Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning.

Transkript

1 Stavanger, 30. juni 2016 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. Innhold 1 Tidsdiskrete signal Frekvens Sampling Nedfolding Oppgave med tidsdiskret signal Representasjon av system Differensligningen Differensialligningen z-transferfunksjonen Sammenheng med impulsresponsen Stasjonær respons Poler og nullpunkt s-transferfunksjonen Diskret tilstandsrommodell Kontinuerlig tilstandsrommodell Systemets egenverdier Karl Skretting, Institutt for data- og elektroteknikk (IDE), Universitetet i Stavanger (UiS), 4036 Stavanger. Sentralbord Direkte E-post: karl.skretting@uis.no.

2 3 Overganger Linearisering Fra TRM til transferfunksjoner Diskretisering av transferfunksjonen Utledning av eksakt diskretisering Diskretisering med approksimasjoner Diskretisering med substitusjon prewarp-metoden Eksempel prewarp-metoden på sugefilter Poler ved diskretisering Diskretisering av TRM Eksakt diskretisering av lineær TRM Rekkeutvikling for diskretisering av lineær TRM Approksimasjon for diskretisering av TRM Linearisering i kombinasjon med en diskretisering Systemets egenskaper Generell tidrespons Delbrøkoppspalting for beregning av tidsrespons Matlab for beregning av tidsrespons Impuls- og steg(sprang)respons Frekvensrespons Utledningen av frekvensrespons Stabilitet Noen viktige system Forsterker Tidsforskjøvet signal Integrator

3 5.3.1 Eksakt diskretisering av transferfunksjon Differensligning fra z-transferfunksjonen Differensligning ved differensialapproksimasjonen z-transferfunksjonen fra differensligningen Dobbelintegrator Førsteordens system Eksakt diskretisering Eksempel med diskretisering i Matlab Eksakt differensligning med tall Diskretisering ved differensialapproksimasjon Eksempel med substitusjon Andreordens system Sprangrespons for andreordens system Litt matematikk Litt regning med komplekse tall z-transformasjonen Eksempel med y(k) = a k Eksempel med y(k) = ka k Noen tranformasjonspar Sluttverditeoremet Laplace-transformasjonen Eksempel Noen tranformasjonspar Om matriser Derivasjon Om uttrykket e At

4 Notat om tidsdiskrete systemer. Dette notatet har gradvis utviklet seg fra å være et enkelt oversiktsnotat over stoff i del I og II i Finn Haugens lærebok: Advanced Dynamics and Control (ADC) til å bli et mer eller mindre fullstendig forelesningsnotat over samme stoff. Videre har noe stoff blitt fjernet, og noe er utvidet, og litt nytt er også lagt til. Slik det er nå er det kanskje riktig å kalle det en ganske så komprimert sammenstilling av noe (repetisjons)stoff fra reguleringsteknikk og signaler og systemer som er relevent for systemidentifikasjon. Se gjerne deres favorittbøker innen disse emner for mer utfyllende tekster. I tillegg til Finn Haugens lærebøker kan jeg også anbefale wikibøker Control Systems og Signal and Systems. Begge bøkene er oppsummerende i stilen, og ikke så fulle av ord som mange trykte engelske (amerikanske) lærebøker ofte er. 1 Tidsdiskrete signal Her er litt repetisjon fra signalbehandlingen om frekvens, sampling og nedfolding. Litt av dette står også i ADC kapittel 6 og 12, og i wikibok Signals and Systems. 1.1 Frekvens Frekvens (for et signal) er omdreininger, perioder eller gjentakelser per sekund. Enhet er Hertz, Hz. Frekvens kan også måles med vinkelhastighet, radianer per sekund, eller periodetid, antall sekund for en omdreining. Forholdet mellom disse enhetene er det viktig å ha klart for seg. Symbol Enhet Tekst Sammenheng T p s periodetid T = 1 f = 2π ω f Hz frekvens f = 1 T p = ω 2π ω rad/s vinkelhastighet ω = 2πf = 2π T p Hvis det er klart ut fra sammenhengen at ω har enhet rad/s kan den ofte også kalles frekvens selv om ω egentlig er vinkelhastighet. Et signal med kun en frekvens, ω, er et sinussignal. For eksempel Her er φ en faseforskyvning og t er tid. u(t) = sin(ωt + φ) = sin(2πft + φ). (1.1) 4

5 1.2 Sampling Sampling er måling av signalverdien ved regelmessige intervall, T s (eller bare T ). T s kalles tidssteg, sampleperiode eller sampletid. Som for signalet kan en også bruke samplefrekvens eller skjeldnere sample(vinkel)hastighet. Symbol Enhet Tekst Sammenheng T s s tidssteg T s = 1 f s = 2π ω s f s Hz samplefrekvens f s = 1 T s = ωs 2π ω s rad/s samplehastighet ω s = 2πf s = 2π T s En oppgir også i mange sammenhenger signalfrekvensen relativt til samplefrekvensen, for eksempel for frekvensrespons for digitale filter. Da bruker en ofte normalisert frekvens (=f/f s ) som er frekvens skalert slik at f = f s blir 1, eller som i Matlab (=2f/f s ) bruker en ofte at Nyquist-frekvensen (se del 1.3) f N blir 1. Et tredje alternativ er gjerne å skalere frekvensene (=2πf/f s ) slik at f = f s blir 2π og f = f N blir π. For eksempel med f s = 100 Hz, normalisert frekvens er da π/4 for f = 12.5 Hz. Når en bruker normalisert frekvens må en alltid oppgi hva f s (eller f N ) er normalisert til. 1.3 Nedfolding For å unngå nedfolding eller aliasing må signalet ikke inneholde frekvenskomponenter med frekvens over Nyquist-frekvensen, denne er halve samplefrekvensen: f N = f s /2 eller ω N = ω s /2. Nedfolding er at faktiske frekvenser høyere enn f N opptrer (speiles til) lavere frekvenser under samplingsprosessen. Ei Matlab-fil som illustrerer dette er fold.m. Det er viktig å vite hvordan nedfolding skjer. La f være signalets virkelige frekvens, signalet samples så med samplefrekvens f s. Da vil den tilsynelatende frekvensen etter sampling være f. Følgende oppskrift brukes for å finne f gitt f og f s. 1. En finner først frekvensen f 1 slik at f = f 1 + mf s der m = 0, 1, 2,..., og 0 f 1 < f s. Altså f 1 = f f/f s f s. 2. Hvis f 1 f N = f s /2 så er f = f 1, ellers, f N f 1 f s, så er f = f s f 1. Her får en speiling. 5

6 Et signal består ofte av flere frekvenskomponenter. Nedfolding vil gjelde alle frekvenskomponenter som har høyere frekvens enn Nyquist-frekvensen, f N = f s /2. Folding er illustrert i figur 1 og figur 2. Vi ønsker som regel ikke nedfolding (i forbindelse med regulering) og må derfor velge tilstrekkelig høy samplefrekvens, det vil si tilstrekkelig lite tidssteg. En løsning er å lavpassfiltrere signalene før sampling og på den måten forsikre oss om at signalene ikke inneholder frekvenskomponenter som kan foldes ned. Samplingsfrekvensen bør velges tilstrekkelig stor, en tommelfingerregel som er strengere enn Nyquist-kriteriet er ω s = 2π T s 10ω 1 (1.2) der ω 1 er høyeste frekvenskomponent i signalene, i.e. båndbredden. 1.4 Oppgave med tidsdiskret signal Gitt følgende signal y(t) = sin(4t + 1). a. Hva er frekvensen? b. Tidssteget, T s, er 1 sekund. Hva er samplingsfrekvensen? c. Hvilken frekvens ses (etter sampling)? Svar: a. ω = 4 og f = ω 2π = 4 2π b. f s = 1/T s = 1 Hz. = 0.64 Hz. c. f N = f s /2 = 0.5 Hz, og vi har her f > f N og får altså folding eller speiling. Obeservert frekvens blir f = f s f = = 0.36 Hz. 6

