Kap. 14 Mekaniske svingninger

Transkript

1 Kap. 14 Mekaniske svingninger Mye svingning i dagliglivet: Pendler Musikkinstrument Elektriske og magnetiske svingninger Klokker Termiske vibrasjoner (= temperatur) Måner og planeter Historien og økonomien m.m. Farlige svingninger:

2 Tacoma Narrows Bridge on the morning of Nov. 7, 194. The bridge was an unusually light design, and, as engineers discovered, peculiarly sensitive to high winds. Rather than resist them, as most bridges do, the Tacoma Narrows tended to sway and vibrate. On November 7, in a 4-mile-per-hour wind, the center span began to sway, then twist. The combined force of the winds and internal stress was too great for the bridge, and it self-destructed. No one was killed, as the bridge had been closed because of previous swaying. This is one of the best-known and most closely studied engineering failures, thanks in large part to the film and photographs that recorded the collapse. Full video:

3 Brusvinginger i Norge, stormen «Lena» 9. aug. 214, Tofterøybrua mellom Sotra og Toftøya utenfor Bergen:

4 14. Mekaniske svingninger Vi skal se på: Udempet harmonisk svingning x(t) = A cos (ω t + φ) Dempet svingning x(t) = A e -γt cos (ω d t + φ) Tvungen svingning (resonans) Eksempler: Fjærpendel Matematisk pendel Fysisk pendel Y & F: Kap. 14 (mer enn pensum) L & L: Kap. 9 (mer enn pensum, spesielt å løse diff.likn.) H & S: Kap 6 (litt kortfattet)

5 Harmonisk oscillasjon (SHM = Simple Harmonic Motion) Eks: Masse-fjær-pendel (friksjonsfri) Fjærkrefter: F x = - k Δx Newton 2 gir: d 2 /dt 2 x + k/m x = (14.4) m m F x

6 Newton 2 gir: d 2 /dt 2 x +ω 2 x = (14.4) der ω 2 = k/m (14.1) løsning: x(t) = A cos (ω t + φ) (14.13) Frekvens ω = k/m Stiv fjær: stor k, høy frekvens Stor masse: stor m, liten frekvens -φ

7 I romfartøy: Tyngden mangler. Måling av masse ved SHM: m = k / ω 2 Kjent k Måler ω

8 Harmonisk svingning: x(t) = A cos (ω t + φ) (14.13) startamplitude = x = x(t=) = A cos φ (*) startfart = v = dx/dt(t=) = -A ω sin φ (**) gir: tan x v A x v / (14.18) (14.19) v x φ A x(t) = x x cos ω t Enkle eksempler = π/2 v /ω v /ω sin ω t

9 Posisjon x(t) = A cos (ω t + φ) (14.13) φ = fasevinkel, (= i grafen) Hastighet v(t) = dx/dt = - Aω sin (ω t + φ) (14.15) Akselerasjon a(t) = dv/dt = - Aω 2 cos (ω t + φ) = -ω 2 x (Fjærpendel: ω 2 = k/m ) (14.16)

10 x(t) x E p og E k s.f.a tid E p = ½ kx 2 E p E k = ½ mv 2 E k E tot = E p (t)+e k (t) = konstant

11 Energi i SHM (Simple Harmonic Motion) [Y&F ch. 14.3] E p og E k s.f.a posisjon E tot = E p (t)+e k (t) = konstant Pot. energi U = E p og kinetisk energi K = E k

12 Matematisk pendel (14.5 Simple pendulum) θ L F=-mg sinθ For små utsving (sin θ θ ) : d 2 /dt 2 θ +ω 2 θ = med ω 2 = g/l T = 2π/ω mg

13 Feil ved f.eks. 3 O : sin 3 O = sin π/6 =,5 π/6 =,524 (kun 5 % feil) F θ = -mg sin θ F θ -mg θ (Y&F Fig )

14 Matematisk pendel Periode ved store vinkelamplituder θ : T T 1 sin sin T 2 2 L g (14.35) Store utsving: Ikke-harmonisk svingning. Behandles numerisk (Matlab) i Øving 7, opg.4. 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o Amplitude θ

15 A Χ θ d Fysisk pendel (14.6 Physical pendulum) N2-rot gir for små utsving: d 2 /dt 2 θ +ω 2 θ = cm θ ω 2 = mgd/i T 2 2 I mgd mg

16 Svingende fjøl T 2 I mgd (13.39) T 2 I( x) mgx L/2 x L/2 A cm Treg.mom. om hull A: I(x) = I cm + mx 2 (Steiners sats) Treg.mom. om c.m.: I cm = 1/12 m (L 2 +b 2 ) 1/12 m L 2 T(x) med L = 1, m d = x b << L Minimum ved x = L/ 12

17 14. Mekaniske svingninger. Oscillasjoner i neste lab. Inklusiv dempet og tvungen oscillasjon. (Første gruppe starter man )

18 14.7. Dempet svingning Svingelikning: d 2 /dt 2 x + 2γ d/dt x + ω 2 x = (14.41) γ << ω svak dempet: x(t) = A e γt cos(ω d t + φ) ω d2 = ω 2 - γ 2 (14.43) γ = ω kritisk dempet: x(t) = (A + t B) e γt γ > ω overkritisk dempet: x( t) Ae e Be e t t t t Fra: 2 2

