiteten og er en konstant. ) Tegn en skisse og forklar hva man mener med sann anomalitet og eksentrisk anomalitet for et legeme i en elliptisk bane. Anta at 45 R, 0.3 og beregn tiden fra passering av perigeum i banen som funksjon av omløpstiden.

3 Side 3 av 5 ) Forklar hva man mener med. ) Anta at en ønsker å øke radien til en sirkulær satellittbane fra 1 til 2. Vis at den totale hastighetsendringen som må utføres er gitt av 1 2 hvor ) Anta at for baneendringen i forrige spørsmål skal initiell radius km økes med 200 km. Beregn massen av den nødvendige drivstoffmengden som skal til for å utføre endringen når den initielle massen til satellitten er 1 tonn og trusterne som benyttes har VS 200 s. Jordradien er H km, 9.81 m/s 2 og km 3 /s 2. ) Anta at det på en satellitt i lav jordbane virker en atmosfærisk motstand (drag) G [N]. Vis med utgangspunkt i Newton s andre lov og rakettligningen at drivstoffmassen SURS [kg] som må til for å kompensere for denne drag-kraften i en gitt tidsperiode [s]ergittsom SURS G VS ) Forklar hvilke følger en feilorientering av trusterne på en satellitt vil gi ved banekorreksjoner. ) Anta at det benyttes Eulervinkler for å beskrive orienteringen av et romfartøy relativt et banefast referansesystem. Utled rotasjonsmatrisen som transformerer vektorer fra det legemefaste koordinatsystemet til det banefaste referansesystemet når rotasjonsrekkefølgen (relativt det banefaste systemet) benyttes. ) Utled transformasjonen mellom deriverte av Eulervinkler (,, ) og legemefaste rotasjonshastigheter (,, for rotasjonsrekkefølgen. For hvilke vinkler er transformasjonen mellom (,, og (,, ) singulær? ) Ved bruk av 3 parametre for beskrivelse av orientering vil det alltid oppstå singulariteter i de kinematisk transformasjonene. Foreslå med utgangspunkt i Euler s teorem for rotasjoner og en gitt rotasjonsmatrise, en singularitetsfri beskrivelse av orientering vha. 4 parametre. Hvilke andre fordeler er det med denne måten å beskrive orientering på relativt bruk av Eulervinkler?

4 Side 4 av 5 (%) ) Anta at et koordinatsystem er festet til et legeme som roterer med en hastighet [, \, ] 7 relativt et inertielt system. Legemet utsettes for et eksternt moment [, \, ] 7. Begge vektorene er dekomponert i det legemefaste systemet. Utrykk spinnvektoren til legemet som funksjon av hovedtreghetsmomenter og vinkelhastigheter. Utled deretter de dynamiske ligningene for rotasjonsbevegelsen til legemet, dvs. uttrykk for vinkelakselerasjonene. ) Anta at et koordinatsystem er festet til et legeme med en vilkårlig orientering relativt hovedtreghetsaksene. En ønsker å reorientere koordinataksene slik at de nye aksene sammenfaller med hovedtreghetsaksene. Treghetsmatrisen for legemet er opprinnelig beregnet til å være Nms 2 Beregn rotasjonmatrisen som roterer en vektor fra det originale koordinatsystemet til det nye systemet. Angi hvilke vinkler og akser det originale systemet må roteres om for å falle sammen med hovedtreghetsaksene. ( %) De lineariserte bevegelsesligningene for en gravitasjonsstabilisert satellitt i sirkulær bane rundt jorden er gitt på generell form som: G[ F[ [ \ ] 0 \ ] [ Z[ 0 Z] Z\0 0 Z\0 G\ F\ \ [ ] Z\ G] F] ] 0 ] [ \ 0 2 \ [ Z] 0 Z[ Z\0 0 Z\0 ) Under hvilke forutsetninger er denne matematiske modellen en god approksimasjon av dynamikken til det virkelige systemet? ) Anta at det ikke benyttes dempemekanismer eller aktive regulatorer. Utled et kriterium for stabilitet av rotasjonen om % aksen. ) Hvordan vil et sprang i forstyrrelsen G\ påvirke. Begrunn svaret med utregninger. ) Anta at det benyttes reaksjonshjul i alle tre aksene for å styre systemet. Vis at ved et hensiktsmessig valg av regulator blir det stasjonære avviket i lik null selv ved et sprang i forstyrrelsen G\. ) Anta at det istedenfor reaksjonshjul benyttes 3 magnetspoler for å dempe ut oscillasjonene som kan oppstå. Pådraget er strømmen i spolene [, \, ], og alle spolene har samme tversnittsareal og antall vindinger. Vis at det ikke alltid er mulig å stabilisere orienteringen av alle tre aksene samtidig vha. magnetspoler, og foreslå deretter en løsning på dette problemet.

5 Side 5 av 5 Formelsamling Totalenergi for enhetsmasse: 2 /2 / /2 Rakettligningen: " 9/ŸJ, VS I L e Arealet av en ellipse: Inverst kvadratisk kraftfelt: Keplar s tidsligning: 1 2 / 3 S 2/ sin Sann og eksentrisk anomali: cos cos/1 cos,sin sin 1 2 /1 cos Differansen av to vinkler: sin sin cos cossin Tilnærming: e [ 1 for små Vektoridentitet: Laplace-transformasjonen L L 0 L L "1 1/ Q Q"1 / 1!, ( 1,2,3,... L "1 1/ Q Q"1 DW / 1!, ( 1,2,3,... L "1 1/ 2 2 1/ sin L "1 1/ 2 2 1/ DW sin L "1 / 2 2 cos L "1 1/ 3 2 1/ 2 1 cos L "1 1/ / 3 sin

6