For å finne amplituden kan vi f.eks. ta utgangspunkt i AB=-30 og siden vi nå kjenner B finner vi A :

Transkript

1 Ukeoppgaver INF 1410 til uke 18 (7-30 april) våren 009 Fra kapittel 10 i læreboka: Lett: 10.1, 10.3, 10. Middels: 10.9, 10.11, Vanskelig: 10.13, 10.8, 10., Fra kapittel 14 i læreboka: Lett: 14.1, 14., 14.17, Middels: 14.10, 14.3, Vanskelig: 14.1, 14.0, a) Amplituden er 8.5. Når sinusbølgen har beveget seg fra null til maksimum har den gått igjennom en kvart periode. Dette tok Dt = = 5.4 ms. Vi kan skrive at wdt = p og finner fra denne ligningen at w = i radianer per sekund [rad/s] eller grader/sekund. Faseforskyvningen er -.1ms som tilsvarer.1/5.4 = 38.9% av kvartperioden og vi finner f = p + p» 1.8p (Siden vi skulle ha resultatet innenfor [0,p] måtte vi legge til p ) I grader blir dette 1.8p = p p f t t = 34.0 Fasitsvaret er = 8.5 sin f t t b) Vi har identiteten sin( x ) = cos( x - 90 ). Sinusbølgen i a blir dermed = 8.5 cos For å få minst mulig tall for fasen må vi holde oss innenfor ±180 og fasen blir derfor -15 etter å trukket fra 360 grader. Fasitsvaret er f t = 8.5 cos 90.9 t - 15 c) Her kan gå fra uttrykket i a ved å bruke følgende identitet: sin a ± b = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b) Vi får da: C 3 = 8.5 cos b = 8.5 cos 1.8 p = C 4 = 8.5 sin b = 8.5 sin 1.8 p = Her kan man benytte identiteten cos(a ± b) = cos(a)cos(b) -+ sin(a)sin(b) Legge merke til at pluss på venstre side gir minus på høyre side. Skriver vi opp funksjonen på formen f t = A B cos wt + A C sin wt der faseforskyvningene skal finnes fra B = cos b og C = sin b og vi vet at AB=- og AC=-30. B får vi C = cos b sin b b = atan 30 + p = p = 3.68 = tan b = 3 5 og dermed gir den inverse til tangens-funksjonen oss beta: (Fordi vi ønsker å gi A en positiv verdi legger vi til p ). For å finne amplituden kan vi f.eks. ta utgangspunkt i AB=-30 og siden vi nå kjenner B finner vi A :

2 = For å finne amplituden kan vi f.eks. ta utgangspunkt i AB=-30 og siden vi nå kjenner B finner vi A : A= cos atan 30 = For g(t) får vi på lignende måte beta: atan(-15/55) = dermed blir A: A = 55 cos atan b) For å finne faseforskjellen ser vi på forskjellen til de to beta'ene: p + atan 30 - atan p 360 p = D.v.s. f(t) kommer omtrent 134 grader før g(t) 10. Her bør du også ta en titt på appendiks 5 (A5) a) - 7 j b) 3 + j j = j c) 14 cos j sin 15 d) 1 e) - + j a) Vi ser fra figuren under at v(t=0.4) = 0.8 V b) V c) V d) V Denne oppgaven er lett å løse med LTspice, enkel med phasorer, men skal vi benytte oss av teknikkene tilhørende kapittelet har vi en liten jobb. Se oppgave for en enklere løsningsmetode du kan prøve ut på denne oppgaven. Setter vi opp KVL for kretsen får vi V m cos wt = R i + 1 C i d t På samme måte som i oppgaveteksten har vi en generell løsning på formen i t = I 1 cos wt + I sin wt Setter vi dette inn får vi V m cos wt = R I 1 cos wt + I sin wt t t - I cos w - I 1 sin w t Samler vi opp cos(wt) og sin (wt) får vi: 0 = sin w I R + I t 1 - cos w V m - I 1 R + I For at ligningen skal holde for alle t må begge faktorene foran cos(wt) og sin (wt) være null: 0 = I 1 R - V m - I og 0 = I R + I 1 V og I = - m V - m sin wt Løser vi disse to ligningene finner vi I 1 = w C R V m i t Dette gir = w C R V m cos wt Nå setter vi inn verdiene for w, R og C for å gjøre det litt enklere i fortsettelsen: i t» 0.1 V m cos 5 t V m sin 5 t

