,QQOHGQLQJ 3-1/ )DJ 67( 6W\ULQJ DY URPIDUW \ / VQLQJVIRUVODJ WLO YLQJ

Transkript

1 3-1/ )DJ 67( 6W\ULQJ DY URPIDUW \ / VQLQJVIRUVODJ WLO YLQJ,QQOHGQLQJ Der det er angitt referanser, er det underforstått at dette er til sider, figurer, ligninger, tabeller etc., i læreboken, dersom andre referanser ikke er gitt eksplisitt. 2SSJDYHU. Det er nødvendig med styring og stabilisering av satellitten under banekorreksjoner (hastighetsvektoren må ha riktig orientering for å oppnå korrekt baneendring), kalibrering av sensorer og stasjonær operasjon (antenner og sensorer må peke i riktig retning). Se også punkt (1)-(5) på s Systemene kan klassifiseres utfra om de er SDVVLYH (f.eks. gravitasjonsstabilisering uten aktiv dempning) eller DNWLYH. De kan også klassifiseres utfra om målet er VWDELOLVHULQJ (ønsker samme orientering hele tiden, og må primært motvirke forstyrrelser) eller VW\ULQJ (gjentatte endringer av orientering, f.eks. ved følging av tidsvarierende vinkelreferanser). Passive systemer har fordeler mhp. kostnad og kompleksitet relativt aktive systemer, men gir begrenset ytelse.. Se Avsnitt Systemet kan skrives på formen [% = $[ + %X Î Den karakteristiske ligningen finnes som detâv,? $Ã = 0 d% d6 f% f6 = ?4g 2 0 a [ 0 0 g 0 Â1? a [ Ã ?g 0 Â1? a ] Ã?g 2 0 a ] 0 d d% f f% G[, [ 0 7 G], ]

2 det V? g 2 0 a [ V 0?g 0 Â1? a [ Ã 0 0 V?1 0 g 0 Â1? a ] Ã g 2 0 a ] V = V 4 + g 0 2 Â3a [ + a ] a [ + 1ÃV 2 + 4g 0 4 a [ a ] = 0 En kan også finne den karakteristiske ligningen ved å Laplace-transformere differensialigningene og løse ut transferfunksjonene for de to vinklene.. Den karakteristiske ligningen er i dette tilfellet gitt av (se s. 114) V 2 + 3g 2 0 Â, [?, ] Ã/, \ = 0 Løsningene er gitt av V = 1, \ Â?3, \Â, [?, ]ÃÃ g 0.Dersom, [ <, ] ligger den ene roten i høyre halvdel av det komplekse plan, og systemet er ustabilt. Merk at løsningen i det motsatte tilfellet vil gi to komplekse røtter, dvs. oscillatorisk bevegelse. Dette er naturlig siden det ikke er dempning i systemet.. Se s Normalt er kravene, \ <, [ +, ] og, \ >, [ >, ]. Den første ulikheten er vanskelig å tilfredstille utfra strukturelle (konstruksjons) hensyn. Differansen Â, [ +, ] Ã må være størst mulig for å minimalisere innvirkningen av en forstyrrelse på S, se (5.3.32). Dermed blir det ganske ganske harde begrensninger på verdien av, \, noe som kan være vanskelig å tilfredstille konstruksjonsmessig.. Se Avsnitt Responsen er henholdsvis eksponentielt voksende, kvadratisk i W, eller harmonisk med en middelverdi som er proposjonal med F og omvendt proporsjonal med (, [?, ] ). I beste tilfelle kan vi altså oppnå en oscillatorisk bevegelse når satellitten utsettes for en forstyrrelse. Ved feil valg av treghetsmomenter vil vi få ustabilitet. Amplituden til oscillasjonen kan minimaliseres vha. valg av treghetsmomenter.. Fremgangsmåten for å løse dette problemet er å ta utgangspunkt i tilstandsrommodellen, og benytte den ved simulering i MATLAB. Følgende skript kan benyttes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all clf format long Ix=80; Iy=82; Iz=4; sigma_x=(iy-iz)/ix; sigma_y=(ix-iz)/iy;