7 f/f s normalisert frekvens, f s = 1 f f N f s frekvens Figur 1: Nedfolding, eksempel 1. Frekvenser mellom 0.6 og 0.9 med topp på 0.8 speiles ned til frekvenser mellom 0.1 og 0.4 med topp på 0.2. Frekvensen på 1.08 foldes ned til f/f s normalisert frekvens, f s = 1 f f N f s frekvens Figur 2: Nedfolding, eksempel 2. Frekvenser mellom 1.3 og 1.5 foldes til mellom 0.3 og 0.5. Frekvenser mellom 1.5 og 1.6 flyttes ned og speiles til å bli mellom 0.4 og 0.5. Frekvensen på 1.9 flyttes til

8 u(k) System h(z) y(k) Figur 3: Enkel skisse av diskret LTI-system. Systemet er her gitt av z- transferfunksjonen h(z). Det er et inngangssignal (pådrag) u(k) og et utgangssignal y(k). 2 Representasjon av system. Et system er ofte en representasjon av en avgrenset fysisk prosess, eller en modell av en fysisk prosess. Generelt er system et noe videre begrep som ofte brukes om abstrakte, administrative eller logiske prosesser i videste forstand. Uansett blir systemet definert og avgrenset ut fra grensesnitt til omverda. Når systemet representerer en fysiske prosess er det signalene som danner grensesnittet i systemet (som tilsvarere krefter eller energioverføringer i fysisk prosess). Systemet er dermed relatert til signalene. Hvis signalene er tidsdiskrete så er også tilhørende system diskret, selv om det kan være en kontinuerlig fysisk prosess som ligger bak. Når (minst et av) signalene er kontinuerlige er også systemet kontinuerlig. Et system kan skisseres med en boks som i figur 3. Et blokkdiagram er en god måte å illustrere et system på. I et blokkdiagram brytes systemet opp i enklere elementer eller subsystem, disse tegnes ofte som blokker. Subsystemene forbindes med (interne) signaler, som tegnes som streker med retning (piler). Det aller enkleste eksempelet på et blokkdiagram er i figur 3, noen litt større system er i figur 10 side 44. Når systemet er bygd opp av enkle enheter, som en forstår godt, så kan en ofte bare ved å se på blokkdiagrammet forstå systemet og hva det gjør. Simulink, en tilleggspakke til Matlab, bruker blokkdiagram for å tegne systemet. Noen ulike måter å representere systemer på viser i figur 4. Representasjon av kontinuerlige system er til venstre og diskrete system til høyre. Systemet kan i tillegg representeres enten i tidsdomenet eller i transformert form, i henholdsvis s-domenet eller z-domenet. Når en modellerer prosessen ut fra de fysiske lover som gjelder så kommer en ofte fram til en eller flere differensialligninger, disse gir da en beskrivelse (modell) av systemet. Tilsvarende modellering av diskrete prosesser gir en beskrivelse (modell) med differensligninger. Differensialligningene kan ofte være ganske komplekse, og inkluderer både førstederiverte og høyere-ordens-deriverte og de er gjerne også ulineære. Ved å innføre nye interne signal, tilstander x, så kan alle differensialligninger uttrykkes med kun førstederiverte, og alle differensligninger med kun to etterfølgende 8

9 Kontinuerlig system Tidsdiskret system u(t) L u(s) ẏ(t) =... y(k + 1) =... y(t) u(k) h(s) = y(s) u(s) L 1 Z y(s) u(z) h(z) = y(z) u(z) y(k) Z 1 y(z) Figur 4: Kontinuerlige og diskrete system. I de øverste boksene beskrives systemene med differensialligninger og differensligninger. I de nederste boksene beskrives systemene med transferfunksjoner. Laplace-transformasjonen og z- transformasjonen danner overgangen, per definisjon gjøres de på inngang- og utgangssignalene, men den enkleste formen fås oftest når transformasjonene gjøres direkte på ligningene og så ordnes. tidssteg, (k + 1) og (k). En tilstand er da en indre egenskap ved systemet, den kan være fysisk virkelighet slik som for eksempel en temperatur i systemet, men kan også være mer løsrevet fra en fysisk virkelighet. I første omgang er det gjerne enklest å tenke seg at x kan være nøyaktig det sammen som utgangen y, som når tilstand måles direkte. En beskrivelse med interne tilstander er en tilstandsrommodell. Fordelen med å innføre tilstander x er at en blir mer fleksibel i å definere systemet. Ikke minst fordi at ved å bruke hensiksmessige tilstandsvariabler så kan alle differensialligninger uttrykkes med kun førstederiverte. Det at en bruker flere tilstander kan også gi andre forenklinger i systembeskrivelsen. Ved å bruke tilstandsrommodell for differensialligninger (og differensligninger) så blir figur 4 slik som i figur 5. Her er tilstandsrommodellen i både generell og lineær form, og det er også med noe mer omkring systemene. Jeg synes denne figuren på en god måte viser de ulike måter å representere systemer på og den kan hjelpe å holde oversikten. Signalene, pådrag u, tilstand x og utgang eller måling y, kan gjerne være vektorer av flere signal. For eksempel for flere diskrete tilstander x 1 (k) x 2 (k) x(k) = x(k) =.. x n (k) Tilsvarende notasjon brukes også for u(k) og y(k), og for signalene i andre 9

10 domener, t, s og z. 2.1 Differensligningen Differensligningen viser hvordan utgangsverdi kan beregnes ut fra nåværende og tidligere innganger og tidligere utganger. Den generelle formen er y(k) = f(u(k), u(k 1),..., y(k 1), y(k 2),...) (2.1) der f( ) er en funksjon (og har ingenting med frekvens å gjøre). Det er ofte mest hensiktsmessig å ha en lineær form på denne funksjonen. For et kausalt, lineært, tidsinvariant, diskret filter blir formen for f( ) en lineær differensligning. r p y(k) = b n u(k n) a n y(k n) (2.2) n=0 n=1 Her har en, slik det vanligvis gjøres, satt a 0 = Differensialligningen Når en modellerer et system ut fra de fysiske lovene som gjelder så får en ofte en differensialligning, eller et sett med differensialligninger. Et enkelt eksempel er en integrator: ẏ(t) = K i u(t). Konstanten K i er en konstant. Det kan for eksempel være volum av væske i en tank, y(t) = V (t), som er integralet av strømmen inn, u(t) = q inn (t). Differensialligningen for et førsteordens system er ẏ(t) = 1 ) (Ku(t) y(t) T z-transferfunksjonen Boksen nede til høyre i figur 4 viser systemet representert med z-transferfunksjonen. Den er definert som forholdet mellom utgangssignalet og inngangssignalet sine z-transformasjoner h(z) = y(z) u(z). (2.3) Hvis det er flere innganger og utganger så har systemet en z-transferfunksjon for hvert par av inngangs- og utgangssignal. h(z) vil da være en matrise av 10

