Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp)

Transkript

1 DE EKNISK - NAURVIENSKAPELIGE FAKULE Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (0 sp) Dato: Onsdag 4 desember 206 Lengde på eksamen: 4 timer illatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator. Bokmål Utkast med løsningsforslag, 2. desember 206. Merk at faglærer ikke vil gå en runde i eksamenslokalet under eksamen. Er det ting i oppgaven du synes er uklart eller tvetydig så gjør fornuftige, faglig baserte antakelser. Husk å ta de med i besvarelsen. Max oppnåelige poeng er gitt for hver oppgave, totalt kan en få 00 poeng. Med 240 minutt totalt kan en fornuftig tidsbruk være å bruke ca 0 minutt for hver 5 poeng, da har en 20 minutt til pauser og 20 minutt ekstra. Merk at oppgavene eller deloppgavene ikke er sortert etter forventet vanskelighetsgrad. Oppgavesettet er på 3 oppgaver, i tillegg er det med noen nyttige formler i del 4 side 5. Oppgavesettet med løsningsforslag er totalt 5 sider (inkludert denne forsida).

2 i s i L i C L + v C C R v R Figur : R-krets. Sirkelen med pil i representerer en strømkilde (source) som leverer strøm til kretsen, i s (t). R-krets (Antall poeng for denne oppgaven er 30) Figur viser en R krets. Det er en forholdsvis enkel krets med en spole, induktans L med enhet Henry [H, en kondensator, kapasitet C med enhet Farad eller [F, og en motstand, resistans R med enhet Ohm [Ω. I tillegg er det en strømkilde som leverer strøm til kretsen. Gjennom hver eletrisk komponent går det en strøm i, og over hver er det en spenning v. Sammenhengen mellom strøm og spenning er gitt ved v R (t) = R i R (t), v L (t) = L d i L(t) dt og i C (t) = C d v C(t). (.) dt for henholdsvis motstand, spole og kondensator. En har også noen regler for kretsen:. I hvert forgreiningspunkt er summen av strøm som går inn lik summen av strøm som går ut. For eksempel for forgreiningspunktet over kondensatoren og til venstre for spolen i gur så har en at strøm fra strømkilden er lik strøm gjennom spole (som også er lik strøm gjennom motstand) pluss strøm gjennom kondensator, i s (t) = i L (t) + i C (t). 2. Spenningen mellom to punkt er den samme uansett hvilken sti en går fra punkt til punkt, og spenningsfall (eller stigninger) langs en sti adderes sammen til spenning mellom endepunkt. I eksempelet i gur betyr det at spenningen mellom øverste ventre hjørne og nederste høyre hjørne er lik enten en går over kondensatoren eller over spole og motstand, v C (t) = v L (t) + v R (t). a. Her skal en lage en kontinuerlig lineær tilstandsrommodell for R-kretsen i gur. ẋ = Ax + Bu og y = Dx + Eu (.2) 2

