Løsningsforslag til eksamen i EDT211T Styresystemer og reguleringsteknikk 27/ s.1 av 12

Transkript

1 Løsningsforslag til eksamen i EDT2T Styresystemer og reguleringsteknikk 27/5-203 s. av 2 Løsningsforslag eksamen i EDT2T Styresystemer og reguleringsteknikk 27. mai 203. v/ B! Ikke skikkelig kvalitetssikra! Oppgave (25%) En diskret langsom regulator med sampler på inngangen og sample-og-hold på utgangen skal brukes til å regulere væskenivået i en dampkjel. Regulatorens samplingstid er 0,5 sekunder. r Langsom digital regulator e p + u Ventil,2 +2s Dampforbruk (Last) v (-5s) e -,5s 30s ivå i kjel x y ominelt pådrag ivåmåler +s a) i) Med diskretisering og analyse av polenes plassering for å finne fram til forslag til regulatorinnstillinger må først den analoge delen av reguleringssløyfa transformeres over i z- planet med stykkevis konstante innsignal. I tillegg må overføringsfunksjonen til en langsom digital P-regulator settes opp. arakteristisk likning er nevneren i overføringsfunksjonen til den lukka sløyfa satt likk null. Med forenkla overføringsfunksjoner for ventil og nivåmåler blir blokkskjemaet: r Langsom digital regulator Ventil e u p + Dampforbruk (Last) v (-5s) e -,5s 30s ivå i kjel x y ominelt pådrag ivåmåler Diskretisering av den analoge delen:,5s ( 5 se ) HP ( z) = Zzoh 30s Her er det greiest å bruke tabell 2 om overføringsfunksjonen finnes der direkte. Det gjør den ikke, men det går an å dele opp overføringsfunksjonen så tabell 2 kan brukes: For det første kan tidsforsinkelser transformeres for seg med nr 2 i tabell: τ,5,5 h 0,5 3 s { } H ( z) = Z e = z = z = z = τ 3 z

2 Løsningsforslag til eksamen i EDT2T Styresystemer og reguleringsteknikk 27/5-203 s.2 av 2 Deretter kan brøken deles i to deler hvor hver del av en sum kan transformeres for seg: ( 5 s) 5s H () s = = = a 30s 30s 30s 30s 6 0, 033 Ha ( z) = Zzoh = Zzoh 30s 6 s 6 Bruker nr 2 i tabell 2: 0, 033 0, 033 0,5 0, 07 0,7( z ) 0,7z+ 0,9 Ha ( z) = Zzoh = 0,07 = = s 6 z z z 0,7z+ 0,9 0,7z+ 0,9 HP( z) = Hτ ( z) Ha( z) = = z z z z P Overføringsfunkjonen for langsom digital P-regulator: H R = P z = z ( 0,7 0,9) P 0,7z + 0,9 p z+ Åpen sløyfefunksjon blir da: H0 = HR HP = = z z z z z arakteristisk likning blir nevneren i overføringsfunksjonen til den lukka sløyfa satt lik null. Fordi denne nevneren alltid blir lik +H 0 så blir den karakteristiske likninga lik teller + nevner = 0 når teller og nevner er telleren og nevneren i den åpne sløyfefunksjonen. arakteristisk likning blir da: Med litt rydding blir det: p 5 4 ( 0,7 0,9) 0 z+ + z z = 5 4 z z P z (0,7 0,9) = 0 For at prosessen skal være stabil må alle røttene i den karakteristiske likninga havne innafor enhetssirkelen i z-planet. Det betyr at absoluttverdien til røttene må være mindre enn. Dersom et polpar ligger på enhetssirkelen og resten av polparene ligger innafor så har vi stående svingninger. Den P-forsterkinga som gjør at vi får dette er kritisk forsterking. a) ii) Den karakteristiske likninga basert på de riktige overføringsfunksjonene blir: z 2, 4z +,9 z + (0, 092z 0,6z+ 0, 070) = P Programmet Matlab har rekna ut disse røttene for forskjellige verdier av p. Foretar en analyse av polene for å komme fram til et forslag til innstilling av en PID-regulator.