11 Kontinuerlig Diskret u(t) h(s), x(t) u(s) y(t) y(s) Diskretisering u(k) h(z), x(k) u(z) y(k) y(z) Modell Fysisk system ẋ = f(...) y = g(...) ẋ = Ax + Bu y = Dx + Eu Matematisk modellering D 1 Linearisering D 2 x(k + 1) = f(...) y(k) = g(...) x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k) y(k) = Dx(k) + Eu(k) L L 1 Z Z 1 D 3 h(s) = y(s)/u(s) Eksperiment h(z) = y(z)/u(z) Observerte signal, u og y Generell Tilstandsrommodell Lineær Transferfunksjon Figur 5: Oversikt over ulike systembeskrivelser og overganger. Det å forstå disse ulike måtene å beskrive systemer på, og ikke minst overganger mellom disse, er viktig i systemidentifikasjon. Her er signalet u pådraget, signalet y er (målt) utgang, systemets transferfunksjon er h, og systemets tilstand er x. En kan ofte forenkle med å måle tilstanden(e) direkte og da har en y = x. 11

12 transferfunksjoner, med dimensjon l s der l er antall utganger og s er antall innganger. y 1 (z). y 1 (z) y h(z) = y(z) u(z) = y(z) u u T (z) = y l (z) 1 1 (z) (z) u s(z) [ u1 (z) u s (z) ] =..... y l (z) u 1 (z) y l (z) u s(z) z-transferfunksjonen representerer den direkte sammenheng mellom systemets inn- og utsignaler. z-transferfunksjonen kan finnes ut fra definisjonen over, eller ved å ta z-transformasjonen av differensligningen direkte. Dette siste gir ofte det enkleste uttrykket. En kan også finne z-transferfunksjonen ved diskretisering av s-transferfunksjonen. Merk: Når et kontinuerlig system diskretiseres blir signalene y(k) og u(k) avhengige av tidssteget T (eller T s om en vil være helt presis i notasjonen). Dermed blir også y(z) og u(z) og z-transferfunksjonen h(z) avhengige av T Sammenheng med impulsresponsen Det er en tett sammenhengen mellom transferfunksjon og impulsrespons. Ligning 2.3 kan ordnes til y(z) = h(z)u(z). Hvis en lar pådraget være en enhetsimpuls, u(k) = δ(k) og u(z) = 1, gir det en alternativ definisjon: z-transferfunksjonen er z-transformasjonen av systemets impulsrespons, h(k) = y δ (k), h(z) = Z{h(k)} = y δ (z) (2.4) Stasjonær respons Systemets stasjonære respons, også kalla stegrespons eller statisk respons y s, er den verdien utgangssignalet går mot når inngangssignalet er et sprang. Denne kan finnes ut fra sluttverditeoremet lim y(k) = y s = lim(z 1)y(z) (2.5) k z 1 Sluttverditeoremet er enkelt å vise, se del Den stasjonære responsen for et system h(z), det vil si et hvilket som helst system som er gitt av systemets transferfunksjon, er ut fra sluttverditeoremet y s = lim z 1 (z 1)y(z) = lim z 1 (z 1)h(z)u(z) = lim(z 1) Uz h(z) = lim z 1 z 1 Uzh(z) = Uh z(1). z 1 (2.6) 12

13 Jeg har her skrevet h z (1) for å få fram at det er h(z) som er innsatt 1, ikke impulsresponsen h(k). Når sprangets høyde ikke er definert kan en også sette U = Poler og nullpunkt Et (kausalt) lineært diskret system gitt med differensligningen p a n y(k n) = n=0 z-transformene av signalene er y(z) = r b n u(k n). n=0 y(k)z k, u(z) = k=0 u(k)z k. k=0 En kan også ta z-transformasjon av koeffisientsekvensene a(z) = p a n z n, b(z) = n=0 Transferfunksjonen for systemet er n=0 r b n z n. n=0 h(z) = y(z) u(z) = b(z) a(z) = h(n)z n. Transferfunksjonen for systemet kan alternativt skrives som y(z)a(z) = u(z)b(z), I begge tilfeller er a(z) og b(z) er polynom i z, eller z 1 om en vil. Vanligvis er gjerne polynomet i z 1, det er da kausalt i forhold til differensligningen, da har en a(z) = a 0 + a 1 z 1 + a 2 z 2 +, og vanligvis har vi a 0 = 1, og b(z) = b 0 + b 1 z 1 + b 2 z 2 +. z-transferfunksjonen for systemet er da h(z) = b(z)/a(z). Selv om polynomene oftes gis i z 1, kan en også (ved å multiplisere både teller og nevner med en hensiktsmessig faktor z n ) uttrykke de som polynom i z. Dette kan være forvirrende, og det er viktig at en alltid har klart for seg hva polynomet er i, og rekkefølge for koeffisientene (hvilken koeffisient hører til hvilket ledd). Spesielt må en være oppmerksom på dette når en bruker Matlab, da dette ikke er gjort likt i alle funksjonene. For eksempel bruker filterfunksjonen A og B som polynomer i z 1 der første element er koeffisient for z 0. Men dlsim-funksjonen 1 har NUM og DEN som polynom i z med koeffisientene 1 dlsim funksjonen er i Control System Toolbox (CST) men er nå foreldet (obsolete), erstattet av lsim. 13

14 i avtagende rekkefølge, altså z 0 koeffeisienten for siste element. Kun når NUM og DEN har samme lengde virker denne funksjonen likt som filter. En representasjon av z-transferfunksjonen med poler og nullpunkt er ofte hensiktsmessig. Da faktoriseres hvert av polynomene a(z) og b(z) til faktorer der røttene inngår. Røttene i a-polynomet blir da polene og røttene i b-polynomet blir da nullpunktene for z-transferfunksjonen. Før faktorisering foretrekker jeg oftest å multiplisere med en hensiktsmessig faktor z n over og under brøkstreken, det vil si samme faktor for begge polynom, dermed er det polynom i z som faktoriseres. I Matlab kan en finne røttene for et polynom med roots-funksjonen. h(z) = b(z) a(z) = K (z ζ 1)(z ζ 2 )(z ζ 3 ) (z ζ r ) (z z 1 )(z z 2 )(z z 3 ) (z z n ) (2.7) ζ i er nullpunkt. z i er poler. K er en (forsteknings)faktor, K = b 0 når a 0 = 1. Generelt har vi at z-transferfunksjonen er utgang delt på inngang, (2.3). For en lineær differensligning kan z-transferfunksjonen ordnes slik at den skrives som en rasjonell funksjon, en brøk med to polynom, (2.7). y(z) og u(z) er ofte ikke polynom, men a(z) og b(z) er polynom. h(z) = y(z) u(z) = b(z) a(z). (2.8) Systemets orden er den samme som grad for a(z) polynomet. 2.4 s-transferfunksjonen Boksen nede til venstre i figur 4 viser systemet representert med s-transferfunksjonen. Den er definert som forholdet mellom utgangssignalet og inngangssignalet sine Laplace-transformasjoner h(s) = y(s) u(s). (2.9) En kan finne s-transferfunksjonen for et kontinuerlig system på tilsvarende måte som en finner z-transferfunksjonen for et tidsdiskret system, bare at en bruker Laplace-transformasjon i stedet for z-transformasjon. En kan altså ta Laplace-transformasjon av inngangs- og utgangssignaler, eller direkte av differensialligningene for systemet. 14