3 For å gjøre det må en velge hva en vil ha som tilstander, det er mange muligheter for å velge disse. En måte å velge disse på i en R-krets er å bruke spenning over kondensator og strøm over spole som tilstander. Dette kan være naturlig siden energi (lagret) i kretsen er gitt ved E(t) = 2 C v2 C(t) + 2 L i2 L(t). (.3) Dermed velges x = v C og x 2 = i L. Pådraget er stømmen fra kilden, u = i s og målingen (utgangen) er y = v R. Finn matrisene A, B, D og E i kontinuerlig lineær tilstandsrommodell. Forholdet mellom strøm og spenning for kondensator er i C = C v C og dermed ẋ = v C = C i C = C ( i L + i s ) = C ( x 2 + u) (.4) der vi også har brukt regel i oppgaven. Forholdet mellom strøm og spenning for spole er v L = L i L (merk begge prikkene over i-en) og dermed ẋ 2 = i L = L v L = L (v C v R ) = L (v C R i L ) = L (x R x 2 ) (.5) der vi også har brukt regel 2 i oppgaven. Disse to ligningene kan skrives på matriseform [ [ [ [ ẋ 0 x ẋ = = C R + C u. (.6) ẋ 2 x L L 2 0 }{{}}{{} A B Måleligningen blir y = v R = R i R = R i L = R x 2 = [0, R x. (.7) }{{} D Matrise E = [0, 0 siden det ikke er direktekobling her. b. Utvikle en diskret tilstandsrommodell som svarer til Euler-forover-diskretisering av modellen funnet i oppgave a. Bruk samplingsintervall. På grunn av vanlige størrelser for kondensator og spole så må ofte være svært liten, men her trenger vi ikke bry oss om størrelsen på. Skriv den diskrete tilstandsrommodellen på formen x(k + ) = Φx(k) + Γu(k) (.8) det vil si skriv uttrykkene for Φ og Γ. Euler-forover-diskretisering av en kontinuerlig tilstandsrommodell er gitt ved Φ = I +A og Γ = B der er tidssteget. Den diskrete tilstandsrommodellen x(k + ) = Φx(k) + Γu(k) har da [ [ Φ = C R og Γ = B = C (.9) 0 L L 3

4 c. Dere skal nå utlede formelen for z-transferfunksjonen fra u til y i en generell diskret tilstandsrommodell. Det vil si h(z) i uttrykket y(z) = h(z)u(z). I denne deloppgaven skal dere gi transferfunksjonen kun med å bruke matrisene Φ, Γ og D, det vil si la svaret være helt generelt, og ikke sett inn for R-kretsen her. ar z-transform av ẋ = Ax + Bu og får zx(z) = Φx(z) + Γu(z) (.0) (zi Φ)x(z) = Γu(z) (.) x(z) = (zi Φ) Γu(z) (.2) ar z-transform av måleligningen y = Dx, det blir y(z) = Dx(z), og når vi setter inn for x(z) her får vi Altså har en y(z) = Dx(z) = D(zI Φ) Γu(z) (.3) h(z) = D(zI Φ) Γ (.4) Dette er formelen en skulle komme fram til i oppgaven. d. Dere skal nå nne z-transferfunksjonen fra u til y for R-kretsen i begynnelsen av denne oppgaven. Det vil si h(z) i uttrykket y(z) = h(z)u(z) der pådraget er stømmen fra kilden, u = i s og målingen (utgangen) er y = v R. Hvis du ikke har fått til deloppgavene a-c så kan ikke deloppgave d) løses og du må gå videre til deloppgave e). En bruker formelen funnet i forrige deloppgave h(z) = D(zI Φ) Γ. Her får en (zi Φ) = [ z C L For den inverse brukes formel i formelarket (zi Φ) = (z )(z + R L ) + 2 z + R L [ z + R L C z L (.5) (.6) Med D = [0, R får en videre D(zI Φ) = (z )(z + R L ) + 2 [ z + R [0, R L C z L 4

5 D(zI Φ) = (z )(z + R L ) + 2 Og med Γ = [/C, 0 som i (.9) får en D(zI Φ) Γ = (z )(z + R L ) + 2 D(zI Φ) Γ = h(z) = D(zI Φ) Γ = som kan skrives på ere måter h(z) = [ R L [ R L (z )(z + R L ) + 2, (z )R [, (z )R C 0 R 2 R 2 (z )(z + R L ) + 2 R 2 / (z )(z + R/L) + 2 / (.7) (.8) h(z) = h(z) = h(z) = z ( z R/ ) (.9) + (/) + R L R 2 / z 2 (2 R/L)z + ( R/L + 2 /) (.20) (R 2 /) z 2 (2 R/L) z + ( R/L + 2 /) z 2 (.2) Her er kanskje forma i (.8) enklest. e. Denne deloppgaven er ikke knyttet til tidligere deloppgaver eller R-kretsen. a utgangspunkt i forover-approksimasjonen av den deriverte og utled substitusjonsregelen for Eulers forovermetode ved å se på en enkel integrator. Substitusjonsreglene kan nnes ved å se på et eksempel med en enkel integrator. En integrator er gitt ved den kontinuerlige modellen ẋ = u. Denne Laplace-transformeres til sx(s) = u(s) og det gir transferfunksjonen h(s) = x(s)/u(s) = /s. For Eulers forovermetode tilnærmes den deriverte til et (kontinuerlig) signal ved et tidspunkt t = k som nedenfor. ẋ(t) = ẋ(k ) For integrator har en ẋ = u og får ( x(k + ) x(k) ). (.22) ẋ(k) = ( x(k + ) x(k) ) = u(k) 5

