LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy

Transkript

1 HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi MSc-studiet Studieretning for romteknologi Side 1 av 4 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy Tid: Tirsdag , kl: 09:00-12:00 Fagansvarlig: Per J. Nicklasson, tlf / Tillatte hjelpemidler: Godkjent programmerbar kalkulator, med tomt minne. Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Oppgaven inneholder 4 sider og 4 oppgaver. Relativ vekt av deloppgaver er oppgitt i prosent.

2 Side 2 av 4 Oppgave 1 (5%10%10%10%5%40%) a) Forklar kort som menes med Hohmann-overføringer. Med Hohmann-overføringer mener man en type baneoverføringer som er optimale mhp. drivstoffforbruk. Opprinnelig ble betegnelsen benyttet om en optimal overføring mellom to sirkulære baner i samme plan. En Hohmann-overføring er optimal så lenge forholdet mellom de to radiene er mindre enn b) Anta at en ønsker å øke radien til en sirkulær satellittbane fra r 1 til r 2. Vis at absoluttverdien av den totale hastighetsendringen som må utføres er gitt av hvor ΔV 1 ΔV 2 ΔV ΔV 1 ΔV 2 r 1 r 2 1 2r 2 r 1 r 2 1 2r 1 r 1 r 2 For å endre radien benyttes en elliptisk overføringsbane som vist i figuren over. Hastigheten i den opprinnelige banen er v 1 /r 1. Vi kjenner nå avstanden til apogeum r 2 og perigeum r 1 av overføringsbanen, og kan dermed beregne hastigheten for denne banen i perigeum utfra ligningen for totalenergien v 2 /2 /r /2a som Dette gir v p ΔV 1 v p v 1 2 r1 2 r 1 r 2 2r 2 r 1 r 1 r 2 r1 2r 2 r 1 r 1 r 2 r 1 2r 2 r 1 r 2 1 For å finne ΔV 2 må vi kjenne hastigheten i apogeum av overføringsbanen og hastigheten i den endelige banen. Ved samme fremgangsmåte som over finner vi Dette gir nå v a v 2 2 r2 r 2 ΔV 2 v 2 v a 2 r 1 r 2 r 2 1 2r 1 r 2 r 1 r 2 2r 1 r 1 r 2 c) Anta at for baneendringen i forrige spørsmål skal initiell radius r km økes med 230 km. Beregn massen av den nødvendige drivstoffmengden som skal til for å utføre endringen når den initielle massen til satellitten er 1.5 tonn og trusterne som benyttes har I sp 230 s. Jordradien er R e km, g 9.81 m/s 2 og km 3 /s 2.