15 2.5 Diskret tilstandsrommodell Den diskrete tilstandsrommodellen er en generell ordnet form for differensligningene for systemet, tilsvarende er den kontinuerlige tilstandsrommodellen er en generell ordnet form for differensialligningene for systemet. Den viktigste utvidelsen er at en inkluderer systemets tilstander x. Dette kan ofte gi en mer fullstendig og korrekt systembeskrivelse. Med utgangspunkt i differensligninger får en da en diskret tilstandsrommodell, den er vist i boksen med x(k+1) i figur 5. Hver tilstand uttrykkes som en funksjon av tidligere tilstander og nåværende og tidligerer innganger. Videre kan hver utgang beskrives med en funksjon av nåværende og tidligere tilstander. En har ofte ikke med tidligere utganger eller nåværende og tidligere innganger ved beskrivelsen av utgangene, en kan ha det men en kan like gjerne bare ta med flere tilstander. En generell diskret tilstandsrommodell er på form x(k + 1) = f(x(k), u(k)) y(k) = g(x(k), u(k)) (2.10) Pådrag, måling, tilstand eller funksjonene kan gjerne være på vektorform. Med s pådrag, l målinger og n tilstander har en da u 1 y 1 x 1 f 1 g 1 u 2 y 2 x 2 f 2 g 2 u =. u s, y =. y l, x =. x n, f =. f n, g = Den lineære tilstandsrommodellen kan skrives på noen ulike former, alt etter om en tar med alle ledd eller kun de viktigste. Her har vi et eksempel som inkluderer prosesstøy og målestøy x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k) + Ωv(k), y(k) = Dx(k) + Eu(k) + w(k).. g l. (2.11) Signalene er som i den generelle diskrete tilstandsrommodellen. Matrisene er oppsummert i tabellen nedenfor Navn Symbol Dimensjon Transisjonsmatrise Φ n n Pådragsmatrise Γ n s Forstyrrelsematrise Ω n n Målematrise D l n Direktekoblingsmatrise E l s 15

16 v(k) er stokastiske forstyrrelser på prosessen eller tilstandene, de går ofte gjennom matrisa Ω som ofte også er diagonal, men den trenger ikke være det. w(k) er stokastiske forstyrrelser direkte på hver enkelt måling, her har en ikke noen blandingsmatrise slik som Ω er for støyen v. 2.6 Kontinuerlig tilstandsrommodell For en kontinuerlig generell tilstandsrommodell, uten støyledd, så er den deriverte til hver tilstand en generell funksjon av alle tilstandene og alle pådragene. Tilsvarende er hver målingen en generell funksjon av alle tilstandene og alle pådragene. Dette kan skrives kompakt der alle symbol er vektorer ẋ = f(x, u) y = g(x, u) (2.12) Legg merke til at funksjonen f( ) her er forskjellig fra funksjonen f( ) i ligning Her er f( ) en funksjon som gir den deriverte av tilstandene for en gitt tilstand og et gitt pådrag, mens i ligning 2.10 gir f( ) tilstanden i neste tidssteg. Det kommer som regel klart fram av sammenhengen hvilken funksjon en mener når en skriver f( ). En kontinuerlig lineær tilstandsrommodell, her uten støyledd, er ẋ = Ax + Bu y = Dx + Eu (2.13) Systemets egenverdier Egenverdiene for det kontinuerlige systemet (2.13) er røttene i karakteristisk ligning det(si A) = 0. Røttene gir egenverdiene {s i } = eig(a). Tilsvarende for diskret system (2.11) er egenverdiene røttene i karakteristisk ligning som her er det(zi Φ) = 0. Røttene gir egenverdiene {z i } = eig(φ). Ut fra sammenhengen Φ = e AT og egenverdidekomposisjon, A = XΛX 1, så kan en vise at egenverdiene i det diskretiserte system henger sammen med egenverdiene i det tilsvarende kontinuerlige system {z i } = eig(φ) = { e s it } (2.14) og omvendt {s i } = eig(a) = { 1 T ln z } i. (2.15) 16

17 3 Overganger I systemidentifikasjon er det ofte viktig å kunne gå fra den en systemrepresentasjon til en annen. Det omhandler dette kapittelet. 3.1 Linearisering En (diskret) ikke-lineær prosess (system) kan ofte innenfor et begrenset operasjonsområde, i praksis omkring et arbeidspunkt, tilnærmes med god nøyaktighet med et lineært system. En har her gitt et system som er beskrevet ved en, eller et sett av flere, førsteordens differensligninger. Modellen er her som i (2.10) men vi innfører en forenklet notasjon for funksjonene x(k + 1) = f(x(k), u(k)) = f(k) y(k) = g(x(k), u(k)) = g(k) (3.1) Arbeidspunktet A er for tilstanden x A og pådraget u A. Utledningen her er med fast arbeidspunkt. Med varierende arbeidspunkt, A(k), blir utledningen ganske lik, den følger samme møster. Avvik fra arbeidspunktet skrives x for tilstand og u for pådrag. Tilstand og pådrag ved et tidspunkt er da x(k) = x A + x(k) og u(k) = u A + u(k). Vi har x(k + 1) = x A + x(k + 1) = f(k) = f[x A + x(k), u A + u(k)] Med Taylor rekkeutvikling av f(k) omkring arbeidspunktet får vi x(k + 1) = f(x A, u A ) + f x(k) + + f u(k) + x A u A Her har vi ikke skrevet ut leddene med høyere orden. Disse kan en anta blir små når en er nær arbeidspunktet, og dermed ser vi bort fra de. f(x A, u A ) blir jo tilstanden et steg etter arbeidspunktet, og en kan gjerne anta at en i løpet av et tidssteg fortsatt vil være ganske nær arbeidspunktet, altså f(x A, u A ) x A. Vi får da x(k + 1) = x A + x(k + 1) x A + x(k + 1) = x A + f x(k) + f u(k) x A u A x(k + 1) = f x(k) + f u(k) x A u A x(k + 1) = Φ x(k) + Γ u(k) Φ = f Γ = f x A u A 17

18 Merk at hvis arbeidspunkt er tidsvarierende så vil også matrisene Φ og Γ være tidsvarierende, altså Φ(k) og Γ(k). I ligningene over har en partiell derivert av en vektor med funksjoner med hensyn på en vektor med variabler. Dette trenger kanskje litt utdypning f 1. f 1 f Φ = f x = f x = f x 1 1 x n n [ ] = T..... (3.2) x1 x n f n x 1 Vektorene f og x er like lange, begge har lengde n som er antall tilstander i systemet. Φ er da ei matrise med dimensjon n n slik den skal være. For Γ har en Γ = f u = f u T = f n x n f 1. f 1 f u 1 n [ ] =..... u1 u s f n u 1 Γ blir da ei matrise med dimensjon n s slik den skal være. f 1 u s f n u s (3.3) Tilsvarende linearisering kan gjøres med måleligningen g(k) i (3.1) og en vil da få samme generelle uttrykk for D og E som for Φ og Γ bare en har g i stedet for f i (3.2) og (3.3). I praksis så er ofte D og E mye enklere enn Φ og Γ, ofte E = 0. Som eksempel kan en her gjerne se på eksamensoppgave 2 desember 2014, stående pendel. 3.2 Fra TRM til transferfunksjoner Vi skal her gå fra diskret tilstandsrommodell, kapittel 2.5 (2.11), til transferfunksjon h(z). Tilstandsrommodellen er x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k), y(k) = Dx(k) + Eu(k). Pådraget u, tilstanden x og målingen y er generelt vektorer. Direktekoblingsmatrisen E er ofte 0. Vi skal finne z-transferfunksjonen, generelt transfermatrisen h(z) med dimensjon l s, fra u til y. Disse overgangene gjøres med transformasjoner. 18

