12 Vekst. Areal under grafer

Transkript

1 MATEMATIKK: 2 Vekst. Areal under grafer 2 Vekst. Areal under grafer 2. Stigningstall og gjennomsnittlig vekst I kapitlene 8 og 0 viste vi hvordan vi kunne regne ut stigningen til en rett linje eller lineær funksjon. La oss se på funksjonen ¼ f ðþ ¼2 ƒ(2) = ƒ() = 3 B 2 2 ƒ(2) ƒ() A 2 3 Av figuren ser vi at grafen til funksjonen skjærer -aksen i ð Þ. Samtidig ser vi at linjen stiger med to enheter hele veien, det vil si at stigningstallet eller veksten er konstant. 8

2 På linjen har vi satt av to punkter, A og B. Koordinatene til punktet A er ð, Þ. Vi fant andrekoordinaten (-koordinaten) ved å regne ut f ðþ ¼2 ¼ Vi kan skrive punktet A slik: A ¼ð, f ðþþ. Vi kan skrive tilsvarende for punkt B: B ¼ð2, f ð2þþ. Stigningstallet, a, eller veksten, kan da skrives: a ¼ f ð2þ f ðþ 2 ¼ 3 2 ¼ 2 ¼ 2 ƒ( 2 ) ƒ( ) ƒ( ) ƒ( 2 ) 2 På denne figuren har vi tegnet en mer generell lineær funksjon. Punktet A har koordinatene ð, f ð ÞÞ, og punktet B har koordinatene ð 2, f ð 2 ÞÞ der f ð Þ og f ð 2 Þ er -verdiene i punktene. Stigningstallet, a, kan da skrives slik: a ¼ f ð 2Þ f ð Þ 2 Differansen f ð 2 Þ f ð Þ blir ofte skrevet som D, og differansen 2 blir tilsvarende skrevet som D. D er et smbol for endring ðþ= Þ ienstørrelse. Vi kan da skrive a ¼ f ð 2Þ f ð Þ 2 ¼ D D Denne formelen uttrkker den gjennomsnittlige veksten i en størrelse. For lineære funksjoner er den gjennomsnittlige veksten det samme som stigningstallet til funksjonene. 86

3 MATEMATIKK: 2 Vekst. Areal under grafer 2.2 Momentan vekst 6 B = (3, 6) 3 C = (2, 3) 2 A = (,) 2 3 På figuren har vi tegnet grafen til funksjonen f ðþ ¼0, 2 þ 0,. Vi ser at veksten fra punkt A til punkt B og fra punkt A til punkt C ikke er lineær, men at den varierer. Den gjennomsnittlige veksten fra punkt A til punkt B kan vi finne ved å regne ut D ¼ f ð3þ f ðþ ¼6 ¼ og D ¼ 2 ¼ 3 ¼ 2 D D ¼ 2 ¼ 2, Den gjennomsnittlige veksten fra A til C: a ¼ D D ¼ 2 ¼ 2 (D ¼ f ð2þ f ðþ ¼3 ¼ 2ogD ¼ 2 ¼ ) Vis at den gjennomsnittlige veksten fra punkt C til punkt B er 3. Vi fant ovenfor at den gjennomsnittlige veksten i intervallet AB var 2,, og i intervallet AC var den 2. Vi kunne ha delt opp intervallet AC tterligere og regnet ut den gjennomsnittlige veksten. På grafen vår ville vi ha sett at stigningstallet til de rette linjene gjennom A og de ne punktene mellom A og C ville ha blitt mindre jo nærmere punktet lå A. 87

4 Problemet vårt nå er å finne stigningen til grafen i punktet A. Vi tegner en linje som tangerer (berører) grafen i A så nøaktig som mulig (se figuren). D 6 B 3 C 2 A 2 3 Tangenten ser ut til å skjære -aksen i ð 0,Þ. Vi kan da sette opp D ¼ ð 0,Þ ¼ þ 0, ¼, og D ¼ 0 ¼ Stigningstallet eller veksten i A: D D ¼, ¼, Denne veksten kaller vi for den momentane veksten for grafen i punktet A. B A E D C a = Av figuren ser vi at når vi beveger oss fra punkt B til punkt A, vil D bli mindre og mindre, og at størrelsen nærmer seg null. Definisjonen på den momentane veksten i et punkt er 88

5 MATEMATIKK: 2 Vekst. Areal under grafer a ¼ D når D går mot null. D I matematikken kaller vi dette for den deriverte til funksjonen i punktet A. Det skrives f 0 ðþ eller 0. Den deriverte uttrkker altså stigningen i et punkt på grafen. ƒ 0 ðþ ¼ 0 ¼ D når D går mot null. D Når vi skal finne den momentane veksten i et punkt, tar vi lommeregneren til hjelp. Vi stiller inn lommeregneren slik: SHIFT MENY (SET UP) ned (! til Derivative. Trkker F (on) og EXIT Trkker MENY og TABLE Slår inn Y 0,^2+0. Trkker F6 (TABL) Displaet vil vise tallkolonner for, og 0. Hvis vi slår inn tallet ( ¼ ), vil vi finne at 0 ¼, eller f 0 ðþ ¼,. Den momentane veksten i A er,, og dette stemmer med det vi fant ved å tegne en tangent til grafen øverst på forrige side og så lese av. I punktet D på den samme figuren er den momentane veksten f 0 ð Þ ¼ 0 ¼ 3, (slår inn ð Þ på table-men). Hvis vi hadde tegnet en tangent nøaktig i punktet D, ville den ha krsset -aksen i ð 8Þ. (Hvordan kan vi finne dette ved regning?) Oppgave En vareproduserende bedrift har funnet ut at bedriftens overskudd kan uttrkkes ved OðÞ ¼ 0,02 2 þ ½0, 000Š der står for antall enheter som blir produsert og solgt. OðÞ uttrkkes i kroner. 2½0, 000Š betr at funksjonen gjelder for mengder fra og med 0 enheter til og med 000 enheter (se avsnitt.). Finn a) Oð0Þ. Kommenter! b) den momentane veksten når ¼ 300. c) økningen i overskuddet når viøker produksjonen fra 300 til 30 enheter. 89