TMA 4110 Matematikk 3 Høsten 2004 Svingeligningen med kompleks regnemåte

Transkript

1 TMA 4 Matematikk Høsten 4 Svingeligningen med kompleks regnemåte H.E.K., Inst. for matematiske fag, NTNU Svingeligningen forekommer i mange sammenhenger, og ofte vil vi møte regning og utledninger der den påtrykte kraften, eller mer generelt eksitasjonen (høyresiden i ligningen), skrives r (t) = ae iωt. Dette ser jo merkelig ut. Hvordan kan, for eksempel, en reell kraft være kompleks? Hensikten med dette lille notatet er å avmystifisere regnemåten og vise at det ikke er helt uten grunn at den har blitt populær. Notatet kan godt gjemmes (eller glemmes) til en får bruk for det, for eksempel i forbindelse med dynamisk analyse av konstruksjoner. Det hele er altså kun en litt smart måte å regne på. Samme beregning kan gjennomføres med reelle funksjoner (slik vi finner det i Kreyszig, avsn..), og sluttsvaret, - som er det som betyr noe, vil bli det samme. Utgangspunktet er svingeligningen med en periodisk eksitasjon: d y (t) dt dy (t) + c + ω dt y (t) = a cos (ωt). () Her har vi allerede delt på massen, slik at ligningen er på standardformen. Løsningen til lign. kan skrives y (t) = y H (t) + y P (t), () der y H er generell løsning av den homogene ligningen og y P er en partikulærløsning. Vi har allerede sett hvordan vi finner y H, og vet at hvis dempningen c er større enn, noe vi skal anta her, vil løsningen dø ut med tiden. Ingeniører kaller y H (t) for den transiente delen av løsningen, eller bare transienten. Transienten avhenger av startbetingelsene. Etter at transienten har dødd ut, er løsningen lik y P, og det er denne løsningen vi nå skal ta for oss. Nedenfor bruker vi ẏ og ÿ om de tidsderiverte. La oss videre skrive y R og y I om løsningene til ligningene ÿ R + cẏ R + ω y R = a cos (ωt), () ÿ I + cẏ I + ω y I = a sin (ωt). (4)

2 Vi multipliser den nederste ligningen med i og summerer. Dette gir oss (ÿ R + iÿ I ) + c (ẏ R + iẏ I ) + ω (y R + iy I ) = a [cos (ωt) + i sin (ωt)] = ae iωt. Deretter setter vi slik at vi får én kombinert ligning, Y = y R + iy I, Ÿ + cẏ + ω Y = ae iωt. (5) Når vi kjenner løsningen Y (t) til ligning 5, finner vi altså løsningene til både ligning og 4 ved å regne ut y R = Re (Y ), y I = Im (Y ). Fra ubestemte koeffisienters metode ser vi at partikulærløsningen til lign. 5 kan være på formen Y P (t) = Zae iωt, der Z nå er en kompleks konstant. Dette setter vi inn i lign. 5 og får: Za ( (iω) ) + c (iω) + ω e iωt = ae iωt eller, etter å ha forkortet, Partikulærløsningen blir følgelig Z (ω) =. (6) ω + c (iω) + ω Y P (t) = ω ω + icω aeiωt. Stort enklere kan det ikke bli, men vi må naturligvis regne ut realdelen av dette for å finne y p i lign. (og ). Konstanten Z, som altså er en funksjon av ω med c og ω som parametre, kalles for en transferfunksjon. Vi kan skrive ( ω ω ) + i (cω) = Re iφ (7) og ser da lett at R = (ω ω ) + (cω), cω φ = arctan (ω ω ). (8)

3 Legg merke til (fra ligning 7) at siden c er større enn, vil vi ha: Tilslutt finner vi Z (ω) = ω = : φ =, < ω < ω : < φ < π, ω = ω : φ = π, π ω < ω : < φ < π, ω : φ π. og partikulærløsningen til lign. blir følgelig R (ω) e iφ(ω) = R (ω) e iφ(ω), (9) y p (t) = Re (Y P (t)) = Re ( Zae iωt) ( ) e i(ωt φ) = a Re R = a cos [ωt φ (ω)] R (ω) () Vi finner altså y p (t) ganske enkelt ved å multiplisere eksitasjonen med en forsterkningsfaktor, Z (ω) = R (ω), () og trekke fra en fasevinkel, φ (ω), i argumentet for cosinus. Funksjonene Z (ω) og φ (ω) er tegnet opp for noen verdier av c/ω i figur. Dette er figurer som fins i alle bøker om svingninger (en litt unøyaktig utgave er vist på s. 6 i Kreyszig. Merk også at der skrives ligningen med c istedet for c). På figur er det vist noen få løsninger for problemet y + cy + ω y = cos(ωt), y() =, ẏ () =, for c/ω =. (de blå kurvene på figur ) og ω = (egensvingeperioden er altså π). Øverst er ω = ω /, og responsen følger etterhvert eksitasjonen sånn noenlunde. Deretter er ω = ω og vi har resonans. Her bygger responsen seg opp til en amplitude som er.5 ganger større enn eksitasjonen! Dessuten kommer maksimum respons en kvart periode etter maksimum eksitasjon (φ = π/). Nederst er ω = ω og nå greier ikke massen helt å følge med. Eksitasjon og respons svinger nesten i motfase (φ π). Stemmer alt dette med figur?

4 Z(ω) ω/ω 8 5 φ(ω) [deg] ω/ω Figure : Forsterkningsfaktor Z og faseforskyvning φ for noen verdier av c/ω. Her svarer c/ω < til underkritisk, c/ω = svarer til kritisk, og c/ω > svarer til overkritisk dempning 4

5 ω = ω / Eksitasjon og løsning Tid ω = ω Eksitasjon og løsning Tid ω = *ω Eksitasjon og løsning Tid Figure : Eksitasjon (rød) og løsning (blå) for c =. og ω =, for ω = ω /, ω og ω. 5

6 Løsningene er regnet ut numerisk vha. Matlab. De analytiske uttrykkene blir litt grisete, men ikke vanskelig å regne ut. Hvis c = og ω = ω, vil problemet ha partikulærløsningen ÿ + ω y = a cos (ω t) () y P (t) = a ω t sin (ω t). () (sjekk!). Her vil derfor amplituden vokse lineært med tiden. Slik går også løsningen for ω = ω på figur i starten, men der stabiliserer amplituden seg på verdien R (ω ) = =, (ω ω) + (cω ) cω Den komplekse regnemåten har sin store fordel når vi ser på mer kompliserte ligninger. Men det er ikke så enkelt å huske formlene i lign. 8, mens utledningen av partikulærløsningen til lign. 5 kan skrives opp umiddelbart, og mye mer direkte enn å plundre med cos og sin. 6