19 z-transformasjon av (2.11) gir og setter inn for x(z) i y(z) zx(z) = Φx(z) + Γu(z) (3.4) (zi Φ)x(z) = Γu(z) x(z) = (zi Φ) 1 Γu(z) y(z) = Dx(z) + Eu(z) y(z) = D(zI Φ) 1 Γu(z) + Eu(z) y(z) = ( D(zI Φ) 1 Γ + E ) u(z) h(z) = y(z) u(z) = D(zI Φ) 1 Γ + E Et eksempel der dette brukes er i del 5.4 side Diskretisering av transferfunksjonen Diskretisering vil si en overgang fra venstre del til høyre del i figurene 5 og 4. Vi starter med eksakt diskretisering, det gir et ikke helt enkelt uttrykk som kun er nyttig for enkle system. Eksakt diskretisering forutsetter et nullteordens sample- og holdeelement på inngangen. Approksimasjonene, i underkapitlene 2 og 3 med eksempel i 4, gir derimot noen enkle og nyttige substitusjonsregler. Til slutt her ser vi hva som skjer med polene ved diskretisering, de er viktige for systemets stabilitet. En kan også diskretisere tilstandsrommodellen, det skal vi se på i neste delkapittel. Et kontinerlig (fysisk) system kan diskretiseres med sampletida T, og da gi et tidsdiskret system, det vil si en diskret matematisk modell av systemet. Systemet er gjerne fysisk og konkret og har kontinuerlige egenskaper, for eksempel et lukka rom med en ovn der en måler temperaturen og pådraget (inngangen) er (elektrisk) effekt tilført ovnen. Når en diskretiserer systemet endrer en ikke på selve det fysiske systemet, men en endrer på signalene. For utgangssignalet så leses det nå kun av ved bestemte tidspunkt, nemlig ved tider t = kt. Men den fysiske egenskapen som måles, for eksempel temperatur, har selvsagt verdi også når den ikke måles. For inngangssignalet må en nå gjøre et valg for hvordan en vil at det skal virke. En må gjøre det diskrete signalet om til et kontinuerlig signal, dette gjøres med et holdeelement. Ofte kan en styre inngangssignalet, pådraget, og da er det rimelig å anta at en kun får endre verdier ved sampletidene, og en annen antakelse som også ofte gjøres er at den satte verdien da holdes konstant til neste gang verdien settes. Dette er et nullteordens sample- og holdeelement, det er gjerne en fysisk del av pådragsorganet. 19

20 Kontinuerlig system Tidsdiskret system u(t) h(s) y(t) = u(k) h(z) y(k) Sa. h(z) u(k) δ(k) Ho. u h (t) h(s) y(t) Sa. y(k) Figur 6: Diskretisering av kontinuerlig system med sample- og holdeelement. Selv når inngangssignalet er et kontinuerlig signal, som en ikke detaljert styrer, men kun måler ved sampletidene vil en ofte bruke et nullteordens sample- og holdeelement i modellen. En vil da bruke et tilnærmet signal inn til modellen, et trappesignal som er en tilnærmelse til det virkelige kontinuerlige signalet inn til systemet. Dette er ofte godt nok, og hvis det er for grov tilnærming kan en få det bedre med å ha kortere sampletid. Men det finnes alternativer som kan brukes hvis det ikke er råd å øke samplefrekvensen, det er Euler og Tustin (første og andre orden) og Runge-Kutta-metoden (høyere orden). I dette tilfellet er sample- og holdeelement en del av algoritmen i modellen Utledning av eksakt diskretisering Eksakt diskretisering er generelt vanskelig, men vi kan komme et stykke på vei, og det kan gjøres med (manuelle) beregninger i enkle tilfeller. Med velegnede verktøy, Matlab, kan eksakt diskretisering enkel gjøres for alle system. Vi har gitt systemets kontinuerlige transferfunksjon h(s), og skal finne h(z). Vi har jo at h(z) = y(z) når u(z) = 1, altså u(k) er en diskret enhetspuls. Starter med å finne kontinuerlig transferfunksjon for en diskret enhetspuls, { 1 k = 0 u(k) = δ(k) = (3.5) 0 ellers Når u(k) går gjennom et nullteordens sample- og holdeelement blir det kontinuerlige signalet, u h (t), som et rektangel. der S(t) her er et enhetssprang. u h (t) = S(t) S(t T ). (3.6) S(t) = { 0 t < 0 1 t 0 20

21 Tar Laplace-transformasjonen av u h (t) (3.6) og får ved å bruke (6.30) u h (s) = 1 s 1 s e st = 1 e st s. (3.7) Merk at et hvilket som helst pådrag til systemet nå vil være et stykkevis konstant signal siden det er et nullteordens sample- og holdeelement på inngangen. Den kontinuerlige respons på en diskret enhetspuls for en vilkårlig system h(s) er y(s) = h(s)u h (s) = h(s) 1 e st s = (1 e st )h(s)/s. (3.8) Videre får vi tidsresponsen y(t) = L 1 {y(s)} = L 1 {(1 e st )h(s)/s} (3.9) En må også ha verdi for y t (0) og vi lar denne være 0, y t (0) = 0. Sampling av y(t) gir y(k) og z-transformasjon av y(k) gir y(z) y(z) = Z{y(k)} = Z{y t (kt )} = = k=0 y t (kt )z k k=0 {L 1 {(1 e st )h(s)/s} t=kt } z k (3.10) Nå gjør vi et grep som kan virke litt merkelig, men som kan gjøres fordi alle operasjoner i formelen ovenfor er lineære. Faktoren e st i s-domenet er en forsinkelse med T i tidsdoment. Faktoren z 1 i z-domenet er en forsinkelse med ett tidssteg, som har lengde T. Faktoren (1 e st ) kan da tas gjennom invers Laplace-transform til tidsdomenet, samples med tidssteg T til det diskrete domenet, og så tas z-transformasjon av til z-domenet der det nå blir til faktoren (1 z 1 ). Merk også at h(z) = y(z) når u(z) = 1 som her. Altså får vi eller om en vil h(z) = y(z) = (1 z 1 ) k=0 {L 1 {h(s)/s} t=kt } z k, } h(z) = y(z) = (1 z 1 )Z {L 1 {h(s)/s} t=kt. (3.11) Lenger kommer vi ikke før vi har et uttrykk for h(s). Et eksempel der en bruker dette er for førsteordens system i kapittel Diskretisering med approksimasjoner Ved hjelp av differensial- og integralapproksimasjoner kan en forholdsvis enkelt diskretisere alle system gitt med (førsteordens) differensialligninger. En kan 21

