Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon

Transkript

1 DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK30, Systemidentifikasjon Dato: Fredag 4. desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen Bokmål Merknader: Max oppnåelige poeng er gitt for hver oppgave, totalt kan en få 00 poeng. Med 240 minutt totalt kan en fornuftig tidsbruk være å bruke ca 0 minutt for hver 5 poeng, da har en 20 minutt til pauser og 20 minutt ekstra. Siden det denne gang ikke er behov for noen formler, utover de som er oppgitt etter hvert og de som dere forventes å kunne er det ikke med noe eget formelark. Merk at oppgavene ikke er sortert etter forventet vanskelighetsgrad. Oppgavesettet er på 3 oppgaver på 5 sider. Denne forsida er side og side 5 er formler.

2 Oppgave Den diskrete lineære tilstandsrommodellen kan skrives på noen ulike former, alt etter om en tar med alle ledd eller kun de viktigste. Her har vi x(k + ) = Φx(k) + Γu(k) + Ωv(k), () y(k) = Dx(k) + Eu(k) + w(k). (2).a (5 3 = 5 poeng) Gi navn for de fem matrisene en har i ligningene ovenfor. Hvis du ikke kommer på navnet så vil ei kort, konsis og riktig forklaring gi poeng. Med n tilstander, s pådrag og l målinger gi også dimensjon for de fem matrisene en har i ligningene ovenfor..b (0 poeng) Ved utledning av Kalman-filter brukte vi en enklere form for den diskrete lineære tilstandsrommodellen. Skriv denne og forklar hvorfor en kan forenkle så mye som en gjør..c (0 poeng) Ved utledning av Kalman-filter tar en noen antakelser når det gjelder støyen i systemet. Forklar disse kort med ord, og matematisk med å gi hva følgende forventningsverdier antas å være: Ev(k), Ew(k), Ev(k + τ)w T (k), Ev(k + τ)v T (k) og Ew(k + τ)w T (k)..d (0 poeng) Utgangspunkt for parameterestimering er gjerne modellen y(k) = φ T (k)θ + e(k), (3) Når en bruker Kalman-filter for parameterestimering får den diskrete lineære tilstandsrommodellen, ligning og 2, en spesiell form. Skriv denne og forklar hvorfor den blir som den blir..e (0 poeng) Hva brukes matrisene Q og R til når en bruker Kalman-filter for parameterestimering. Hvordan velges verdier for disse? Hvilken virkning får det når de er store eller små? 2

3 Oppgave 2 Skissen til høyre viser en stående pendel som skal balanseres ved hjelp av en motor som gir et moment. Pendelen er ei lett, antas masseløs, stiv stang med ei tung kule i enden, masse er m kg. Pendelstangen har lengde L m. Pendelstangens vinkelutslag fra loddlinjen er θ rad. Pendelen er nederst festa til aksen på motoren. Motoren gir et moment til pendelen, dette momentet er pådraget u Nm. Motoren er tenkt som en sylinder med en liten tapp ut langs hovedaksen, den blir derfor tegnet som et rektangel fra siden og som en sirkel forfra. Gravitasjonskonstanten er g. I tilstandsrommodell for pendelen har en x = θ og x 2 = θ. Det er posisjonen (vinkelen) som måles. Fra siden. motor 7 m Forfra. Loddlinjen θ L u For pendelen har en utfra ganske enkel fysikk at modellen kan skrives 7 m ml 2 θ = mgl sin θ + u (4) 2.a (0 poeng) Utvikle den kontinuerlige tilstandsrommodellen for systemet. Ikke ta med støyledd her. 2.b (0 poeng) Utvikle en diskret tilstandsrommodell som svarer til Euler-forover-diskretiseringen av den kontinuerlige modellen. Tidssteget er T s. I den diskrete modellen tas med støyledd. Prosesstøy kan for eksempel tenkes å være vindpust, mens målestøy er tilfeldige feil i posisjon- eller vinkelmålingen. Begge støyene modelleres som hvit støy. Hvorfor kan du her ikke skrive modellen på matriseform slik som i ligning i oppgave. Videre, for de neste deloppgavene, velger en for denne modellen å bruke et fast arbeidspunkt, nemlig (x ) x A = A 0 =. (5) (x 2 ) A 0 Altså i arbeidspunktet er pendelen i ro i topposisjonen. 3

4 u(z) y(z) + z z + a b Figur : Blokkdiagram for oppgave 3. Symboler betyr en mutiplikasjon. 2.c (5 poeng) Hva blir den diskrete tilstandsrommodellen når en nå lineariserer omkring arbeidspunktet? 2.d (0 poeng, 2 for hver ligning) Ligningene for Kalman-filteret er gitt på siste side i oppgaven, ligningene 9 til 3. Anta nå at disse skal implementeres i et system som kun håndterer skalarer, altså ikke matriser. Skriv ut hvordan lingningene for hvert steg blir nå. Ta ligningene for P (k) (0) og for ˆP (k) (3) til slutt og kun hvis du har tid, hvis en ikke er stø (og rask) i symbolsk matriseregning kan en lett gå seg vill i disse utregningene og dermed bruke mye tid på de. De andre tre ligningene bør imidlertid gå helt greitt, D matrisa er jo særskildt enkel her. I stedet for matrisene skal en altså bruke de skalare elementene. For eksempel for forsterkningen får en at K(k) = K (k) K 2 (k). (6) Elementene her er tidsvarierende og regnes ut i hvert tidssteg k ut fra ligning som dere altså skal skriv ut slik at en ser hvordan en regner ut K (k) og K 2 (k). Gjør fornuftige antakelser når det gjelder R og Q, la gjerne kun 2 eller 3 elementer totalt i disse være ulikt null. Oppgave 3 Figur viser et matematisk blokkdiagram for et system. 3.a (0 poeng) Finn transferfunksjonen h(z) = y(z) u(z) for systemet. 4

5 Formler og ligninger Diskretisering z-transferfunksjon for kontinuerlige prosesser med nullte ordens sample- og holdeelement på inngangen: h(z) = Z L { G(s) s som alternativt kan skrives h(z) = ( z )Z Tranformasjonspar L ( e at) = s a ( e T s )} t=kt, (7) L { G(s) s L() = s, L(t) = s 2 og generelt L(t n ) = L ( te at) = } t=kt. (8) (n )! s n L ( δ(t a) ) = e as L ( u(t a) ) = e as (s a) 2 s Kalman-filter I vår utledning av Kalman-filteret kom vi fram til følgende ligninger som oppsummerer hovedløkka, det er det som gjøres for hvert tidssteg k. x(k) = Φˆx(k ) + Γu(k ) (9) P (k) = Φ ˆP (k )Φ T + Q (0) K(k) = P (k)d T (DP (k)d T + R) () ˆx(k) = x(k) + K(k)y(k) Dx(k) (2) ˆP (k) = (I K(k)D) P (k) (3) Matriser Ei 2 2 matrise og den inverse er a b A = c d, A = ad bc d b c a. (4) Determinanten er: det A = ad bc. Egenverdier for ei matrise er verdier λ slik at det(λi A) = 0. Derivasjon x = x x 2 d d sin x = cos x dx f ( ), f = f 2 ( ) dx gir cos x = sin x (5) f f f x = x x 2. (6) f 2 x f 2 x 2 5