6 z-transform av dette git x(k + ) x(k) = u(k) zx(z) x(z) = x(z)(z ) = u(z) x(z) = z u(z) h(z) = x(z) u(z) = z. (.23) Dermed har en at h(s) = /s gir h(z) = /(z ). Dette kan brukes til å gi følgende substitusjonsregel som kan brukes for en vilkårlig transferfunksjon h(s), men en må være klar over at dette er en tilnærmelse basert på Eulers forovermetode. h(z) = h(s) s= z (.24) f. Nå skal du bruke resultatet fra forrige delspørsmål på s-transferfunksjonen for R-kretsen i begynnelsen av oppgaven. Den er h(s) = R s ( s + R L ) + Finn h(z) med substitusjon basert på Eulers forovermetode. (.25) Det er nå enkelt å nne denne hvis en har riktig substitusjonsformel (.24). h(z) nnes ved å erstatte s-ene i h(s) med (z )/, her blir det h(z) = h(z) = z ( z R + R L ) + R 2 / (z )(z + R/L) + 2 / (.26) (.27) Ikke overraskende er svaret det samme som i delspørsmål d), (.26) er som (.9) og (.27) er som (.8). 2 Minste kvadraters metode (Antall poeng for denne oppgaven er = 30) a. Minste kvadraters metode tar utgangspunkt i ligningen y = θ f (x) + θ 2 f 2 (x) + + θ n f n (x). (2.) 6

7 Forklar hva de ulike symbolene i ligningen ovenfor (2.) er. Hvilke krav stilles for at minste kvadraters metode skal kunne brukes? Er disse kravene oppfyllt i ligning (2.) eller er det noen tilleggskrav som også må (bør) tas med (for at minste kvadraters metode skal kunne brukes)? Hvordan lages regresjonsvektoren φ(k)? I (2.) er θ i de ukjente parametrene en ønsker å estimere. y er en måling avhengig av disse parametrene. Funksjonen for y må være lineær i θ men trenger ikke være lineær i x, alle funksjonene f i (x) skal være kjente men trenger ikke være lineære. x er en (eller ere) kjente verdier som brukes som argument i funksjonene, de er gjerne innganger i systemet men kan også være tidligere utganger. Hvis de er ukjente må de kunne estimeres slik at estimat kan brukes, f.eks støy i ARMAX modell. For (2.) er alle disse krav (vanligvis) oppfylt, forma sikrer at y er lineær i θ. Funksjonene f i i ligning (2.) kan samles i en regresjonsvektor ϕ. Parametrene samles også i en vektor θ f (x) f 2 (x) ϕ =., θ = f n (x) θ θ 2. θ n. (2.2) og ligning 2. kan da skrives y = ϕ θ. (2.3) b. Løsningen for minste kvadraters metode er gitt ved ˆθ = (Φ Φ) Φ Y. (2.4) Forklar hva de ulike symbolene i ligningen ovenfor (2.4) er og hvordan de henger sammen med problemstillingen i (2.). For å nne de n ukjente parametre må en ha minst like mange observasjoner eller målinger som det er ukjente parametre, la oss si N målinger og N n. Hver måling (observasjon) gir her ei ligning, ligning k er y(k) = ϕ (k)θ, og disse kan samles i et lineært ligningsystem med N ligninger og kan skrives som Y = Φθ, (N, N n, n ) (2.5) der Y = y() y(2). y(n), og Φ = ϕ () ϕ (2). ϕ (N). (2.6) 7