3 sigma_z=(iy-ix)/iz; Tdx=0; Tdz=0; mu= ; R_o=( ); omega_o=sqrt(mu/(r_o)^3) A=[ ; -4*omega_o*omega_o*sigma_x 0 0 omega_o*(1-sigma_x); ; 0 -omega_o*(1-sigma_z) -omega_o*omega_o*sigma_z 0 ]; B=[0 Tdx/Ix 0 Tdz/Iz] ; C=[ ; ]; D=0; SYS=SS(A,B,C,D); X0=[0 0 10*pi/180 0] ; [Y,T,X] = INITIAL(SYS,X0,5e4); subplot(2,1,1) plot(t,y(:,2)*180/pi) xlabel( Tid ) ylabel( \psi [deg] ) grid subplot(2,1,2) plot(t,y(:,1)*180/pi) xlabel( Tid ) ylabel( \phi [deg] ) grid %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

4 Resultatet er vist i figuren under (denne bør sammenlignes med Figur 5.3.2). Konklusjonen er at det er relativt vanskelig å undertrykke initielle vinkelavvik i f (dette gjelder også for en initiell feil i vinkelhastigheten f% ) vha. et gravitasjonsbasert stabiliseringssystem uten dempning. Spesielt gjelder dette når d og S er tilnærmet lik null, fordi det da ikke virker noe gravitasjonsmoment om = %?aksen.. Tidsresponsen er vist i figuren under. Simuleringen utføres i MATLAB ved å endre verdien for 7 G] i skriptet ovenfor, samt å benytte kommandoen [Y,T,X] = step(sys,100e2); for å simulere systemet. Det er klart at stabiliseringssystemet ikke fungerer tilfredsstillende når forstyrrelsene blir store. Problemet er at en ikke alltid vet hvor store forstyrrelsene blir.

5 . En kan unngå problemene assosiert med gravitasjonsbaserte stabiliseringssystemer ved at det innføres dempning i stabiliseringsystemet. Dempningen kan være passiv eller aktiv.. Se ligning (5.3.27)-(5.3.32) på side Se Avsnitt Det benyttes spoler som gir et magnetfelt når det går strøm gjennom dem. Disse feltene har en interaksjon med jordens magnetfelt, slik at det virker et moment på satellitten (jfr. to magneter som virker på hverandre).. Se Avsnitt Momentet er gitt av 7 = 0 ¼ %,der0 er representerer magnetfeltet fra spolen, og % representerer jordas magnetfelt. På komponentform kan dette skrives

6 7 F[ 7 F\ = 7 F] 0 % ]?% \?% ] 0 % [ % \?% [ 0 0 [ 0 \ 0 ] 7 F er det ønskede momentet. Matrisen i ligningen over er singulær, hvilket betyr at det ikke alltid er mulig å finne en 0 som gir en spesifisert 7 F. Ligningen kan imidlertid løses dersom en bare ønsker momenter om to akser, f.eks. 0 [ = 7 F] /% \, 0 ] =?7 F[ /% \. En kan da i tillegg benytte en passiv demper eller et reaksjonshjul for å få et moment om < %?aksen. Den fysiske forklaringen på problemet er at siden 7 = 0 ¼ %, vil det ikke være mulig å oppnå noe moment om %, uansett hvilken retning 0 har (7 må alltid være vinkelrett på både % og 0). Dette har også betydning ved dumping av moment, da en ikke kan dumpe spinn som har en gitt retning ved å benytte magnetspoler.. Se Eksempel F\ =?% ] 0 [ + % [ 0 ]. Stasjonært har en 0 [ = 7 G] /% \ og 0 ] =?7 G[ /% \, slik at 7 F\ =?% ] 7 G] /% \? % [ 7 G[ /% \. Normalt er S kun passivt dempet, og et forstyrrende moment om denne aksen vil medføre et avvik i S. Det er vanlig at strømmen i spolen varierer med omløpsfrekvensen pga. variasjoner i jordas magnetfelt, og dette vil medføre at det forstyrrende momentet også er periodisk, og dermed svært vanskelig å kompenserer for med en passiv demper.. Vha. sammenhengen mellom skalarprodukt og kryssprodukt for vektorer, kan en utlede % ¼ 7 F = % ¼ Â0 ¼ %Ã = Â% 6 %Ã0? Â% 6 0Ã% Dersom 0 alltid er vinkelrett på %,fårvi 0 = Â% ¼ 7 F Ã/% 2. Med aktiv dempning kan en oppnå en nøyaktighet på 2 R? 10 R, mens en med passiv dempning må nøye seg med nøyaktigheter på 10 R? 30 R.