3 i t» 0.1 V m cos 5 t V m sin 5 t For å finne fasen benytter vi identiten cos(a ± b) = cos(a)cos(b) -+ sin(a)sin(b) Vi har da cos b = 0.1 V m og sin b = V m Ved hjelp av en invers tangens får vi til slutt fasen: b = arctan cos b sin b t Det vil si at i(t) kan skrives på formen A cos = = V m V m Vi kan også se at bidraget for cosinus-leddet er mye kraftigere og vi får dermed A = 0.1 Vm = 0. = For å finne amplituden kan vi utnytte at A cos + A sin = A i t t Nå har vi funnet = 0. ma cos C Forholdet mellom strøm og spenning i en kondensator er kjent: V C = 1 i d t Dermed finner vi Vc(t): 0. cos 5 t d t V C = 3 V C = sin t mv Siden sin x = cos x - 90 får vi om vi ønsker svaret som en cosinus: V C = cos 5 t µv Vi har admittansen til en kondensator: Y C = Z 1 = jwc C Admittanser i parallell kan summeres opp Y = jwc 1 + jwc + jwc 3 Vinkelfrekvensen ved Hz er 4 p rad/s. Ved innsetting får vi for a) j88 ms b) j8.8s c) j880s d) j8.8gs Her benytter vi kompleks impedans / phasorer, istedet for integro-differensial ligninger (se kap ): Kildetransformasjon gir i s = v s 0 og motstandene i parallell blir W Ny kildetransformasjon gir v s = W v s Vi ser at forskjellen blir liten så vi forenkler på enkleste måte og ser bort i fra motstanden på 60k. Frekvensen er w = 0 rad/s Impedansen i kretsen er da Z = + Z R = R + jwl = 5 + j(0*0.0) = 5 + j10 Kilden kan vi uttrykke som en phasor: V = Ð0 = Med KVL kan vi sette opp en enkel j ligning for kretsen: V = I L + I L Z R Insatt får vi: = I L Løst m.h.p. strømmen får vi I L = 9-4 j 145 = 74.3 Ð-1.8 ma

4 Løst m.h.p. strømmen får vi I L = 9-4 j 145 = 74.3 Ð-1.8 ma Skriver vi opp strømmen som en cosinus tilsvarer dette 74.3 cos ( 0t ) Tips for de som bruker Matlab: Funksjonene angle() og abs() gir deg vinkelen og størrelsen på komplekse tall. Eksempelvis, skriver man inn "angle(1 + 1*j)*360//pi" får man svaret 45 og abs(1 + 1*j) gir svaret Vi setter først opp KVL for de to meshene : 1: V s = I 1 R + j w L - I C R - I1 R : 0 = I C R + 1 j j 40 t + 30 hvor I C = 0 e Vi finner I 1 fra ligning : I 1 = I C R + w 1 C j R j R + w L - IC R Og setter inn i 1: V s = I C R + w 1 C j R Setter så inn verdiene i for w, R, L og C: V s = I C V s = e j t j V s = e j 40 t e j 3.63 V s = e j t = e Svaret på oppgaven blir da: V s = e j 40 t j 40 t Vi kan begynne med å se bort i fra kondensatoren, spolen og motstanden nederst til høyre, da ingen av disse påvirker impedansen på måten de er koblet. Vinkelfrekvensen blir p 10 6 rad/s. Vi tar først for oss impedansen til de fem komponentene øverst til høyre: Z 5 = Z R1 ( + (Z C (Z R + Z C ))) Reglene for å parallellkople impedanser er de samme som for motstander. Vi får derfor: Z 5 = Z R1 - Z C Z C R - Z Z R + Z R1 - Z C Z C R - Z Z R som gir: Z 5 = i Vi ser at realdelen er meget liten og forenkler Z 5 til 0i

5 Vi ser at realdelen er meget liten og forenkler Z 5 til 0i Hele impedansen blir da: Z = jwc 1 + Z5 + jwl dvs. Z» 6. i eller Z» 6. j med engineering-notasjon Skal finne admittansen Yab med en avhengig kilde. Y AB = I AB V AB - V Z + A + V B + V L L Z = 0 C 0.5 V L + V L V Z + L C Z L 1ZL + 1 I AB finner vi fra V L og I AB = V L Setter så opp en ligning med KCL: 0.5 V L + V L Løser denne mhp Va-Vb = Vab V AB = Z C Vi kan her utnytte at vi kjenner verdiene på komponentene og derfor blir Z C = / V AB = V L + Z L Finner så Y AB ved å dele I AB på V AB : Y AB = 1 1 ZL Vi ser at V L forsvant. Setter så inn verdien til = j (Dette kan man godt gjøre med en gang): Y AB = 1 - j Dette tilsvarer admittansene til en motstand på ohm og en spole på henry.