Kapittel 6 Stabilitetsanalyse Oppgave 6.1 Stabilitetsegenskap for transferfunksjoner

Transkript

1 Figur 30: Oppgave 5.2: Frekvensresponsen fra T i til T for regulert system Kapittel 6 Stabilitetsanalyse Oppgave 6. Stabilitetsegenskap for transferfunksjoner Bestem stabilitetsegenskapen for følgende transferfunksjoner: H (s) = s + H 2 (s) = s +s 53 (6.26) (6.27)

2 54 Oppgaver til Dynamiske systemer H 3 (s) = s H 4 (s) = (s +)(s ) H 5 (s) = s (6.28) (6.29) (6.30) H 6 (s) = s 3 (6.3) H 7 (s) = e s s + H 8 (s) = s + H 9 (s) = s 2 s + H 0 (s) = s 2 + s + H (s) = s 2 + H 2 (s) = (s +)s (6.32) (6.33) (6.34) (6.35) (6.36) (6.37) Oppgave 6.2 Stabilitetsegenskap for tilstandsrommodell Bestemt (den interne) stabilitetsegenskapen for følgende tilstandsrommodell: ẋ 0 x 0 = + u (6.38) ẋ 2 2 x 2 Oppgave 6.3 Polkurver for reguleringssystem Se eksempel 5 side 70 osv. i læreboken. Reguleringssystemets følgeforhold, som er transferfunksjonen fra referanse til prosessutgang, er der H yr (s) = K p s 3 +2s 2 + s + K p = K p a(s) (6.39) a(s) =s 3 +2s 2 + s + K p (6.40)

3 Oppgaver til Dynamiske systemer 55 er transferfunksjonens karakteristiske polynom. Reguleringssystemets poler er røttene i a(s). Tabell 2 viser noen sammenhørende verdier for K p og polene. 5 K p p p 2 p 3 0,, 28 0, 59 0, 3 0, 25, 42 0, 26 + j0, 30 0, 26 j0, 30, 75 0, 2 + j0, 74 0, 2 j0, j j 4 2, 3 0, 6 + j, 3 0, 6 j, 3 Tabell 2:Oppgave 6.3: Sammenhørende verdier for K p og reguleringssystemets poler a. Kontroller at tabell 2 gir korrekt informasjon for K p =2(en mer eller mindre tilfeldig valgt K p -verdi). b. Tegn med utgangspunkt i tabell 2 reguleringssystemets polkurver som funksjon av K p i det komplekse planet. (Polkurvene er generelt stedkurven for polplasseringen med en gitt parameter i dette tilfellet regulatorforsterkningen K p som fri variabel.) For hvilken K p blir reguleringssystemet ustabilt? Beskriv polenes plassering (stedkurve) for økende K p slik du ser tendensen fra polkurvene. Oppgave 6.4 Stabilisering vha. tilbakekopling Stabilisering vha. tilbakekopling brukes bl.a. for å stabilisere raketter, fartøyer og eksoterme (ustabile) reaktorer. Denne oppgaven illustrerer prinsippet. Figur 3 viser et blokkdiagram av et tilbakekoplet system, som kan være et reguleringssystem med H r (s) som regulator og H p (s) som prosess. Anta at og a. Påvis at H p (s) er ustabil. H r (s) =K r (6.4) H p (s) = s (6.42) b. Finn for hvilke K-verdier det tilbakekoplede systemet er asymptotisk stabilt. Tips: Studer transferfunksjonen fra r til y.dukankalledenm(s). 5 Polene kan beregnes med f.eks. roots-funksjonen i MATLAB.

4 56 Oppgaver til Dynamiske systemer r(s) H r (s) u(s) H p (s) y(s) Figur 3: Oppgave 6.4: Blokkdiagram av et tilbakekoplet system c. Velg én K r -verdi (f.eks. 0) som gir asymptotisk stabilt system. Skriv opp M(s), som blir av. orden. Finn forsterkningen K og tidskonstanten T for M(s).

5 Oppgaver til Dynamiske systemer 3 Løsning 5.2 a. Avlesning i figur 29 viser at amplitudefunksjonen ved frekvens 0, rad/s for det uregulerte systemet er A uregulert (0, ) 0 db = (7.528) b. Avlesning i figur 30 viser at amplitudefunksjonen ved frekvens 0, rad/s for det regulerte systemet er A regulert (0, ) 32 db =0, 025 (7.529) Med regulering er altså utslaget i T pga. T i ca. 40 ganger mindre sammenliknet med det uregulerte tilfellet. Løsning 6. H (s) = s + er asymptotisk stabil siden polen p = ligger i venstre halvplan. H 2 (s) = s +s er asymptotisk stabil siden polen p = ligger i venstre halvplan. H 3 (s) = s er ustabil siden polen p =ligger i høyre halvplan. H 4 (s) = (s +)(s ) er ustabil sidenénavpolene,p =, ligger i høyre halvplan. (7.530) (7.53) (7.532) (7.533) H 5 (s) = (7.534) s er marginal stabil siden polen p =0ligger i origo, som er på den imaginære akse, og polene på imaginæraksen er enkle. H 6 (s) = s 3 (7.535) er ustabil siden det er multiple poler, p,2,3 =0, på imaginæraksen. H 7 (s) = e s s + (7.536)

