Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Transkript

1 Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller komplekst tall. Hva forteller dette? 1) En egenvektor kan pr. definisjon ikke være en nullvektor 2) Dersom er reell vil avbilde en vektor som er parallell med seg selv. ( Vi kan ha som da følgelig vil gi ) Eksempler: Merk! Siden er en lineær transformasjon må også, hvor Det innebærer at vi har uendelig mange egenvektorer for hver egenverdi. Hvis f.eks. er en egenvektor, vil også alle andre vektorer på -aksen (unntatt ) være en egenvektor, dvs.

2 Hvordan beregne? Vi kan skrive Husk at det finnes uendelig mange egenvektorer for hver. Dette likningssettet må derfor ha uendelig mange løsninger, og det vet vi er mulig bare dersom: (2) vil gi et n te ordens polynom ( karakteristisk likning ): Med andre ord: Likning (2) gir oss alle egenverdiene til A, dvs. Når disse er funnet setter vi hver og en av dem inn i (1) for å finne egenvektorene. Det vil si: *) Det er det samme om vi skriver eller Tilsvarende eller. Resultatet blir det samme.

3 Eksempel 1 Finn egenverdiene og egenvektorene til Vi får: Følgelig vha. (2): Utregnet: Svar: Vi har to egenverdier For å finne egenvektorene setter vi inn i (1) Sitter igjen med likningen. Velger. Det gir, og følgelig egenvektorene F.eks. gir, og følgelig Kommentar: Når vi skal bruke egenvektorene i praksis, spiller det ingen rolle hvilke parameterverdier (s, t) vi velger. I dette eksemplet ville f.eks. eller gjort akkurat samme nytte. Vi kan derfor si at A har egenvektorene og

4 Eksempel 2a) Homogene differenslikninger (rekursive likninger) Gitt differenslikningen, hvor, Finn vha. egenverdier og egenvektorer. Merk!,, osv Vi innser at Generelt: Matrisen A er den samme som i eksempel 1, med egenverdier, og egenvektorer,. Egenvektorene er lineært uavhengige og danner derfor en basis,, for Men da må vi kunne sette Løsning av denne likningen gir og Men husk at selve definisjonen på egenverdier/egenvektorer var. Da må osv. Vi får:

5 Eksempel 2b) Diagonalisering Samme eksempel som 2a), men regnet med matriser. Vi har fortsatt at og Dette kan omskrives til matriseform: Eller med symboler: Hvor: er en egenvektormatrise. I vårt eksempel: er en egenverdimatrise. I vårt eksempel: Vi viste også i eksempel 2a) at og Det må da tilsvarende kunne omskrives til: Med symboler: Alternativt:, osv. Leder til : Betyr i vårt eksempel at :

6 Kommentar til eksempel 2 I 2a) satte vi opp lineærkomb. På matriseform: Koeffisientmatrisen gjenkjenner vi som egenvektormatrisen M Jamført med Emne 7 Vektorrom er ikke dette noe annet en koordinattransformasjon fra basis til standardbasis, dvs. Lineærtransformasjonen vil derfor uttrykt i basis bli til, Hvor ( egenverdimatrisen ) Vi har altså dualiteten: Referert Referert Vi har foretatt en diagonalisering av A ( D er en diagonalmatrise )

7 Eksempel 3. Egenverdier: ( 2 sammenfallende egenverdier ) Egenvektorene finner vi som nevnt av likningen: Med : Velger vi, vil rad 1 gi og rad 2 gi Egenvektor: ( En kontroll for sikkerhets skyld av rad 3 gir ) Med. Her har vi 2 frie variable og kan derfor finne 2 lineært uavhengige egenvektorer. F.eks., Svar: Egenverdier:, Egenvektorer: Transformasjonsmatrisen A er diagonaliserbar, dvs.