22 Figur 7: Differensialapproksimasjoner. Her illustreres at en kan tilnærme den deriverte for x(k) = x t (kt ) på flere måter. En kan gå forover ett tidssteg og bruke x(k) og x(k + 1) eller bakover og bruke x(k 1) og x(k) eller en kan bruke sampleverdi både foran og bak. Stigningstallet for de rette linjer mellom samplingspunktene er tilnærminger til den deriverte. utlede enkle subtitusjonsregler som kan brukes på overgangen fra h(s) til h(z). En får ulike regler alt etter hvilken approksimasjon som brukes, men uansett er reglene enkle, de er i de etterfølgende delkapitlene, her tar vi kun selve approksimasjonene. En fordel med metodene basert på approksimasjonene er at en gjerne kan ha et kontinuerlig inngangssignal u(t), ikke et stykkevis konstant signal slik som eksakt diskretisering krever. Vi bruker nå et tilstandssignal x(k) i stedet for utgangen y(k). Som vanlig bruker vi prikk-notasjon for den tidsderiverte ẋ = ẋ(t) = d dt x(t) og ẋ(k) = d dt x t(kt ) = d dt x(k) ẋ(t) kan gjerne være oppgitt som en funksjon av x(t) og u(t) og dermed blir ẋ(k) en funksjon av x(k) og u(k), denne funksjonen kan godt være ulineær også for lineære system. Men hvis en ikke har en eksplisitt formel for ẋ(k) så blir det vanskeligere siden ẋ(k) er en tidsderivert og kan ikke finnes ut fra kun de samplede punkta i x(k), en trenger x(t) for å finne eksakt verdi. Likevel kan ẋ(k) tilnærmes på flere måter ut fra nå-, forrige eller neste verdier. Dette 22

23 er illustrert i figur 7. Tre nærliggende alternativer finnes, de gir Differensialapproksimasjonene som er Eulers forovermetode (EF) bruker x(k) og x(k + 1): ẋ(k) 1 T ( x(k + 1) x(k) ). (3.12) Eulers bakovermetode (EB) bruker x(k 1) og x(k): ẋ(k) 1 T ( x(k) x(k 1) ). (3.13) Tustins metode er gjennomsnitt av forover- og bakovermetoden. Tustins metode bruker x(k 1) og x(k + 1). ẋ(k) 1 ( ) x(k + 1) x(k 1). (3.14) 2T Integralapproksimasjoner brukes når en har ẋ(k), gjerne ut fra ẋ, gitt med et uttrykk eller en funksjon som en kan beregne. En kan da bruke dette til å finne eller approksimere x(k) når en har gitt x(k 1). Utgangspunktet er ligningen x(k) = x(k 1) + kt (k 1)T ẋ(t)dt Integralet her kan tilnærmes på tilsvarene måte som differensialene over. En har der satt ẋ(t) = f 1 ( x(t), u(t) ) = f1 (t), en kunne like gjerne satt opp for eksempel Eulers forovermetode (EF) som x(k) x(k 1) + T ẋ(k 1). (3.15) Nå ser en tydelig at integralapproksimasjonen (3.15) egentlig bare er resultatet en får ved å snu litt på differensialapproksimasjonen (3.12). Tilsvarende kan en gjøre med EB (3.13) og får da x(k) x(k 1) + T ẋ(k). (3.16) For Tustins metode kan en først legge merke til at en for differensialapproksimasjonen har at den er gjennomsnitt av Eulsers forover og Eulers bakover, altså (3.14) = 1(3.12) + 1 (3.13). Vi vil beholde denne sammenhengen også for 2 2 integralapproksimasjonen, altså (3.17) = 1(3.15) + 1 (3.16), og dermed er 2 2 x(k) x(k 1) + T 2 (ẋ(k) + ẋ(k 1) ). (3.17) Oftest brukes nok Eulers bakovermetode, fordelen er at den er enkel og at den kun bruker forrige og nåværende verdier for x(k) for å finne ẋ(k). 23

24 3.3.3 Diskretisering med substitusjon Ved hjelp av differensial- og integralapproksimasjoner kan en utlede enkle subtitusjonsregler som kan brukes på overgangen fra h(s) til h(z). En får ulike regler alt etter hvilken approksimasjon som brukes, men uansett er reglene gnaske enkle å bruke. La oss starte med Eulers forovermetode, der utgangspunktet er at den deriverte til et (kontinuerlig) signal ved et tidspunkt t = kt tilnærmes som i (3.12). Signalet kalles her x men det kunne like gjerne blitt kalla y. ẋ(t) = ẋ(kt ) 1 ( ) x(k + 1) x(k). T Substitusjonsreglene kan finnes ved å se på et eksempel med en enkel integrator. En integrator er gitt ved den kontinuerlige modellen (differensialligningen) Laplace-transformeres til og det gir transferfunksjonen ẋ = u sx(s) = u(s) h(s) = x(s)/u(s) = 1/s. Alternativ 1 Approksimasjon med Eulers forovermetode (3.15) gir x(k) = x(k 1) + T u(k 1) x(k) x(k 1) = T u(k 1) x(z) z 1 x(z) = T z 1 u(z) x(z)(1 z 1 ) = T z 1 u(z) h(z) = x(z) u(z) x(z) = T z 1 u(z) 1 z 1 Alternativ 2 Approksimasjon med Eulers forovermetode (3.15) gir = T z 1 1 z 1 = T z 1. (3.18) x(k + 1) = x(k) + T u(k) x(k + 1) x(k) = T u(k) zx(z) x(z) = T u(z) x(z)(z 1) = T u(z) x(z) = T z 1 u(z) h(z) = x(z) u(z) = T z 1. (3.19) 24

25 For begge alternativer har en at h(s) = 1/s gir h(z) = T/(z 1). Dette kan brukes til å gi følgende substitusjonsregel som kan brukes for en vilkårlig transferfunksjon h(s), men en må være klar over at dette er en tilnærmelse basert på Eulers forovermetode. Tilsvarende med Eulers bakovermetode (3.16) gir h(z) = h(s) s= z 1 (3.20) T h(s) = h(z) z=t s+1 (3.21) x(k) = x(k 1) + T u(k) x(z) z 1 x(z) = T u(z) x(z) = T u(z) 1 z 1 h(z) = x(z) T = u(z) 1 z = T z 1 z 1. (3.22) Altså har en nå at h(s) = 1/s gir h(z) = T z/(z 1) og får substitusjonsregler basert på Eulers bakovermetode Tustins metode (3.17) gir på samme måte h(z) = h(s) s=(z 1)/T z (3.23) h(s) = h(z) z=1/(1 T s) (3.24) x(k) = x(k 1) + T ( ) u(k) + u(k 1) 2 x(z) z 1 x(z) = T ( u(z) + z 1 u(z) ) 2 x(z) = T (1 + z 1 ) 2(1 z 1 ) u(z) h(z) = x(z) u(z) = T (1 + z 1 ) 2(1 z 1 ) Dermed gir Tustins metode følgende substitusjonsregler h(z) = h(s) 2(z 1) s= T (z+1) h(s) = h(z) z= 2+T s 2 T s Substitusjonsreglene kan oppsummmeres i følgende tabell. = T (z + 1) 2(z 1). (3.25) (3.26) (3.27) h(s) h(z) EF EB Tustin s = z 1 T s = z 1 T z h(z) h(s) z = T s + 1 z = 1 1 T s s = 2(z 1) T (z+1) z = 2+T s 2 T s 25