6 4 Oppgaver til Dynamiske systemer er asymptotisk stabil siden p = ligger i venstre halvplan. H 8 (s) = s + er asymptotisk stabil siden p = ligger i venstre halvplan. (7.537) H 9 (s) = s 2 (7.538) s + er ustabil. Minst én av polene vil nemlig ligge i høyre halvplan siden noen av koeffisientene har forskjellige fortegn. H 0 (s) = s 2 + s + er asymptotisk stabil.poleneer (7.539) p,2 = ± 2 4 = ± j 3 (7.540) 4 4 som begge ligger i venstre halvplan. H (s) = s 2 (7.54) + er marginal stabil siden polene er p,2 = ±j, som ligger på den imaginære akse og er enkle. H 2 (s) = (7.542) (s +)s er marginal stabil siden én av polene, p =0, ligger på den imaginære akse og er enkel. Løsning 6.2 Egenverdiene er s-røttene i den karakteristiske likning a(s): a(s) = 0 = det(si A) (7.543) µ 0 0 = det s (7.544) 0 2 µ s = det (7.545) s +2 = s(s +2) ( ) (7.546) = s 2 +2s + (7.547) = (s +)(s +) (7.548)

7 Oppgaver til Dynamiske systemer 5 som har løsninger s = (7.549) s 2 = som er systemets egenverdier. Alle systemets poler ligger i venstre halvplan, og systemet er derfor asymptotisk stabilt. Løsning 6.3 a. a(s) skal ha verdi 0 for hver av polene. K p er 2. Vi får a(p ) p = 2 = p 3 +2p 2 + p + K p (7.550) = ( 2) 3 +2( 2) 2 +( 2) + 2 (7.55) = 0Stemmer! (7.552) a(p 2 ) = j 3 +2 j 2 + j +2 (7.553) = j 2+j +2 (7.554) = 0Stemmer! (7.555) a(p 3 ) = ( j) 3 +2 ( j) 2 +( j)+2 (7.556) = j 2 j +2 (7.557) = 0Stemmer! (7.558) b. Figur 53 viser polkurvene som funksjon av K p. Reguleringssystemet blir ustabilt for K p > 4. For økende K p går den ene av polene lenger og lenger mot venstre i venstre halvplan, mens de andre to polene er kompleks konjungerte og går lenger og lenger mot høyre i høyre halvplan. Det siste innebærer at systemet er ustabilt (for K p større enn 4). Løsning 6.4 a. H p (s) har pol lik +, som ligger i høyre halvplan, hvilket betyr at systemet er ustabilt. b. Transferfunksjonen fra r til y kan finnes slik: Fra blokkdiagrammet ser vi at som løst mhp. y(s) gir y(s) =H p (s)h r (s)[r(s) y(s)] (7.559) M(s) = H p(s)h r (s) +H p (s)h r (s) = s K r + s K = r K r +K r s (7.560)

8 6 Oppgaver til Dynamiske systemer Im Polkurver for økende K p j,0 2,0 4,0 2,0 0,25 0,25 4,0,0 0, -2 - K p =0, 0, 0,25 Re,0 -j 2,0 4,0 Figur 53: Løsning 6.3: Polkurvene som funksjon av K p Polen p er roten i den karakteristiske likning a(s) =+K r s =0 (7.56) som gir p =+K r (7.562) Polen havner i venstre halvplan dersom p =+K r < 0 (7.563) hvilket gir at systemet er asymptotisk stabilt for c. Velger K r = 0: K r < (7.564) M(s) = K r +K r s = 0 0 s = 0 s +9 = 0/9 9 s + = K Ts+ (7.565)

9 Oppgaver til Dynamiske systemer 7 Forsterkningen blir K =, (7.566) og tidskonstanten blir T =0, (7.567) Løsning 7. Vi skriver først opp regresjonsmodellen (7.9) i læreboken: 3, 4 3, 8 3, 7 3, 6 {z } y = {z } Φ {z} K θ (7.568) LS-estimatet kan beregnes fra (7.3) i læreboken: θ LS = K LS (7.569) = (Φ T Φ) Φ T y (7.570) = 3, 4 3, 8 3, 7 (7.57) 3, 6 = 3, 625 (7.572) Løsning 7.2 K er gitt ved modellen som er på standardformen (7.4) i læreboken. y k = K (7.573) = K (7.574) = ϕθ (7.575)