8 Eksempel 4 Ikke-diagonaliserbar matrise. Egenverdier: ( 2 sammenfallende egenverdier ) Med :. Velger. Det gir Med : Her ser vi at, og dermed følger at Vi har bare én fri variabel,. Velger og får Merk! Siden vi ikke kan finne 3 lineært uavhengige egenvektorer, er heller ikke A diagonaliserbar. Vi kan altså ikke sette, eksisterer ikke En annen måte å si det på er at egenvektorene ikke kan danne en basis for. er kun basis for et 2-dimensjonalt underrom V (dvs. et plan) Jfr. eksempel 2a) betyr det at: kun dersom må regnes ut som et vanlig matriseprodukt fordi, dvs. Påstand: Dersom (n n)-matrisen A har distinkte (dvs. forskjellige ) egenverdier, kan vi alltid finne lineært uavhengige egenvektorer. A er diagonaliserbar. Dersom vi har 2 eller flere sammenfallende egenverdier (som i eks. 3 og 4), må vi undersøke i hvert enkelt tilfelle om det finnes lineært uavhengige egenvektorer eller ikke.

9 Eksempel 5. Finne egenverdier og egenvektorer ved direkte inspeksjon Speiling om linjen Husk: betyr at avbilder en parallell til seg selv dersom Dersom som vi skal speile om linjen er det åpenbart bare vektorer på linjen og vinkelrett på linjen som oppfyller kravet. Vektor vil speile seg selv, dvs.. Speilbildet av blir en like lang, men motsatt rettet vektor, dvs. Men det betyr jo nettopp at og er egenvektorene til A, med respektive egenverdier og. Dermed har vi Det gir speilingsmatrisen: Kommentar Du har sett et tilsvarende eksempel tidligere (Vektorrom, del 2, eksempel 9), men da brukte vi ikke begrepene egenverdier og egenvektorer.

10 Eksempel 6. Komplekse egenverdier. Røttene og dermed egenverdiene blir: og Innsatt : Fra rad 1: Velger. Det er ganske lett å kontrollere at verdiene også passer inn i rad 2, slik at: Når matrisen A er reell vil både egenverdiene og egenvektorene opptre i komplekskonjugerte par, slik at: Siden egenvektorene er lineært uavhengige er A diagonaliserbar, dvs., hvor som tidligere og. Hva blir da f.eks.? La oss omgjøre egenverdiene til polar form:, Men det betyr f.eks. at : og dermed Eller generelt i dette eksemplet: hvor positivt heltall. og dermed:

11 Eksempel 7 System av 1.ordens homogene differensiallikninger Fra Ma10 vet vi at den homogene differensiallikningen har løsningsmengden, hvor C er en konstant som avhenger av initialbetingelsene. Hva om vi har følgende system av 1.ordens diff.likninger: Vi kan sette det på matriseform: Symbolsk: Vi finner at matrisen A har egenverdiene og egenvektorene, og dermed I en kommentar til eksempel 2 fant vi Jamført med dette kan vi sette, slik at Vektoren tilsvarer altså, men uttrykt i basis Det vi har oppnådd er et dekoplet likningssett Løsningen mhp. blir derfor Løsning mhp. : Det vil si: Siden kunne vi også skrevet I eks. 2a) hadde vi en homogen differenslikning med løsning For en tilsvarende homogen differensiallikning byttes bare ut med

12 Noen setninger sakset fra læreboka, side Det er ikke nødvendig å huske alle disse setningene, men de kan være fine når man skal finne og/eller kontrollere egenverdiene. Dvs. : 1) og 2) er en konsekvens av at A og D er formlike matriser, Hvis og eksisterer har den egenverdiene har de samme egenverdiene har egenverdiene, har egenverdiene har egenverdiene, positivt heltall Dette så vi bl.a. i eksempel 2a) har egenverdiene ( Uforandrede egenvektorer )

13 Eksempel 8 I eksempel 1 fant vi at har egenverdier og egenvektorer. I hht. setning 8) må ha egenverdiene:, men de samme egenvektorene som A. Kontroll: (kalkulator)