19 14.8. Tvungen svingning. Resonans Svingelikning: d 2 /dt 2 x + 2γ d/dt x + ω 2 x = f cos ωt bx kx Etter kort tid bestemmer pådraget frekvensen: x(t) = A cos(ω t - δ) F cos t Amplitude A og fase δ bestemmes av ω og γ: A ( ) (2 ) tan f (14.46) Utledning i eget notat under forelesningsplan Resonans (stor A ) når ω = ω

20 A ( ) (2 ) f i log-log-plot med ζ = γ/ω = 1/2 (svært svak demping) A ( ) A () ω /ω

21 A ( ) A () Figurer: ζ = γ/ω A ( ) (2 ) f A ( ) A () ω /ω δ tan vanlig bruk : ω /ω

22 2A / mm (peak-to-peak) 12 1 Resonanstopp målt for lab-svingeapparat. Pådragsamplitude 4 mm. Liten demping (15 mm gap mellom magneter). (?) Halvverdibredde ca,2 Hz ,5 1 1,5 2 2,5 3 f 1,55 Hz f /Hz

23 14. Mekaniske svingninger. Oppsummering 1 Udempet harmonisk oscillasjon (SHM) Kriterium SHM: Krafta som trekker mot likevekt er prop. med avstand x (eks. F = - kx ) Dette gir fra Newton 2: d 2 /dt 2 x +ω 2 x = med løsning: x(t) = A cos (ω t + φ) masse/fjær: ω 2 = k/m tyngependel (matematisk): ω 2 = g/l fysisk pendel: ω 2 = mgl/i Dempet harmonisk oscillasjon d 2 /dt 2 x + 2γ d/dt x + ω 2 x = med løsning: x(t) = A e -γt cos (ω d t + φ) (svak demping γ < ω ) ω d2 = ω 2 - γ 2

24 14. Mekaniske svingninger. Oppsummering 2 Tvungen svingning (resonans) d 2 /dt 2 x + 2γ d/dt x + ω 2 x = F /m cos ωt med løsning x(t) = A cos(ω t - δ) F / m A ( ) (2 ) 2 tan 2 2 Resonans (stor A ) når ω = ω A ( ) A () ω /ω Energi: Totalenergien E tot = E k (t) + E p (t) er konstant og svinger mellom E k (t) og E p (t) E p (t) prop. med x 2 for alle svingninger Fjærpendel: E p (t)= ½ k x 2

25 Energi: Totalenergien E tot = E k (t) + E p (t) er konstant og svinger mellom E k (max) og E p (max) E p (t) prop. med (utslag) 2 for alle svingninger: Fjærpendel: E p (x) = ½ k x 2 Torsjonspendel: E p (θ) = ½ κ θ 2 Tyngdependel L θ Lcosθ E p (θ) = mgh = mgl(1- cosθ) mgl/2 θ 2 L cosθ 1 ½ θ 2 h = L - Lcosθ

26 Eksempel x Vertikal SHM: Vil kula lette fra underlaget? Letter når klossens akselerasjon nedover er større enn 9,81 m/s 2

27 Letter på toppen eller like før x Posisjon Letter! Akselerasjon Aksel oppover Aksel nedover Letter når a g = 9,81 m/s 2

28 Vertikal svingning. Flervalgsoppgave fra en eksamen Ei pakke vaskemiddel står oppå en vaskemaskin som er i ferd med å sentrifugere på 12 omdreininger per minutt. Vaskemaskinen vibrerer dermed vertikalt med en amplitude på 1, mm. Vil vaskemiddelpakka på noe tidspunkt miste kontakten med underlaget? Hvorfor, evt. hvorfor ikke? A. Ja, fordi vaskemaskinens maksimale akselerasjon overstiger 9,8 m/s 2. B. Ja, fordi vaskemaskinens maksimale hastighet overstiger 9,8 m/s. Mulige svar C. Nei, fordi vaskemaskinens maksimale akselerasjon aldri overstiger 9,8 m/s 2. D. Nei, fordi vaskemaskinens maksimale hastighet aldri overstiger 9,8 m/s. E. Nei, fordi vaskemaskinens maksimale vertikale utsving aldri overstiger 9,8 mm. SHM: ω = 2πf = 2π 12/6 1/s = 4π 1/s x = A cos(ωt) => a = d 2 x/dt 2 = - ω 2 A cos(ωt) a max = ω 2 A = (4π 1/s) 2,1 m = 15,8 m/s 2 > g => Alt. A

29 Horisontal svingning. Fra en eksamen Oppgave 4 En pakke med masse m er plassert på en horisontal plattform som svinger harmonisk langs bakken med periode T. Friksjonskoeffisienten mellom pakken og plattformen er μ og tyngdens akselerasjon er g. Svingeamplituden A økes nå langsomt (med konstant T). Ved hvilken amplitude A begynner pakken å skli? (Forsøk med en mynt på et papirark.) Friksjonsbegrenset Pakken akselereres av friksjonskrafta som er max F f = μmg, dvs. dens maksimale akselerasjon den kan følge er a max = F f /m = μg. Akselerasjonens amplitude = ω 2 A, dermed: a max = μg = ω 2 A, som med ω = 2π/T gir A = μg /ω 2 = μg (T/ 2π) 2