8 Minste kvadrater løsningen er løsningen ˆθ med Ŷ = Φˆθ slik at Y Ŷ 2 minimeres, der en har Y Ŷ 2 = N (y(k) ŷ(k)) 2. (2.7) k= Fra matematikken har en at minste-kvadraters-løsningen på ligningssystemet 2.5 er løsningen i (2.4). c. Om vinteren liker Iselin å sykle med sin spesiallagde trehjulsykkel på et islagt vann. Etter at de har hatt om kraft, akselerasjon, fart og friksjon på skolen ønsker ho å måle hvor stor akselerasjonen er når ho bremser med sykkelen på isen. Da er bakhjulene låst mens framhjulet triller fritt slik at farten kan måles med speedometeret. Ho antar at akselerasjon da er konstant og har da lært at farten er v = v 0 + at. For å måle fart og tid samtidig så bruker ho smarttelefonen sin og lmer speedometer mens ho bremser. Siden speedometer viser både tid (med sekunder) og fart samtidig kan ho ut fra bildene få de målinger som trengst. Målinger av fart (i meter per sekund) med ett sekunds mellomrom ble: Iselin nner så akselerasjon med å ta sluttfart minus startfart og dele på tid og nner a = (v 0 v )/(t 0 t ) = ( )/9 = 0.2. Du har imidlertid nettopp sett på minste kvadraters metode i dine studier og foreslår å bruke den her. Plott målepunktene i en gur og forklar hvordan minste kvadraters metode kan brukes for å nne akselerasjonen ved bremsing ut fra tilgjengelige målinger. Hva blir resultatet for a da? Her skal svaret inneholde et plott av målepunkt (3 poeng), en forklaring (3 poeng) og en utregning (4 poeng). Her er ikke selve plottet vist, det bør være ganske enkelt å få til. Forklaringen kan være som her. I denne problemstillingen har en to (n = 2) ukjente parametre, i tillegg til den opplagte a har en også initiell fart, fart ved tid null v 0. Altså [ [ θ v0 θ = = (2.8) a θ 2 Målingen er fart y = v. En har N = 0 målinger og en kan sette første måling ett sekund etter start (ved tid t 0 = t = 0), dermed blir t k = k for k =, 2,..., N. (en kunne startet med første måling ved tid t hva som helst uten at det ville fått noe å si for a, det vil påvirke v 0 ) Regresjonsvektoren blir da [ [ f (x) ϕ =, = (2.9) f 2 (x) t k 8

9 slik at regresjonsligningen for tid k (t k ) er y(k) = ϕ (k)θ. Videre lages datamatrisen som ϕ () ϕ (2) 2 ϕ (k) = [, k og Φ =. ϕ (N) Matrisen som skal inverteres er da Φ Φ og blir her 0 [ Φ Φ = k k= [, k = 0 k= [ k k k 2 =. 0. (2.0) [ 0 = k= 0 k= k 0 k= k 0 k= k2 Med målingene y(k) kan en også nne vektoren Φ Y 0 [ Φ Y = k k= y(k) = [ 0 k= y(k) 0 k= ky(k) Når en så skal regne dette ut her er det bare å sette inn tall. Dette gir vektoren Y med størrelse N som Y = [ (2.) Nå får en [ 0 Φ Φ = k= 0 k= k [ k= k 0 = k= k [ (Φ Φ) = = [ [ 0 Φ Y = k= y(k) [ k= ky(k) = med resultatet [ ˆv0 ˆθ = â = (Φ Φ) Φ Y = 825 [ [ = [ Altså ble akselerasjonen estimert til -0.2 [m/s 2, temmelig nøyaktig det samme som den enklere metoden som Iselin brukte ga her. d. Hvordan kan du vurdere kvaliteten (godhet, usikkerhet, nøyaktighet) for estimatet? Har du noe grunnlag for å si at minste kvadraters metode gir bedre resultat enn den enklere metoden Iselin brukte? Kvalitet kan vurderes ut fra størrelsen på (kvadrerte) feil. Feilen for hver k er e(k) = y(k) ŷ(k) der ŷ(k) = ϕ (k)ˆθ. Denne feilen bør helst være liten 9