3 Løsningsforslag til eksamen i EDT2T Styresystemer og reguleringsteknikk 27/5-203 s.3 av 2 Bruker Pytagoras for å rekne ut absoluttverdien. r = { re( r)} + { im( r)} 2 2 p=2,44: Alle poler har absoluttverdier mindre enn en. r,2 ligger nærmest enhetssirkelen med en absoluttverdi på 0,983. Reguleringssløyfa er stabil. p=3,44. Alle poler har absoluttverdier mindre enn en unntatt r,2 som ligger på enhetssirkelen med en absoluttverdi på 0,000. Det betyr at p=3,44 gir kritisk tilfelle. Velger derfor kritisk forsterking: k = 3,44. For å finne kritisk periodetid må polparet på enhetssirkelen reknes over til s-planet. Velger verdien for r,2 når p=3,44. Vi er interessert i imaginærdelen i s-planet fordi denne gir svingefrekvensen i rad/sek direkte. B Svaret på arccos må være i radianer! a ω = β = arccos == arccos = 0,67[ rad / sek] h 2 2 0,5 2 2 a + b 0, , 0723 ritisk periodetid blir da: T 2π 2π = = 37,6[ sek] ω 0,67 Forslag til innstilling av PID-regulator basert på Ziegler-ichols tommelfingerregler: P = 0,65* = 0,65 3, 44 2, 4, T = 0,5* T = 0,5 37, 6 9[ sek] og T = 0,2* T = 0,2 37, 6 4,5[ sek] D i a) iii) Polanalyse med PID-reg: Polparet nærmest enhetssirkelen forteller grovt om hvilken type innsvingningsforløp reguleringssløyfa vil ha. Her er det r,2 eller r 3,4 som er nærmest enhetssirkelen. Resten av polene ligger godt innafor enhetssirkelen. Absoluttverdiene til r,2 blir 0,983 og absoluttverdiene til r 3,4 blir 0,968. Absoluttverdien til alle polene ligger dermed innafor enhetssirkelen og systemet er stabilt. Rekner r,2 over til s-planet og finner: α ln( a b ) ln(0,9822 0, 0357 ) = + = + = 0, h 2 0,5 a β = arccos == arccos = 0, 0726[ rad / sek] h 2 2 0,5 2 2 a + b 0, , 0357 Relativ demping blir: α α 0, 0346 ς = = = = 0, 43 ω α + β 0, , 0726 Det betyr at det kan forventes et innsvingningsforløp nesten av typen minimum forstyrrelse og at det hele svinger seg inn på 2 til 3 halvperioder. Periodetida blir ca 2π 2π Tp = = 87[ sek] β 0, 0726 Sidesprang: Innsvingningsforløpet er vist på figuren på neste side. Sett stort på det stemmer dette med det vi har funnet ut fra analysen av polparet nærmest enhetssirkelen. Det er det polparet som dominerer etter hvert. De andre polene forteller noe om transienter som legger seg oppå det dominerende innsvingningsforløpet.

4 Løsningsforslag til eksamen i EDT2T Styresystemer og reguleringsteknikk 27/5-203 s.4 av 2 Innsvingningsløp for nivået ved et sprang i utløpet ved t=200. PID med p=2,24 Ti=8,7 og Td=4,5. Ingen foroverkopling Tid [sekunder] Sidesprang slutt: y b) i) Ideell foroverkopling får vi når 0 v =. Det betyr at, 2 ff = 0 ff = ( + s)( + 2 s) = 0,83( + s)( + 2 s) + s + 2s, 2 b) ii) Differenslikning for foroverkoplinga: Må først transformere overføringsfunksjonen fra s- z planet til z-planet med bakoverdifferansen: s = (For å gjøre det litt enklere droppes h indeksene under utledningene) Innsatt gir dette med h=0,5: z z ff = + + = + z + z = z z 0,5 0,5 2 2 = 0,83(5 22z + 8 z ) 2,5 8,3z + 6, 7z 0,83( )( 2 ) 0,83( 2 2 )( 4 4 ) 0,83(3 2 )(5 4 ) ff b) iii) Stasjonær og transient forsterking: Finner stasjonær forsterking når z går mot. Dvs at z - også går mot. ffstasj = 2,5 8,3 + 6,7 = 0,9 Finner transient forsterking når z går mot uendelig. Dvs at z - går mot 0. = 2,5 8, , 7 0 = 2,5 fftrans b) iv) Differenslikning:

