NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi

Transkript

1 NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi Løsningsforslag til eksamen i FYS35, ELEKTROMAGNETISME, høst 004. (med forbehold om feil) Oppgave a) Dersom vi hadde hatt magnetiske monopoler ville vi hatt en kilde til magnetisk felt, q m, på samme måte som elektrisk ladning, q, er en kilde for elektrisk felt. Dermed ville vi også hatt en strøm av slike magnetiske monopoler, I m, på samme måte som vi har en elektrisk strøm, I. Gauss lov for magnetisme og Faradays induksjonslov må dermed bli annerledes og få henholdsvis samme form som Gauss lov for elektrisk felt (altså at vi har et kildeledd som involverer q m på høyre side) og som Ampère-Mawells lov (hvor vi også har at en strøm kan være opphav til et felt). b) Størrelsen, S, til Poyntings vektor beskriver strålt effekt gjennom en enhetsflate normaltpå strålingsretningen. Intensiteten, I, er gjennomsnittet av S. S = µ 0 (E B). Antar E B og at vi har plane, lineære bølger som kan uttrykkes som Vi får dermed E = E m cos(k ωt), B = B m cos(k ωt). I = S av = E m B m cos (k ωt)) = E mb m (cos (k ωt) + cos (k ωt)) = E mb m (cos (k ωt) + sin (k ωt)) = E mb m = E mb m cos (k ωt) + sin (k ωt) = E mb m c) Bruker Gauss lov og legger en gaussflate konsentrisk om kuleskallet. Dersom r < R har vi ingen netto ladning innenfor Gaussflaten, og elektrisk felt og dermed krafen må være null.

2 For r > R får vi fra Gauss lov S E da = Q ɛ 0 E4πr = Q ɛ 0 E = Q 4πɛ 0 r i retning ˆr, dvs ut fra Q. Kraften blir dermed F = 4πɛ 0 qq r ˆr d) For r > R får vi ved å bruke Gauss lov det samme som vi fikk utenfor kuleskallet i oppgave c. For r < R har vi at ladningstettheten må være gitt ved ρ = Q/V hvor V = 4πR 3 /3 er volumet til kula. Elektrisk felt blir dermed E da = q in S ɛ 0 e) For r > R: E4πr = ρv in 4 3 πr3 E4πr = E = E = ɛ 0 Q πr3 ɛ 0 3 πr3 Q 4πɛ 0 R 3 r Q 4πɛ 0 R 3 r ˆr r V r>r = E ds = Q r 4πɛ 0 r dr = Q 4πɛ 0 [ r ] r = Q 4πɛ 0 r For r < R: V r<r V r=r = r Q R 4πɛ 0 R 3 r dr = Q [ ] r 4πɛ 0 R 3 r = Q [ 8πɛ 0 R 3 r R ] r R ] + [ Q 3 4πɛ 0 R r ] R 3 V r<r = Q 8πɛ 0 R 3 [ = Q 4πɛ 0 R R

3 f) Vi har her et kulesymmetrisk problem. Dersom vi da skal ha null elektrisk felt mellom r a og r b får vi fra Gauss lov at ladning innenfor enhver kuleformet gaussflate mellom r a og r b (og konsetrisk om kula) må være lik null. For å tilfredsstille dette kravet, må r = r = r a og r 3 = r 4 = r b. (Dette samsvarer med hvordan ladningen ville fordelt seg på en ideell leder, hvor også elektrisk felt må være lik null.) Oppgave a) Likningen ε = N dφ B dt = L di dt. forteller at indusert spenning over N strømsløyfer (solenoide) er proporsjonal med tidsvariasjonen av forandring av magnetisk fluks gjennom løkkene, noe som er gitt av Faradays lov. Amperè-Mawells lov sier at dersom det går en strøm i en leder vil det bli skapt et magnetfelt rundt lederen som er proporsjonalt med strømmen. Hvis vi tidsforandrer denne strømmen vil vi dermed få en tidsvarierende magnetisk fluks gjennom løkkene, som igjen setter opp en spenning. Dette kalles selvinduksjon, og proporsjonalitetskonstanten L kalles induktans. b) Strømmen over en induktans er gitt ved I = I 0 cos ωt. Kirchoffs lov gir dermed ε L di dt = 0 ε = LI 0 ω sin ωt = ωli 0 cos(ωt π/) = ωli 0 cos(ωt + π/) I Ohms generaliserte lov og bruk av kompleks impedans kommer dette fram ved at kompleks impedans for induktansen er gitt ved Z = iωl, hvor det faktum at impedansen er rent imaginær betyr at den forskyver spenningen med π/ i forhold til strømmen når vi bruker Ohms genearliserte lov. Ohms generaliserte lov: I = I 0 cos ωt I = I 0 e iωt V = Z L I V = iωli 0 e ωt 3