10 (mindre enn alternative metoder/modeller) og helst også hvit eller tilnærmet hvit. Selve eksperimentet har ere feilkilder (luftmotstand høyest med stor fart, vektfordeling mellom bakhjul og forhjul er usikker, og ere) og det er ikke nøvendigvis slik at de ulike støyledd kan forventes å ha null som middelverdi. Det er kanskje et lite grunnlag for å si at estimatet med minste kvadraters metode er bedre enn estimatet fra den enklere metoden. Den enkle metoden nner stigningstallet til linja som kan trekkes mellom første og siste punkt og er på med måten mer korrelert til akkurat feilen i disse punktene. Minste kvadraters metode bruker også mellomliggende punkt (målinger) og en kan dermed forvente at feil blir mer glattet (utjevnet). En kan også legge merke til at om en beregner akselerasjonen (stigningstallet) for hvert av de 9 korte intervallene og så tar gjennomsnitt så vil en se at mellomliggende punkt kansellerer hverandre og at en endre opp med Iselins enkle metode. Hvorvidt det er riktig å bruke kvadrert feil i stedet for for eksempel absoluttverdi av feil kan diskuteres og er slett ikke entydig. Det kan også være en svakhet med minste kvadraters metode at den ikke tar med (mulighet) for feil i måletidene, her kan kanskje total-least-squares metode kan være et alternativ. (for lineær kurve vil det gi litt brattere linje). Hva du konkluderer med her er ikke så viktig for vurderingen, det som betyr noe er hvordan du argumenterer. 3 Kalman-lter (Antall poeng for denne oppgaven er 40) Den fullstendige lineære tilstandsrommodellen for en gitt prosess er x(k + ) = Φ(k)x(k) + Γ(k)u(k) + Ω(k)v(k), (3.) y(k) = D(k)x(k) + E(k)u(k) + w(k). (3.2) Ved utvikling av Kalmanlteret er denne imidlertid redusert til x(k + ) = Φx(k) + v(k), (3.3) y(k) = Dx(k) + w(k). (3.4) Det er n prosesstilstander i modellen, s pådrag og l målinger. a. Forklar hva de ulike symbolene (det vil si matriser og vektorer) i ligningene ovenfor, (3.) og (3.2), er og hvilken dimensjon de har. Stikkordspreget forklaring, mer detaljert i notat3. x(k) og x(k + ) er tilstandene ved tidssteg k og k +. Dimensjon er n. 0

