Kap. 14 Mekaniske svingninger. 14. Mekaniske svingninger. Vi skal se på: Udempet harmonisk svingning. kap

Transkript

1 kap Kap. 14 Mekaniske svingninger Mye svingning i dagliglivet: Pendler Musikkinstrument Elektriske og magnetiske svingninger Klokker Termiske vibrasjoner (= temperatur) Måner og planeter Historien og økonomien m.m. Farlige svingninger: 14. Mekaniske svingninger Vi skal se på: Udempet harmonisk svingning x(t) = cos (ω t + φ) Dempet svingning x(t) = e -γt cos (ω d t + φ) Tvungen svingning (resonans) Eksempler: Fjærpendel Matematisk pendel Fysisk pendel Y & F: Kap. 14 (mer enn pensum) H & S: Kap 6 (litt kortfattet) Harmonisk oscillasjon (SHM = Simple Harmonic Motion) Eks: Masse-fjær-pendel (friksjonsfri) Fjærkrefter: F x = - k Δx Newton gir: d /dt x + k/m x = (14.4) Newton gir: d /dt x +ω x = (14.4) der ω = k/m (14.1) løsning: x(t) = cos (ω t + φ) (14.13) m m F x 1

2 kap Posisjon x(t) = cos (ω t + φ) (14.13) φ = fasevinkel, (= i grafen) I romfartøy: Tyngden mangler. Måling av masse ved SHM: Hastighet v(t) = dx/dt = - ω sin (ω t + φ) (14.15) m = k / ω Kjent k Måler ω kselerasjon a(t) = dv/dt = - ω cos (ω t + φ) = -ω x (Fjærpendel: ω = k/m ) (14.16) Letter på toppen eller like før Posisjon x Fra en eksamen (Fysmat des. 9) (flervalgsoppgave) Ei pakke vaskemiddel står oppå en vaskemaskin som er i ferd med å sentrifugere på 1 omdreininger per minutt. Vaskemaskinen vibrerer dermed vertikalt med en amplitude på 1, mm. Vil vaskemiddelpakka på noe tidspunkt miste kontakten med underlaget? Hvorfor, evt. hvorfor ikke? Letter! ksel oppover ksel nedover kselerasjon Letter når a g = 9,81 m/s. Ja, fordi vaskemaskinens maksimale akselerasjon overstiger 9,8 m/s. B. Ja, fordi vaskemaskinens maksimale hastighet overstiger 9,8 m/s. Mulige svar C. Nei, fordi vaskemaskinens maksimale akselerasjon aldri overstiger 9,8 m/s. D. Nei, fordi vaskemaskinens maksimale hastighet aldri overstiger 9,8 m/s. E. Nei, fordi vaskemaskinens maksimale vertikale utsving aldri overstiger 9,8 mm. SHM: ω = πf = π 1/6 1/s = 4π 1/s x = cos(ωt) => a = d x/dt = - ω cos(ωt) a max = ω = (4π), m = 15,8 m/s > g => lt.

3 kap Fra eksamen (Fysmat des. 3) Horisontal svingning. Oppgave 4 En pakke med masse m er plassert på en horisontal plattform som svinger harmonisk langs bakken med periode T. Friksjonskoeffisienten mellom pakken og plattformen er μ og tyngdens akselerasjon er g. Svingeamplituden økes nå langsomt (med konstant T). Ved hvilken amplitude begynner pakken å skli? (Forsøk med en mynt på et papirark.) Friksjonsbegrenset Matematisk pendel (14.5 Simple pendulum) ω = g/l T = π/ω Pakken akselereres av friksjonskrafta som er max F f = μmg, dvs. dens maksimale akselerasjon den kan følge er a max = F f /m = μg. Underlagets akselerasjon er a = - ω cos(ωt), dvs. amplitudeverdi ω = (π/t) Sammenholdt: μg = (π/t) => = ω = μg (T/ π) (Y&F Fig. 14.1b) Feil ved f.eks. 3 O : sin 3 O = sin π/6 =,5 π/6 =,54 sin θ = θ feil med 5 % Matematisk pendel T = π (L/g) Periode ved store vinkelamplituder Φ : (14.35) (Φ θ) 1 o o 3 o 4 o 5 o (Y&F Fig. 14.) 3

4 kap Dempet svingning Svingelikning: d /dt x + γ d/dt x + ω x = (14.41) Tvungne svingninger. Resonans Svingelikning: d /dt x + γ d/dtx+ ω x = f cos ωt bx kx F cos ωt γ << ω svak dempet: x(t) = e γt cos(ω d t + φ) ω d = ω - γ (14.43) γ = ω kritisk dempet: x(t) = ( 1 +t ) e γt γ > ω overkritisk dempet: xt () = e + e α =γ+ γ ω α =γ γ ω α 1t αt 1 1 Fra: Etter kort tid bestemmer pådraget frekvensen: x(t) = cos(ω t - δ) mplitude og fase δ bestemmes av ω og γ: f = (14.46) ω ) + ( γω ) γω tan δ= ω ω Resonans (stor ) når ω = ω = ω ) + ( γω ) f i log-log-plot med ζ = γ/ω = 1/ (svært svak demping) ) () ω /ω Tacoma Narrows Bridge on the morning of Nov. 7, 194. The bridge was an unusually light design, and, as engineers discovered, peculiarly sensitive to high winds. Rather than resist them, as most bridges do, the Tacoma Narrows tended to sway and vibrate. On November 7, in a 4-mile-per-hour wind, the center span began to sway, then twist. The combined force of the winds and internal stress was too great for the bridge, and it self-destructed. No one was killed, as the bridge had been closed because of previous swaying. This is one of the best-known and most closely studied engineering failures, thanks in large part to the film and photographs that recorded the collapse. Full video: 4

5 kap Mekaniske svingninger. Oppsummering Mekaniske svingninger. Oppsummering Udempet harmonisk oscillasjon (SHM) Kriterium SHM: Krafta som trekker mot likevekt er prop. med avstand x (eks. F = - kx ) Dette gir fra Newton : d /dt x +ω x = med løsning: x(t) = cos (ω t + φ) masse/fjær: ω = k/m tyngependel (matematisk): ω = g/l fysisk pendel: ω = mgl/i (seinere) Dempet harmonisk oscillasjon d /dt x + γ d/dt x + ω x = med løsning: x(t) = e -γt cos (ω d t + φ) (svak dempning γ < ω ) ω d = ω - γ Tvungen svingning (resonans) d /dt x + γ d/dt x + ω x = F /m cos ωt med løsning x(t) = cos(ω t - δ) F / m ) = () ω ) + ( γω ) γω tan δ= ω ω Resonans (stor ) når ω = ω Mer om energi seinere: Totalenergien E tot = E k (t) + E p (t) er konstant og svinger mellom E k (t) og E p (t) E p (t) prop. med x for alle svingninger Fjærpendel: E p (t)= ½ k x ω /ω 5