Formelsamling Bølgefysikk Desember 2006

Transkript

1 Vedlegg 1 av 9 Formelsamling Bølgefysikk Desember 2006 Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent. Harmonisk plan bølge: ξ(x, t) = ξ 0 sin(kx ωt + φ) ξ(r, t) = ξ 0 sin(k r ωt + φ) Bølgeligning: 2 ξ(r, t) ( 2 ξ(x, t) = 1 2 ξ(x, t) x 2 v 2 t 2 ) 2 ξ x ξ y ξ z 2 = 1 v 2 2 ξ(r, t) t 2 Fasehastighet: Gruppehastighet: ω k v g = dω dk Generelt for ikkedispersive udempede bølger: elastisk modul massetetthet Generelt for lineær respons i elastiske medier: mekanisk spenning = elastisk modul relativ tøyning For transversale bølger på streng: For longitudinale bølger i fluider: For longitudinale bølger i faste stoffer: S µ B ρ Y ρ

2 Vedlegg 2 av 9 Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over bølgelengde λ: A = λ 0 A(x, t) dx λ 0 dx = 1 λ λ 0 A(x, t) dx Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over periode T: A = T 0 A(x, t) T 0 = 1 T T 0 A(x, t) Midlere energi pr lengdeenhet for harmonisk bølge på streng: ε = 1 2 µω2 ξ 2 0 Midlere energi pr volumenhet for harmonisk plan bølge: ε = 1 2 ρω2 ξ 2 0 Midlere effekt transportert med harmonisk bølge på streng: P = vε = 1 2 vµω2 ξ 2 0 Intensitet i harmonisk plan bølge: I = vε = 1 2 vρω2 ξ 2 0 Midlere impulstetthet for harmonisk bølge: π = ε v Ideell gass: pv = Nk B T Varmekapasitet ved konstant trykk (Q = varme): C p = ( ) dq dt p Varmekapasitet ved konstant volum (Q = varme): C V = ( dq dt ) V

3 Vedlegg 3 av 9 Adiabatiske forhold (dvs ingen varmeutveksling): pv γ = konstant Adiabatkonstanten: γ = C p C V Gass med 1-atomige molekyler: γ = 5/3. Gass med 2-atomige molekyler: γ = 7/5. Bulkmodul for ideell gass ved adiabatiske forhold: Lydhastighet i gass (m = molekylmassen): B = γp γp ρ = γkb T m Lyrykk: Lydnivå: p = B ξ x β(db) = 10 log I I 0 med I 0 = W/m 2 Dopplereffekt: ν O = 1 v O/v 1 v S /v ν S For sjokkbølger: sin α = v v S

4 Vedlegg 4 av 9 Transversal bølge på streng med massetetthet µ 1 for x < 0 og µ 2 for x > 0, innkommende bølge propagerer i positiv x-retning: Amplitude for reflektert bølge: Amplitude for transmittert bølge: Refleksjonskoeffisient: Transmisjonskoeffisient: y r0 = y t0 = µ2 µ 1 µ2 + µ 1 y i0 2 µ 1 µ2 + µ 1 y i0 R = P r P i T = P t P i Plan lydbølge normalt inn mot grenseflate i x = 0 mellom to medier med elastiske moduler og massetettheter henholdsvis E 1, ρ 1 (for x < 0) og E 2, ρ 2 (for x > 0), innkommende bølge propagerer i positiv x-retning: Amplitude for reflektert bølge: Amplitude for transmittert bølge: ξ r0 = ξ t0 = ρ2 E 2 ρ 1 E 1 ρ2 E 2 + ρ 1 E 1 ξ i0 2 ρ 1 E 1 ρ2 E 2 + ρ 1 E 1 ξ i0 Refleksjonskoeffisient: Transmisjonskoeffisient: R = P r P i T = P t P i

5 Vedlegg 5 av 9 Maxwells ligninger på integralform: E da = q/ε 0 Maxwells ligninger på differensialform: B da = 0 E dl = d B da d B dl = µ 0 I + µ 0 ε 0 E da E = ρ/ε 0 Lorentzkraften: B = 0 E = B t B = µ 0 j + µ 0 ε 0 E t F = q (E + v B) Bølgeligning for E og B i vakuum: Energitetthet i elektromagnetisk felt: Intensitet i elektromagnetisk bølge: 2 E = 1 c 2 2 E t 2 2 B = 1 c 2 2 B t 2 c = 1/ ε 0 µ 0 u = u E + u B = 1 2 ε 0E µ 0 B 2 I = cε 0 E 2 = cε 0 E 2 Poyntings vektor: Impuls i elektromagnetisk bølge: S = 1 µ 0 E B π = µ 0 ε 0 S

6 Vedlegg 6 av 9 Elektrisk dipolmoment: Magnetisk dipolmoment: p = qd m = IA Midlere utstrålt effekt fra oscillerende elektrisk dipol p 0 cos(ωt): P = p2 0ω 4 12πε 0 c 3 Midlere utstrålt effekt fra oscillerende magnetisk dipol m 0 cos(ωt): P = µ 0m 2 0 ω4 12πc 3 Malus lov: I(θ) = I 0 cos 2 θ Lineære medier: P = ε 0 χ e E D = ε 0 E + P = ε 0 (1 + χ e )E = ε 0 ε r E = εe M = χ m H B = µ 0 H + M = µ 0 (1 + χ m )H = µ 0 µ r H = µh D da = q fri B da = 0 E dl = d B da H dl = I fri + d D da D = ρ fri B = 0 E = B t H = j fri + D t u = 1 2 εe µ B2 S = 1 µ E B

7 Vedlegg 7 av 9 For elektromagnetiske bølger i medier (q fri = I fri = 0): 2 E = 2 B = 1 2 E v 2 t B v 2 t 2 1 = c = c εµ εr µ r n Grenseflatebetingelser (q fri = I fri = 0 i grenseflaten): D = 0 E = 0 B = 0 H = 0 Refleksjon og brytning: θ r = θ i Youngs eksperiment med to smale spalter: Diffraksjonsgitter med N smale spalter: n 1 sin θ i = n 2 sin θ t ( ) πd I(θ) = 4I 0 cos 2 λ sin θ ( sin 2 Nπd sin θ) λ I(θ) = I 0 sin ( 2 πd sin θ) λ Diffraksjon fra en spalte: ( πa I(θ) = I(0) sin2 sin θ) λ ( πa sin λ θ) 2

8 Vedlegg 8 av 9 Lorentzfaktor: γ = ( 1 v 2 /c 2) 1/2 Lorentztransformasjonene (S har hastighet vˆx i forhold til S): x = γ (x vt) y = y z = z t = γ (t v ) c 2x x = γ (x + vt) y = y z = z t = γ (t + v ) c 2x Tidsdilatasjon: Lengdekontraksjon: t = γ t x = γ x Hastighet i S (u = u xˆx + u y ŷ + u z ẑ): u x = dx/ u y = dy/ u z = dz/ Hastighet i S (u = u xˆx + u y ŷ + u z ẑ): u x = dx/ u y = dy/ u z = dz/ Addisjon av hastigheter (alle hastigheter i samme retning): v AC = Dopplereffekt for elektromagnetiske bølger: ν = ν v AB + v BC 1 + v AB v BC /c 2 ( ) c v 1/2 c + v

9 Vedlegg 9 av 9 Relativistisk impuls: Newtons 2. lov: p = γmv F = dp Energi: E = γmc 2 E 0 = mc 2 E k = E E 0 E 2 = (pc) 2 + ( mc 2) 2 Elastisk prosess: E, p, E k og m bevart. Uelastisk prosess: E og p bevart.