5 Løsningsforslag til eksamen i EDT2T Styresystemer og reguleringsteknikk 27/5-203 s.5 av 2 u u H FF = 2,5 8,3z + 6, 7z = uten indekser blir = 2,5 8,3z + 6, 7z v v 2 FF 2 FF 2 2 k = (2,5 8,3 + 6, 7 ) = 2,5 k 8,3 k + 6, 7 k = 2,5 k 8,3 k + 6, 7 k 2 u z z v v vz vz v v v Innsatt indekser: uffk = 2,5vffk 8,3vffk + 6, 7vffk 2 Sidesprang: Innsvingningsløp for nivået ved et sprang i utløpet ved t=200. PID med p=2,24 Ti=8,7 og Td=4,5. Forskjellige foroverkoplinger. PDff med pff=0,83. PDff har i tillegg Td=3,0 og = PDff Bare Pff 0.42 Ideell FF Uten FF Tid [sekunder] Den idelle foroverkoplinga fungerer best, men vanlig PD i foroverkoplinga fungerer også bra. I dette tilfellet er derivasjonstida valgt lik summen av tidskonstantene for den ideelle foroverkoplinga, dvs + 2 = 3 [sek]. Maks D-forsterking på =0 er brukt. P-forsterkinga er lik den ideelle forsterkinga på 0,83. Resultatet om D-delen droppes og det bare er P i foroverkoplinga gir også et mye bedre innsvingningsforløp enn uten foroverkopling. For ulineære systemer er det ikke alltid like enkelt å finne en god foroverkopling som virker bra ved mange forskjellige arbeidspunkt. Det blir som oftest en innstilling som er langt fra ideell, men som passer bra ved flere arbeidspunkt. Oppgave 2 (26%) a) Total massebalanse stasjonært: q0 + q20 = q0 () Massebalanse fast stoff stasjonært: cq 0 = cq 0 0 (2) Fra (2): q cq 3 0,05 0,75 m 0,875 0, 2 min = = = c

6 Løsningsforslag til eksamen i EDT2T Styresystemer og reguleringsteknikk 27/5-203 s.6 av 2 Fra (): 3 m q20 = q0 q0 = 0,5625 min Reguleringsventiler stasjonært: q0 q0 = u 0 u0 = = 8,0mA q = = = 2 q u u 8,0mA De faktiske verdiene på u og u 2 blir 8mA+4mA = 2mA b) Dynamiske massebalanser Total massebalanse: dh A = q + q q h = ( q + q q) = f dt A 2 2 Massebalanse fast stoff: ( ) d cah = cq cq dt cah + Ahc = c q cq Setter inn fra likn.(3): ( + 2 ) c q q q + Ach = c q cq c = ( c q cq cq ) = f Ah 2 2 (3) (4) (5) (6) c) Linearisering

7 Løsningsforslag til eksamen i EDT2T Styresystemer og reguleringsteknikk 27/5-203 s.7 av 2 h = ( q+ q2 q) = 0,25 ( q+ q2 q) (Denne likninga var lineær i utgangspunktet) A f f f f c = h+ c+ q + q h c q q f2 h a a a a a 2 a = ( cq 0 cq 0 0 cq 0 20 ) = 0 Ah 2 0 f2 = ( q0 + q20 ) = 0,75 = 0,0325 c Ah 83 f2 q f q 2 a 0 c c Ah 0 = = = c Ah 0 0 = = = 2 a 0 Dermed får vi: 0, 2 0, , , , ( ) c = c+ q q 3 0 3, 25 6, 25 2, d) Blokkdiagram nivå: Blokkdiagram konsentrasjon: e) Tidskonstant konsentrasjon Tidskonstanten for konsentrasjons-dynamikken finner vi ved å se på transferfunksjonen mellom f.eks Δq og Δc. Denne finner vi med utgangspunkt i blokkdiagrammet på forrige side:

8 Løsningsforslag til eksamen i EDT2T Styresystemer og reguleringsteknikk 27/5-203 s.8 av , 25 0, 2 hcq ( s) = 6, 25 s = = 3 3, , s + 32s + s Av denne transferfunksjonen ser vi at tidskonstanten blir 32 min. f) ivåregulering m/foroverkopling Vi må først tegne opp blokkdiagram for foroverkoplingen ut fra nivådynamikken. Vi trenger ikke ta med hele reguleringssløyfa: Ut fra dette blokkdiagrammet ser vi: hhh = 0 (ideelt) m F v2 + Ts = = + ( ) 2 τ 2s 0,02s hf e, 33 0,s e hh m v2 2 Denne funksjonen er ikke direkte realiserbar av to grunner: Teller av høyere grad enn nevner Funksjonen inneholder «spåmann» Men funksjonen gir grunnlag for følgende forslag til foroverkopling: + 0,2s PD: hf ( s) =, ,02 s ( s) P: h =, 33 F