11 u(k) er pådrag ved tidssteg k. Dimensjon er s. v(k) er prosesstøy ved tidssteg k. Dimensjon er n. y(k) er måling ved tidssteg k. Dimensjon er l. w(k) er målestøy ved tidssteg k. Dimensjon er l. Φ(k) er transisjonsmatrisen ved tidssteg k. Dimensjon er n n. Γ(k) er pådragsmatrisen ved tidssteg k. Dimensjon er n s. Ω(k) er forstyrrelsesmatrisen ved tidssteg k. Dimensjon er n n. D(k) er målematrisen ved tidssteg k. Dimensjon er l n. E(k) er direktekoplingsmatrisen ved tidssteg k. Dimensjon er l s. En har ofte at E(k) er null. Det er også vanlig at matrisene ikke er tidsvarierende, altså ikke varierer med k. b. Nå skal dere forklar hvorfor en kan forenkle slik en har gjort fra ligningene (3.) og (3.2) til ligningene (3.3) og (3.4). Endringene dere skal forklare er de re første punkt listet nedenfor. Deretter svarer dere på de to siste punkt listet nedenfor. Φ(k) og D(k) har blitt Φ og D. Γ(k) har blitt satt til null (leddet Γ(k)u(k) er fjernet). Ω(k) har blitt satt til identitetmatrisa. E(k) har blitt satt til null. Forklar så de forutsetninger en gjør med hensyn til støy for utledning av Kalman-lter. Forklar så de forutsetninger en gjør med hensyn til initialtilstand for utledning av Kalman-lter. Φ(k) og D(k) har blitt Φ og D fordi de ikke er tidsvarierende, eller gjerne mer presist at det ikke betyr noe for utledingen om de er tidsvarierende. Vi kan da innføre Φ(k) og D(k) igjen når vi har resultatet, det vil si ligningene som kan implementeres. Γ(k) har blitt satt til null (leddet Γ(k)u(k) er fjernet). Dette kan gjøres fordi en kan dele tilstanden i en deterministisk del, og en stokastisk del, x(k) = x d (k) + x s (k). x(k + ) = Φ(k)x(k) + Γ(k)u(k) + Ω(k)v(k), x d (k + ) + x s (k + ) = Φ(k) ( x d (k) + x s (k) ) + Γ(k)u(k) + Ω(k)v(k). Dermed kan en skrive x d (k + ) = Φ(k)x d (k) + Γ(k)u(k) (3.5) x s (k + ) = Φ(k)x s (k) + Ω(k)v(k). (3.6)

12 For utledning av Kalmanlteret ser en kun på stokastisk del i siste ligning, den deterministiske delen har ingen stokastiske element og trenger ikke estimeres. Den kan bestemmes eksakt. Ω(k) har blitt satt til identitetmatrisa. Dette kan gjøres ved å anta at de ulike støykomponenter er uavhengige og at hver virker på kun en av tilstandene. Variansen for støy må da ofte justeres. E(k) har blitt satt til null. Som sagt over har en ofte ikke denne med i systemet i det hele. Og om den er med kan den tas bort her med tilsvarende resonnement som for Γ(k). Vi antar at støyen, v(k) og w(k), har forventningsverdi (middelverdi) null E[v(k) = 0, E[w(k) = 0, (3.7) og at sekvensene v(k) og w(k) er ukorrelerte med hverandre (R vw (τ, k) er en n l matrise) E[v(k + τ)w (k) = R vw (τ, k) = 0, (3.8) og støyen er hvit, det vil si uavhengig av tidligere verdier, E[v(k + τ)v (k) = R v (τ, k) = δ(τ)r v (0, k) = Q(k) = Q, (3.9) E[w(k + τ)w (k) = R w (τ, k) = δ(τ)r w (0, k) = R(k) = R.(3.0) Q og R er da autokovariansmatriser for prosesstøy v(k) og målestøy w(k) henholdsvis. Vi skal også ha at initialtilstanden x(0) skal være en hvit stokastisk variabel med forventningsverdi E[x(0) = m 0. c. Kalmanlteret sies å være en rekursiv og optimal tilstandsestimator. Det er lineært, forventningsrett og har minimum varians. Hva mener en i denne sammenheng med de fem uthvede ordene/uttrykkene. Rekursiv: tilstandsestimatet ˆx(k) beregnes ut fra estimatet i forrige tidssteg ˆx(k ). Også andre verdier ved forrige tidssteg kan brukes, her vil det si ˆP (k ). Optimal: Det er det best mulige lineære estimatet som estimeres. Hvis støy er Gaussisk hvit stokastisk støy så er KF-estimatet det beste av alle mulige estimat. Med best mener en her forventningsrett og minimum varians, se nedenfor. 2