26 3.3.4 prewarp-metoden Frekvenskorrigering er en modifisering av Tustins metode for diskretisering. Gitt et system ved s-transferfunksjonen h(s). Diskretiserer denne med Tustins approksimasjonsmetode med substitusjon, (3.26), og ser på frekvensresponsen etter diskretiseringen. Frekvensresponsen h z (ω) er z-transferfunksjonen innsatt z = e jωt. h z (ω) = h z (z) z=e jωt = ( ) h s (s) 2(z 1) z=e jωt s= T (z+1) = h s (s) s= 2(e jωt 1) T (e jωt +1) = h s ( 2(e jωt 1) T (e jωt + 1) = h s ( 2(e jωt 1) e jωt/2 T (e jωt + 1) e jωt/2 ) = h s ( 2 T 2j sin(ωt/2) 2 cos(ωt/2) ) ) = h s (2j T tan(ωt/2)) = h s (jv), der v = 2 T tan(ωt/2). Vi husker at frekvensresponsen til et kontinuerlig system kan finnes ved å sette s = jv der v er frekvensen for innsignalet. Eksempelet i delkapittel 6.1 illustrerer nettopp uttrykket (z 1)/(z + 1) i det komplekse plan. Det diskrete systemet h z (z) får altså samme frekvensrespons for frekvens ω som det kontinuerlige sysemet h s (s) får for frekvens v, der v = 2 T tan(ωt/2). Merk at for små T så blir v ω. En kan dermed korrigere slik at det diskrete systemet, som jo er en tilnærming til det kontinuerlige systemet, gir eksakt samme respons som det kontinuerlige systemet ved en bestemt (kritisk) frekvens ω 1. Resultatet kan da oppsummeres med en (enkel) substitusjonsregel h z (z) = h(s) s= 2ω 1 (z 1) T v 1 (z+1), v 1 = 2 T tan(ω 1T/2). (3.28) Eksempel prewarp-metoden på sugefilter Her er et eksempel med et sugefilter, det er det samme som notch-filter. Vi tar her kun Matlab delen slik den blir med CST versjon 8.0. wf=1; T=1; zeta=sqrt(2)/2; teller = [1/(wf*wf), 0, 1]; nevner = [1/(wf*wf), 2*zeta/wf, 1]; sysc = tf(teller,nevner); sysd = c2d(sysc,t, tustin ); % kontinuerlig system % diskret system 26

27 Figur 8: Bodediagram som viser frekvensresponsen for et sugefilter, det kontinuerlige tilfellet er med blå strek, diskretisering med Tustins metode er med grønn strek, og diskretisering med prewarp-metoden er med rød strek. sysdp = c2d(sysc,t, prewarp,wf); % diskret system med frekv.korr. bode(sysc,sysd,sysdp,linspace(0.1,10,500)); grid on; % Bode diagram for de tre systemene Resultatet viser i figur Poler ved diskretisering Poler for h(s) er s-verdier der nevneren er null, eller mer presist for en pol s 1 har vi lim s s 1 h(s) =. Diskretisering av h(s) gir forskjellige h(z) avhengig av metode, dermed får en også forskjellige poler avhengig av metode 27

28 Metode Substitusjon Pol EF z = 1 + T s z i = 1 + T s i EB z = 1 1 T s z i = 1 1 T s i Tustin Eksakt z = 2+T s 2 T s z i = 2+T s i 2 T s i z i = e s it Substitusjonene i midtre kolonne er de en gjør i (3.20), (3.23) og (3.26). Eksakt diskretisering kan ikke gjøres med en substitusjon, men med nullte ordens holdeelement kom en fram til ligning 3.11 h(z) = (1 z 1 )Z {L 1{ h(s)/s } } t=kt. og med regning som vi her ikke tar med, rekkeutvikling er gjerne enkleste måte, får en at en kontinuerlig pol s i får tilsvarende diskrete pol z i. Sammenhengen mellom disse er gitt ved z i = e s it, s i = 1 T ln z i. En merker seg at om det kontinuerlige systemet er ustabilt, poler i høyre halvplan, så blir også det (eksakte) diskretiserte systemet ustabilt med poler utenfor enhetssirkelen, altså Re(s i ) > 0 z i > 1. Substitusjonsreglene beholder ikke nødvendigvis stabiliteten! Et eksempel er med marginalt stabilt kontinerlig system som har pol på imaginær akse, for eksempel s i = j. Eulers forovermetode gir da pol utenfor enhetssirkelen, ustabilt system. Eulers bakovermetode gir da pol innenfor enhetssirkelen, stabilt system. Mens Tustins metode gir her pol på enhetssirkelen slik som eksakt diskretisering også gir. Merk at poler og egenverdier er samme sak, tilfeldig referanse fra nett: Utah State University. Poler brukes for transferfunksjonen (nullpunkt i nevner), mens egenverdier (for A og Φ matriser) brukes for system gittt ved TRM. Se gjerne eksamensoppgave 2 (lodd i fjør) november Diskretisering av TRM Som for diskretisering av transferfunksjonen kan også diskretisering av tilstandsrommodellen gjøres eksakt eller med en approksimasjon. Eksakt diskretisering gir også her et ikke helt enkelt uttrykk som kun er nyttig for enkle system. Diskretisering kan gjøres for differensialligningene, også når de er satt opp som tilstandsrommodell, enten den er generell eller lineær. 28

29 3.4.1 Eksakt diskretisering av lineær TRM Det vanligste er å diskretisere den lineære tilstandsrommodellen, det skal gjøres i dette kapittelet. Dette er en overgang fra systemet på form som i kapittel 2.6, (2.13). til form som i kapittel 2.5, (2.11). Lineær tilstandsrommodell, (2.13), kan diskretiseres med nullteordens sample- og holdeelement, sampletid er T. Først skrives tilstandsligningen fra (2.13) som ẋ Ax = Bu Med å multipliserer på begge sider med e At får en e At ẋ e At Ax d dt[ e At x(t) ] = e At Bu(t) Videre integrerer vi over et tidssteg fra t = t 1 til t = t 2, (T = t 2 t 1 ), noe som gir [ e At x(t) ] t2 t 2 t 1 = e At 2 x(t 2 ) e At 1 x(t 1 ) = e At Bu(t)dt t 1 Multipliserer så med e At 2 og får x(t 2 ) e A(t 2 t 1 ) x(t 1 ) = t2 t 1 e A(t 2 t) Bu(t)dt Her er integralet over u(t) i prinsippet varierende for t mellom t 1 og t 2, med et nullteordens sample- og holdeelement så holdes u(t) = u(t 1 ) i et tidssteg, altså helt fram til t 2. Dermed kan Bu(t 1 ) trekkes utenfor integralet. Vi setter også x(t 2 ) alene på venstre side og får x(t 2 ) = e A(t 2 t 1 ) x(t 1 ) + t2 t 1 e A(t 2 t) dtbu(t 1 ) Med å sette t 1 = kt, x(k) = x t (kt ) = x(t 1 ) og t 2 = (k + 1)T, x(k + 1) = x(t 2 ) og skifte integrasjonsvariabel 2 fra t til t 2 τ så blir dette (når en også bytter om integrasjonsgrensene) x(k + 1) = e AT x(k) + T 0 e Aτ dτbu(k) Måleligningene blir uendret, det er ingen deriverte i den, og dermed har vi (2.11) x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k), y(k) = Dx(k) + Eu(k). 2 Når en setter t t 2 τ har en τ = t 2 t og dτ = dt og integrasjonsgrensene blir t = t 1 τ = t 2 t = t 2 t 1 = T og t = t 2 τ = t 2 t = 0 29