3 Beregner ΔV ΔV 1 ΔV m/s. Dette gir utfra rakettligningen m p m i m f m i e ΔV/gIsp kg. d) Anta at det på en satellitt i lav jordbane virker en atmosfærisk motstand (drag) F d [N]. Vis med utgangspunkt i Newton s andre lov og rakettligningen at drivstoffmassen Δm prop [kg] som må til for å kompensere for denne drag-kraften i en gitt tidsperiode Δt [s]ergittsom Δm prop F dδt gi sp Newton s 2.lov kan skrives på formen F mδv/δt for et endelig inkrement i hastighet, og rakettligningen kan for små ΔV tilnærmes med m f m i 1 ΔV/gI sp. Dette gir m i m f gi sp Δm prop gi sp m i ΔV F d Δt Δm prop gi sp og endelig Δm prop F dδt gi sp e) Forklar kort hvilke følger en feilorientering av trusterne på en satellitt vil gi ved banekorreksjoner. En feilorientering av trusteren vil gi et hastighetstap og følgelig et tap av drivstoff. Dessuten vil det bli introdusert krefter som gir en uønsket nutasjonsbevegelse, og dermed uønsket endring av orienteringen. Oppgave 2 (5%10%15%) a) Forklar hva man mener med hovedtreghetsakser for et stivt legeme. Hvilke fordeler gir bruk av hovedakser ved analyse av bevegelsen til et slikt legeme? Med hovedtreghetsakser menes en orientering av aksene i et legemefast koordinatsystem med origo i massesenteret, som er slik at matrisen med treghetsmomenter evaluert relativt dette koordinatsystemet, blir diagonal (krysstreghetsmomenter blir lik null). Det finnes alltid en slik orientering. Bruk av hovedakser gir de fordeler at de dynamiske bevegelsesligningene forenkles betraktelig. b) Anta at et koordinatsystem er festet til et legeme med en vilkårlig orientering relativt hovedtreghetsaksene. En ønsker å reorientere koordinataksene slik at de nye aksene sammenfaller med hovedtreghetsaksene. Treghetsmatrisen for legemet er opprinnelig beregnet til å være I Nms 2 Beregn rotasjonmatrisen som roterer en vektor fra det originale koordinatsystemet til det nye systemet. Angi hvilke vinkler og akser det originale systemet må roteres om for å falle sammen med hovedtreghetsaksene. A Vi ser at dette er en rotasjonsmatrise for en dreining om x-aksen. Legg merke til at både cosinus og sinus er negativ, altså er dette en vinkel i 3. kvadrant. Vinkelen er o. Oppgave 3 (5%5%5%5%20%) Bevegelsesligningene for en gravitasjonsstabilisert satellitt i sirkulær bane rundt jorden er gitt på

4 generell form som: T dx T cx I x I y I z 0 I y I z I x ḣ wx 0 h wz h wy0 0 h wy0 T dy T cy I y I x I z ḣ wy T dz T cz I z 0 I z I x I y 2 0 I y I x ḣ wz 0 h wx h wy0 0 h wy0 a) Under hvilke forutsetninger er dette en tilstrekkelig nøyaktig matematisk modell av satellittens dynamikk? Forklar. Dette er ikke en eksakt matematisk modell av satellitens dynamikk. Ligningene representerer en linearisering av de ulineære differensialligningene som beskriver rotasjon, under forutsetninger om små verdier av Euler-vinkler samt deres deriverte. Dette betyr at modellen over er en god modell når satellitten har en orientering som omtrent er sammenfallende med en ønsket orientering, og rotasjonshastighetene samtidig er små. Det er også viktig å merke seg at det ikke er tatt med effekter som f.eks. metning i pådragsorganer i denne modellen, og det betyr at en antar liten pådragsbruk (små amplituder av pådrag). I praksis vil det være umulig å lage en eksakt modell av satellittens dynamikk, men gode tilnærmelser kan oppnås ved å ta med de viktigste faktorene. b) Hva betyr de ulike symbolene som er benyttet i modellen? - T di, i x, y,z : Forstyrrende moment på satellitten. - T ci,i x, y,z : Moment fra pådragsorganer (dyser, momenthjul etc.) som benyttes til å styre/regulere orientering. - I i,i x, y,z : Treghetsmomenter (hovedtreghetsakser) -,, : Eulervinkler - 0 : Rotasjonshastighet for sirkulær bane - h wi, i x, y,z :Spinn fra hjul fast i satellitten c) Hvordan vil tidsforløpene for t, t og t se ut dersom det kun benyttes gravitasjonsbasert stabilisering? Forslå løsninger som forbedrer foreløpet av en eventuell uønsket respons. Tidsforløpene vil være oscillatoriske pga. forstyrrende momenter og initialbetingelser ulik null. I verste tilfelle, der det innbyrdes forholdet mellom treghetsmomentene er feil, vil tidsforløpene også være divergente (dvs. ustabilitet). Dersom vi forutsetter at systemet i utgangspunkter er designet slik mhp. treghetsmomenter at der er stabilt, vil probelmet være å dempe ut svingningene. Dette kan løeses ved å innføre passiv eller aktiv dempning. d) Angi en passende regulatorstruktur for aktiv styring av satellittens orientering, med regulatorligninger. Diskuter innvirkningen av et konstant forstyrrende moment om en av satellittens akser. Den mest naturlige fremgangsmåten er å benytte tre dekoblede PID-regulatorer, slik at f.eks. t d T cx K px d K dx dt d K ix d dt 0 Tilsvarende for de to andre vinklene. Merk at det ikke holder med PD-regulator dersom en ønsker null stasjonært avvik når det virker forstyrrelser på satellitten. Et konstant forstyrrende moment vil dessuten medvirke at regulatoren må gi et tilsvarende konstant moment for å motvirke forstyrrelsen. Dette kan resultere i at pådragsorganer går i metning (f.eks. reaksjonshjul), og spinn må dumpes. Dessuten vil dette medføre et konstant drivstoff-forbruk.