9 Løsningsforslag til eksamen i EDT2T Styresystemer og reguleringsteknikk 27/5-203 s.9 av 2 Oppgave 3 ( 25%) Utstyr: To magnetventiler, Y og Y2 En varmekolbe, kontaktor Termostat, over 60 grader ivåsensorene B og B2 En motor, M, kjører vasketrommelen når kontaktor 2 er lagt inn. Startbryteren er bestykket med en kontakt av type O og stoppbryteren med en kontakt av typen C. obling mot I/O er vist i figuren. S0(X0) - stopp H0(Y4) - drift S(X) - start H(Y5) - stopp B(X2) Høyt nivå Y(Y) Vann B3(X4) Temperatur B2(X3) Lavt nivå Y2(Y2) Utløp M 2(Y3) Vaskemotor (Y0) Varmekolbe Figur år startknappen aktiveres skal driftslampa lyse og fylling av vann skal starte. Driftslampa skal lyse helt til vaskingen er ferdig og maskina er tømt og klar for ny start. år sensor for høyt nivå (B) er aktivert skal varmekolben kobles inn slik at vannet varmes opp samtidig som det vaskes. Vaskingen foregår ved at vaskemaskinmotoren vekselvis går i 20 sekunder og står i ro i 0 sekunder. Vaskingen skal pågå så lenge vannet er under oppvarming, når vanntemperaturen har nådd 60 grader skal vaskingen avsluttes og vannet tappes ut mens motoren går. For å være sikker på at maskina er tom skal utløpet holdes åpen 0 sekunder etter at det er registrert lavt nivå. Deretter er maskina klar for neste vask. Hvis stoppknappen aktiveres før vaskeprogrammet har gjort seg ferdig, skal alle aksjoner avbrytes, maskinen skal tømmes for vann og sekvensprogrammet skal deretter hoppe til startsteget og vente på ny startordre. Driftslampa skal lyse så lenge vaskeprogrammet er aktivt. Hvis stoppknappen aktiveres under vasking skal driftslampa slukke og stopplampa blinke med Hz helt til sekvensprogrammet har hoppet til startsteget for å vente på ny startordre. Da skal begge lampene være slukket. a) Sekvensielt funksjonsdiagram (SFC) for styring av vaskemaskinen.

10 Løsningsforslag til eksamen i EDT2T Styresystemer og reguleringsteknikk 27/5-203 s.0 av 2 0 M0 R R DRIFTSLAMPE av (Y4) BLI STOPPLAMPE (Y5) S - Start (X) M S FYLLIG (Y) DRIFTSLAMPE på (Y4) B - høyt nivå (X2) 2 M2 VARMEOLBE (Y0) VASEMASIMOTOR (Y3) D Vasking i 20 sekunder TC AD 0 sek. er gått (TS2) 60 grader (X4) 3 M3 20 sek. er gått (TS) D VARMEOLBE (Y0) Pause i 0 sekunder TC2 AD 0 sek. er gått (TS2) 60 grader (X4) 20 M20 S0 - Stopp (X0) = S R BLI STOPPLAMPE (Y5) DRIFTSLAMPE av (Y4) 4 M4 VASEMASIMOTOR (Y3) TØMMIG (Y2) B2 - lavt nivå (X3) 5 M5 VASEMASIMOTOR (Y3) TØMMIG (Y2) D Tømming i 0 sekunder TC3 0 sek. er gått (TS3)

11 Løsningsforslag til eksamen i EDT2T Styresystemer og reguleringsteknikk 27/5-203 s. av 2 b) Programmet i ladderdiagram (LD). Det er ikke tatt hensyn til strømbrudd. Global Label Globale variable Class Label ame Data Type Device VAR_GLOBAL Start BOOL X00 VAR_GLOBAL Stopp BOOL X000 VAR_GLOBAL Høytivå BOOL X002 VAR_GLOBAL Lavtivå BOOL X003 VAR_GLOBAL 60_grader BOOL X004 VAR_GLOBAL Varmekolbe BOOL Y000 VAR_GLOBAL VannInn BOOL Y00 VAR_GLOBAL Tømming BOOL Y002 VAR_GLOBAL Vaskemotor BOOL Y003 VAR_GLOBAL LampeDrift BOOL Y004 VAR_GLOBAL LampeStopp BOOL Y005

12 Løsningsforslag til eksamen i EDT2T Styresystemer og reguleringsteknikk 27/5-203 s.2 av 2

13 Løsningsforslag til eksamen i EDT2T Styresystemer og reguleringsteknikk 27/5-203 s.3 av 2 Avkryssingstabell for Oppgave 4 (flervalgsoppgave): I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII a) X X X X b) X X c) X X X X d) X X e)