30 der Φ = e AT, og Γ = T 0 e Aτ dτ B. (3.29) Alternativt kan Φ og Γ uttrykkes ved hjelp av invers Laplace-transform. Med å bruke ligning 6.42 får en Φ = e AT = L 1 {L{e At } } t=t Φ = L 1{ (si A) 1} t=t (3.30) For å finne tilsvarende uttrykk for Γ så bruker en en egenskap ved Laplacetransformasjonen, L{ t f(τ)dτ} = 1 L{f(t)}. Med å bruke dette så får en 0 s T { t } Γ = e Aτ dτ B = e Aτ dτ B 0 0 t=t { = L {L t } 1 e Aτ dτ B { = L 1 L { t f(τ)dτ } B Γ = L 1 { 1 s L{eAτ } B 0 0 } t=t } t=t } t=t med f(τ) = e Aτ = L 1 {(si A) 1 1 s B } t=t (3.31) Matrisa B ble flyttet utenfor den innerste Laplace-transformasjonen. Det kan gjøres siden en antar at B er konstant, altså ikke en funksjon av tiden t, slik en også antar at A er konstant Rekkeutvikling for diskretisering av lineær TRM Formlene for Φ og Γ ovenfor er ikke helt enkle. Oftest, i praksis, tilnærmer en heller uttrykkene for Φ og Γ med rekkeutvikling, og en trenger sjelden mange ledd for å få ganske nøyaktig tilnærming. Har en mange ledd så kan en aksptere en stor T og likevel få god nøyaktighet. Men det kan likevel være nødvendig med liten T for mer kontroll med pådraget, eller bedre tilnærming til virkelig pådrag. 1. En regner først ut ei mellommatrise S = IT + 1 2! AT ! A2 T ! A3 T 4 + A er ei n n matrise og I er ei n n enhetsmatrise. T er her tidssteget, en skalar, den bør være tilstrekkelig liten, slik at de utelattet leddene ikke gir så stort bidrag. En tommelfingerregel er: T 0.1 eig(a) max (3.32) 30

31 2. Så regner en ut Φ med Φ = I + AS. 3. Og til slutt regner en ut Γ med Γ = SB. I Matlab, CST versjon 8.0, så er det c2d som brukes, denne funksjonen tar et LTI-system (ikke matriser for systemet) og metode som input. Et eksempel: A = [0,1; 0,0]; B = [0;1]; C = [1,0]; % C (og D) matrisene må også gis i ss Ts = 0.5; sysc = ss(a,b,c,0); % state space (tilstandsrommodell) sysd = c2d(sysc,ts); % diskretiseres med tidssteg Ts Approksimasjon for diskretisering av TRM Vi ser kun på tilfellet der tilstandsrommodellen approksimeres med Eulers forovermetode (EF). EF er enklest å utlede og ikke minst å bruke, sammenlignet med de vanligvis mer presise metodene Eulers bakovermetode og Tustins metode. Fra ligning 2.12 og ligning 2.13 har vi den kontinuerlige tilstandsrommodellen på henholdsvis generell og lineær form ẋ = f(x, u,...) (3.33) ẋ = Ax + Bu + (3.34) Som vanlig brukes en notasjon der variabler uten indeks generelt er eller kan være vektorer eller matriser, og variabler eller funksjoner med indeks er skalarer. Dermed har en at (3.33) gjerne kan utvides til ẋ(k) = ẋ 1 (k). ẋ n (k) = f 1 (x(k), u(k),...). f n (x(k), u(k),...) = f 1 (k). f n (k) = f(k). Med Eulers forovermetode tilnærmes den deriverte som i (3.12) ẋ(k) 1 ( ) x(k + 1) x(k) T Dette gir følgende diskretisering av modellen på lineær form (3.34), x(k + 1) = Φ x(k) + Γ u(k) x(k + 1) = x(k) + T ẋ(k) = x(k) + T Ax(k) + T Bu(k) = (I + AT )x(k) + BT u(k) (3.35) 31

32 Merk at en i (3.35) bruker I, og ikke 1, siden x er vektor her. En ser også at dette tilsvarer rekkeutvikling når en kun har med til og med lineære ledd (S = IT, Φ = I + AS = I + AT og Γ = SB = BT ), det vil si utelater ledd med T 2 og høyere orden. Modellen på generell form (3.33) kan gjerne diskretiseres direkte, x(k + 1) = x(k) + T ẋ(k) der en for ẋ(k) gjerne kan sette funksjonen f(x, u,...) fra ligning Linearisering i kombinasjon med en diskretisering En kan ta linearisering i kombinasjon med en diskretisering av TRM. En vanlig situasjon er at en ved å bruke matematisk modellering har fått systemet på form som en generell kontinuerlig tilstandsrommmodell, ligning For å bruke Kalman-filter så ønsker en systemet på en form som en diskret lineære tilstandsrommmodell, ligning Med Eulers forovermetode, ligning 3.12, får en at x(k + 1) = x(k) + T ẋ(k) = x(k) + T f(x, u,...) f (k) Tidsteget er T. Vanligvis i dette notatet er f() brukt for ulineær sammenheng både i kontinuerlig system, altså ẋ = f( ) ligning 2.12 og ligning 3.33, og i diskret system, altså x(k + 1) = f( ) ligning 2.10 og ligning 3.1. Men akkurat her trenger vi å skille disse tydelig fra hverandre og velger da å bruke f (k) for det diskrete tilfellet, altså funksjonen som gir tilstand i neste tidssteg x(k+1) = f ( ). Den kontinuerlige funksjonen f(x, u,...) over er som i ligning Vi kan nå finne matrisene Φ og Γ ut fra lineariseringen gitt i ligningene 3.2 og 3.3 med f ( ) som funksjonen som gir tilstand i neste tidssteg. En får da, når en noen plasser ikke skriver (k), for lineariseringen etter Eulers forovermetode at Φ = Φ(k) = f (x + T ẋ) = (3.36) x Ap x Ap og Γ = f u = Ap (x + T ẋ) u (3.37) Ap Ap (merk ikke A som vi ofte ellers bruker for arbeidspunkt) er her arbedspunktet gitt av x og u. Ligningene over er tilsvarende som ligningene i kapittel 3.1. Merk at Eulers forovermetode kun brukes på de tidsderiverte og aldri på de partiellderiverte. 32

33 4 Systemets egenskaper 4.1 Generell tidrespons Hvis en har gitt systemet ved z-transferfunksjonen så kan en finne (simulere) tidsresponsen for et vilkårlig inngangssignal. Det er ikke nødvendigvis enkelt siden en først må finne z-transformasjonen av inngangssignalet og så den inverse z-transformasjonen av h(z)u(z). Dette kan en ofte løse med tabelloppslag for enkle funksjoner, med generelt er det vanskelig Delbrøkoppspalting for beregning av tidsrespons Delbrøkoppspalting må ofte gjøres for å finne tidsresponsen. Dette gjøres som regel i kombinasjon med tabelloppslag. Vi tar her et eksempel med delbrøksoppspalting der systemet er et førsteordens system h(z) = z z og inngangssignalet er et steg, med z-transform Utgangssignalet, i z-planet, er da u(z) = 1 z 1 y(z) = h(z)u(z) z = (z )(z 1) = az z bz z 1 az(z 1) + bz(z ) = (z )(z 1) = (a + b)z2 (a b)z (z )(z 1) = az2 az + bz bz (z )(z 1) (4.1) som gir a + b = 0 og a b = med løsning a = og b = , altså y(z) = z (z )(z 1) = ( z z 1 z z ) Fra ligning 6.8 har vi at Z{a k } = z/(z a), og dermed får vi her at y(k) = (1 k k ) 2( k ). (4.2) 33