5 Oppgave 4 (5%5%5%5%5%25%) Forklar kort følgende begreper. Benytt gjerne en skisse og/eller formler dersom du synes det er nødvendig. a) Treghetsmatrise (eng. inertia matrix) I sin enkleste form kan denne skrives I I x I y I z der elementene er treghetsmomentene langs hovedtreghetsaksene. Matrisen kan også brukes i beskrivelsen av spinn h I og rotasjonsenergi T 1/2 T I. b) Kvaternioner Kvaternioner benyttes for å beskrive orienteringen av koordinatsystem relativt et annet. Metoden benytter 4 parametre og defineres som en vektor på følgende måte: q q 4 iq 1 jq 2 kq 3,deri 2 j 2 k 2 1, og ij ji k, jk kj i, ki ik j. Kvaternioner kan også defineres utfra elementene i en enhetsvektor e (vektor det roteres om), sammen med rotasjonsvinkelen. Bruk av kvaternioner er mindre regnekrevende enn andre metoder, fordi det er færre ledd som skal regnes ut, og dessuten inngår det kun algebraiske funksjoner i de enkelte leddene. De kinematiske differensialligningene er dessuten fri for singulariteter når denne metoden benyttes for beskrivelse av orientering. c) Treghetsellipsoide Treghetsmomentet kan i utgangspunktet beregnes om enhver akse som går gjennom legemets massesenter. Rotasjonsenergien kan da uttrykkes som T 1/2I 2,somvedbrukav T 1/2 T I (og antagelsen om hovedtreghetakser) gir I 2 I x 2 x I y 2 y I z 2 z. Denne ligningen kan skrives om, og gir da 2 I I x 2 x I y 2 2 y I z 2 z 2 Nå er 2 z 2 y 2 x, og vi kan beregne treghetsmomentet I for enhver konfigurasjon av vinkelhastigheter, dvs. for enhver orientering i rommet av. Dette gir en tredimensjonal ellipsoide dersom vi fremstiller ligningen grafisk med hovedtreghetsaksene som basis. d) Klassiske baneparametre De 6 klassiske baneparametre benyttes for å beskrive en Keplersk bane til et legme om et annet legeme: a- største hovedakse for banen e-eksentrisiteten i-inklinasjonen -rektasensjonen til oppstigende knute -perigeets lengde M nt t 0 -midlere anomalitet (n er midlere bevegelse)

6 e) Ikke-Keplerske baner Keplerske baner er i utgangspunkter ideelle baner for himmellegemer som er utledet utfra en antagelse om det kun er gjensidige gravitasjonskrefter (sentralkrefter) som virker mellom to legemer. For et legeme i en Keplersk bane kan vi utlede bevegelsesligningene utfra sammenhengen d 2 r r dt 2 r 3 Der r beskriver avstanden mellom legemene. Ligningen ovenfor kan løses, og gir den klassiske ligningen h r 2 / 1ecos 0 Ikke-Keplerske baner omhandler det realistiske tillellet der det også virker andre krefter på legemene, slik at vi må ta med ekstra kraftledd i bevegelsesligningene d 2 r r dt 2 r 3