4 Og siden Eulers formel gir oss at i = e i π får vi V = ωli 0 e ωt+pi/ og dermed er spenningen V = R{V} = ωli 0 cos(ωt + pi/). y y 0 0 h Bin h Bin Figure : Til oppgave c). c) Gitarstrengens posisjon (se figur, venstre) er gitt ved Indusert spenning er gitt ved y = (a sin k) cos ωt. ε = dφ B dt, og hvis vi tenker oss at vi trekker en lukket sløyfe om magneten (se figur, høyre) vil fluksen gjennom sløyfen være (A er arealet fra y = 0 til magnetens ende multiplisert med feltets høyde) Φ B = ( 0 +h ) 0 +h B da = B y d + A 0 ( ) 0 +h = BA + B (a sin k) cos ωt d 0 [ ] a =0 +h = BA B k (cos k) cos ωt 0 = 0 = BA ab k (cos[k( 0 + h)] cos k 0 ) cos ωt 4

5 Dermed blir indusert spenning ε = d dt ( BA ab ) k (cos[k( 0 + h)] cos k 0 ) cos ωt = abω k (cos[k( 0 + h)] cos k 0 ) sin ωt = aωb k (cos k 0 cos[k( 0 + h)]) sin ωt. hvor 0 er avstanden fra øverste nodepunkt til magnetfeltet og h er høyden til området med homogent magnetfelt. I parentes kan det nevnes at bølgefarten er v = ω k og denne kan også relateres til strengens snordrag T og lineære massetetthet µ, v = T µ. Man kan også se, gjennom k = π/λ og ω = πf, at ω k = λf, hvor λ er gitt av strengen lengde, og frekvensen f gjenspeiles i tonen som blir spilt, at toner med høy frekvens (lyse toner) indusere større spenning enn toner med lav frekvens (mørke toner). Oppgave 3 a) Kompleks impedans i en RLC-krets: hvor Z R = R Z L = iωl Z C = i ωc For seriekoplede elementer kan vi summere impedansene: Gitt vekselspenning ( Z RLC = R + i ωl ) = Ze iφ ωc Z = R + (ωl ωc ) φ = arctan ωl ωc R V (t) = V 0 cos ωt V = V 0 e iωt 5

6 Og strømmen blir dermed I = V 0 Z ei(ωt φ) I(t) = V 0 Z cos(ωt φ) () b) Fasordiagrammet til RLC-kretsen består av visere som representerer spenningene over hvert element, samt en viser som representerer strømmen, og en viser som representerer total spenning (sum av elementenes spenning) i kretsen. Dette billedligjør hvordan spenningene og strømmen er forskjøvet i forhold til hverandre. Alle viserene roterer med tiden med vinkelfarten gitt ved ω. Se figur for fasordiagram. Im V L V C V V R φ I ω Re Figure : Fasordiagram for serie RLC-krets. c) Resonans forekommer ved den frekvensen som gir maksimal strøm, dvs at impedansmodulen Z er minimal (se likning ()). Fra uttrykket for Z ser vi at den er minimum for ωl ωc = 0 ω = Ved å tegne et impedanstriangel kan vi se at LC cos φ = R Z 6

7 Gjennomsnittlig levert av spenningskilden kan dermed uttrykkes P av = V rms I rms cos φ = V rmsr Z = = V rmsrω VrmsR ω R + (ωl ωc ) ω R ω + (ω L = VrmsRω C ) R ω + L (ω ω0 ) hvor ω 0 = / LC er resonansvinkelfrekvensen. d) Kvalitetsfaktoren til kretsen er gitt ved Q = ω 0 ω hvor ω er bredden på effektkurven fra oppg c der hvor effekten er halvparten av sin maksimalverdi (maksimum intreffer ved resonansfrekvensen ω 0 ). Kvalitetsfaktoren reflekterer derfor hvor spiss effektkurven er. y V(t) R 0 h Bin L C Figure 3: Til oppgave 3 d). e) Resonans er nå gitt ved w l = / (L + L)(C + C). Dersom dette skal være det samme som i oppgave c får vi (L + L)(C + C) = LC C = LC L + L C = C + L L Merk: Det er en tvilsom antakelse å si at strengen har en induktans (se kommentar på slutten av løsningsforslaget). Dersom noen har påpekt dette blir de belønnet. f) Siden det er en tvilsom antakelse å si at strengen har induktansegenskap lanseres her to løsninger. Studenten får full score enten han/hun har valgt den ene eller andre metoden. 7