13 Lineær: Estimatoren skal være en lineær kombinasjon av (estimat av) forrige tilstand og nye målinger. Altså ˆx(k) = K(k) ˆx(k ) + K(k) y(k) (3.) Der K(k) og K(k) er n n og n l matriser der elementene velges fritt slik at estimatet blir optimalt. Forventningsrett: Det vil si at forventningsverdien til estmatet er lik sann verdi av estimatet, selv om vi ikke kjenner sann verdi kan vi likevel lage estimatoren slik at den er forventningsrett. Altså: E[ˆx(k) = x(k). Minimum varians: Varians for estimeringsavviket, x(k) = x(k) ˆx(k), minimeres. Når det er ere tilstander blir dette at n i= σ2 i minimeres, og der σi 2 = E[( x i x i (k)) 2. d. egn et blokkdiagram for en prosess med Kalmanlter. Forklar diagrammet kort. Hint: Det ble tegnet og forklart på tavla i en forelesningstime høsten 206 da også med en regulator foran prosessen. Blokkene som inngår er matrisene i ligningene er Φ, Γ, D og K, samt pluss og minus og sampling og forsinkelse. Blokkdiagram for Kalmanlter viser i gur 2, selve Kalmanlteret er her det som er innenfor den stipla boksen. Det er som tegnet på tavla i en forelesningstime høsten 206, men var ikke med i notat3 da. Det er siden inkludert i notat3 også. 3

14 v w x s u Reg. Pros. y + Sa. Sa. u(k) Γ Kalman-lter y(k) x(k + ) + z x(k) ȳ(k) D - + Φ + K ˆx(k) e(k) Figur 2: Prosess [Pros. med Kalman-lter og regulator [Reg.. Input til regulator er et settpunkt x s, altså ønska verdier for en eller ere tilstander, og de estimerte tilstandene ˆx(k). Prosessen har pådrag u og måling y som begge samples og går inn til Kalman-lter. Her er guren tegnet som om forsterkningsfaktoren K er konstant (stasjonært KF), men generelt er K en faktor som beregnes på ny for hvert steg k. Når K beregnes brukes (og nnes) også kovariansmatrisene P (k) og ˆP (k), der spesielt aposteriorimatrisa er interessant i seg selv siden den gir et estimat over usikkerheten i tilstandsestimatene. For en ulineær systemmodell (EKF) vil også Φ og eventuelt også D være tidsvarierende og beregnes på ny i hvert tidssteg, som en linearisering omkring arbeidspunktet. Denne guren er basert på gurer 9.2, 9.4 og 9.27 i Finn Haugens blå bok. 4

15 4 Formler og ligninger Diskretisering z-transferfunksjon for kontinuerlige prosesser med nullteordens sample- og holdeelement på inngangen: [ h(z) = ( z )Z L { G(s) s } t=k. (4.) ranformasjonspar, δ( ) er enhetsimpuls og u( ) er enhetssteg. L { e at} = s a (n )! s n L { δ(t a) } = e as L { u(t a) } = e as (s a) 2 s L{} = s, L{t} = s 2 og generelt L{t n } = L { te at} = Z { δ(k) } = Z { δ(k n) } = z n Z { a k u(k) } = z z a Z { ka k u(k) } = az (z a) 2 Z { k 2 a k u(k) } = az(z + a) (z a) 3 Kalman-lter I vår utledning av Kalman-lteret kom vi fram til følgende ligninger som oppsummerer hovedløkka, det er det som gjøres for hvert tidssteg k. x(k) = Φˆx(k ) + Γu(k ) (4.2) P (k) = Φ ˆP (k )Φ + Q (4.3) K(k) = P (k)d (DP (k)d + R) (4.4) ˆx(k) = x(k) + K(k)[y(k) Dx(k) (4.5) ˆP (k) = (I K(k)D) P (k) (4.6) Matriser Ei 2 2 matrise og den inverse er [ a b A = c d, A = ad bc [ d b c a. (4.7) Determinanten er: det(a) = ad bc. Egenverdier for ei matrise er verdier λ slik at det(λi A) = 0. Derivasjon d d sin x = cos x dx x = [ x x 2, f = d cos x = sin x dx [ f ( ) gir f 2 ( ) f x = dx log x = x [ f x f 2 x 2 f 2 f x x 2 (4.8). (4.9) 5