8 løsning : Her antar vi at strengen har en induktansegenskap, slik oppgaven impliserer: Strengen er seriekoplet i RLC-kretsen, og forandrer dens impedans ved resonans på en måte som tilsier at den er gitt ved Z l = R + iω 0 L. Kretsen er i resonans, og kretsens komplekse strøm er derfor gitt ved I = V Z RLCl,res = V 0 R + R eiωt. Dermed blir kompleks spenning over strengens induktans V = Z L I = iω 0 LV 0 R + R ei(ωt) = iω 0 LV 0 R + R ei(ωt+π/). Denne potensialforskjellen over endepunktene av strengen må være den samme potensialforskjellen som ble regnet ut i oppgave c (med unntak av en faseforskyvning som kommer av at tiden t = 0 nå er satt når påtrykt spenning er maksimal, i stedet for når strengen har null utslag). Dermed får vi ω 0 LV 0 R + R = aω 0B (cos k 0 cos[k( 0 + h)]) k L V 0 k a = R + R B(cos k 0 cos[k( 0 + h)]) løsning : Det ser ut til at antakelsen om at strengen har en induktansegensap er tvilsom. For at strengen skal tilfredsstille bølgelikningen (slik den må gjøre når den svinger i sin fundamentalfrekvens) må strømmen i kretsen vær lik null (se kommentar), slik at det ikke virker magnetiske krefter på strengen. Dette oppfylles ved at den induserte spenningen fra kretsen er like stor men motsatt rettet av kretsens påtrykte spenning, og dermed får vi V 0 sin ωt = aω 0B (cos k 0 cos[k( 0 + h)]) sin ωt k V 0 k a = ω 0 B(cos k 0 cos[k( 0 + h)]). 8

9 y F B θ 3 T θ s θ T Bin Figure 4: Vibrerende streng. Kommentar til oppgave 3 e) og f): Oppgaven antar at strengen har en impedans på Z = L + R. At strengen har en induktans betyr at den induserte spenningen over strengen kan skrives ε = L di dt. () Vi antar at strømmen kretsen er gitt som en bølgefunksjon: I(t) = I 0 sin(ωt + φ I ) (3) I oppgave c har vi regnet ut at uttrykket for indusert spenning er gitt ved ε = aωb k (cos k 0 cos[k( 0 + h)]) sin ωt. For å tilfredsstille at strengen fungerer som en induktans må likning være oppfylt og ved å derivere 3 får vi at fasen φ I og amplituden I 0 til strømmen er gitt ved φ I = 0 I 0 = ab k L (cos k 0 cos[k( 0 + h)]) Spørsmålet er så: Er antakelsen om at strengen fungerer som en induktans rett? Dersom strengen fungerer som en induktans må kreftene som virker på strengen tilfredsstille bølgelikningen. Vi ser nå på en bit av strengen som er i magnetfeltet (se figur 4). Vi antar at vi har små vinkler θ, slik at s. 9

10 Den magnetiske kraften på linjestykket F B = I s B virker alltid normalt utover på strengen. Summen av krefter på strengen er i y-retningen Fy = T sin θ T sin θ + BI cos θ 3. Og gjennom Newtons lov får vi dermed T (sin θ sin θ ) + BI cos θ 3 = ma y, hvor bitens masse er gitt ved m = µ s µ og aksellerasjonen er gitt ved a y = y. t Siden vi har antatt små vinkler, har vi at cos θ og sin θ tan θ = y Vi får derfor T [ ( ) y T = ( ) y ( ) y ] = ( ) y = = + BI = µ y t + BI = µ y t T y + BI = y µ t. Vi har følgende uttrykk for størrelsene som inngår i likningen: y = (ak sin k) cos ωt y t = (aω sin k) cos ωt I = I 0 cos ωt Ved innsetting ser vi at dette fører til at amplituden til strømmen, I 0, må ha et sin k ledd, altså at den er avhengig av posisjon, hvilket er et ufysisk krav (strømmen må jo være det samme gjennom strengen). Konklusjon: Dersom disse kreftene var de eneste som virket på strengen vil bølgelikningen ikke være tilfredsstilt med mindre den magnetiske kraften var forsvinnende liten. Dersom den magnetiske kraften har en viss størrelse, må det derfor også være andre eksterne krefter som også virker på strengen, eller så vil strengen ikke bevare sin induktansegenskap/stående bølge. Altså: Dersom systemet er i stasjonær tilstand vil strømmen måtte være lik null for at bølgelikningen skal være tilfredsstilt. Dette skjer ved at strengen induserer en spenning som er like stor men motsatt rettet av spenningskilden. I stasjonær tilstand er det således ufysisk å si at strengen har en induktansegenskap, med mindre vi har andre eksterne krefter som virker på strengen slik at den magnetiske kraften blir oppveid. 0