Frekvensanalyse av likestrømsmotor med diskret regulator og antialiasing filter

Transkript

1 C:\Per\Fag\Styresys\SANNOV\13LØSØV2.wpd Fag SO507E Styresystemer HIST-AFT Feb 2012 PHv Løsning heimeøving 2 Sanntid Revidert sist: 8/2-13 NB! Matlab har vært under endring de siste årene. Mer og mer baserer seg på LTImodeller. Mange metoder som ikke kan bruke LTI-modeller er på vei ut. Det gjelder bl a kommandoene c2dm og dlsim. Disse kommandoene finnes ikke lenger i hjelpeteksten i Help-vinduet, men de finne fortsatt i Matlab. Hjelp kan du få ved å skrive help c2dm og help dlsim i kommandovinduet. I stedet for disse kommandoene er det like greit å bruke LTI-modeller og kommandoene c2d og lsim. Oppgave 1 Frekvensanalyse av likestrømsmotor med diskret regulator og antialiasing filter Den langsomme regulatoren fra heimeøving 1 brukes til å regulere turtallet til en likestrømsmotor. Samplingstida ble funnet til være 0,021 sek. a) Bruk metoden med å analogisere regulatoren: a) Åpen sløyfefunksjon uten filter: Matlab taklet ikke tidsforsinkelser før, men i de siste utgavene av Control Toolbox finnes det en datastruktur som heter LTI-modell som takler tidsforsinkelser. Simulink takler også tidsforsinkelser. Ingen normale Matlab-kommandoer tar tidsforsinkelser som argument, men kommandoene som brukes på LTI-modeller som f eks tf, ss, zpk kan utvides med tidsforsinkelse. Normalt er det derfor nødvendig å bruke en Padèapproksimasjon i stedet for tidsforsinkelsen. Siden prosessen her er av tredje orden kan vi klare oss med en første ordens Padè-approksimasjon. (Tidsforsinkelsen er lenger enn den tredje lengste tidskonstanten, så vi klarer oss ikke med å erstatte tidsforsinkelsen med en enkel tidskonstant.) Når vi bruker Matlab til å gjøre beregningene for oss kan vi godt bruke en Padè-approksimasjon av høyere orden enn vi ville brukt ved handrekning. I

2 Løsningsforslag heimeøving 2 i Sanntid 2 eksempelet under er det brukt 3. ordens Padè-approksimasjon. Det er tre forskjellige metoder du kan bruke. 1) Direkte i Matlabs kommando-vindu med LTI-strukturer. 2) Direkte i Matlabs kommando-vindu eller med de samme kommandoene i ei tekstfil på tradisjonelt vis. 3) Ved hjelp av Simulink og phlinmod. 1) Med LTI-strukturer: >> a=tf([2],[ ],'iodelay',0.0365) 2 exp(-0.036*s) * s^ s + 1 >> b=tf([1.1],[0.02 1]) s + 1 >> c=a*b 2.2 exp(-0.036*s) * s^ s^ s + 1 >> bode(c); NB! phbode virker ikke direkte med en LTI-modell. Du må bruke vanlig bode som vist over. Derimot kan du hente ut verdiene fra LTI-modellen manuelt og bruke dem i phbode: >> phbode(c.num{1},c.den{1},'tau',c.iodelay);

3 Løsningsforslag heimeøving 2 i Sanntid 3 Av figuren ser vi at fasekryssfrekvensen, ù = 8 db = 2, = 22 rad/sek og forsterkingsmarginen, ÄK 2) Kommandoer samla i ei tekstfil: NB! phbode tar tidsforsinkelse direkte sjøl om det ikke er gjort her. F eks phbode([2],[1 2 1], tau,0.5); %STov1a1 clf; %Opptegning av bodediagram med analogisert regulator: %Motor og likeretter uten tidsforsinkelsen: [tm,nm]=series([2],[0.03 1],[1],[0.2 1]); %Tidsforsinkelsen totalt (tredje ordens pade-approksimasjon): [ttau,ntau]=pade(0.0365,3); %Turtallsmåler: tml=[1.1]; nml=[0.02 1]; %Åpen sløyfe med Kp=1: [t,n]=series(tm,nm,ttau,ntau); [t,n]=series(t,n,tml,nml); %Opptegning i bodediagram med phbode uten filter: phbode(t,n); Bodediagrammet blir som vist over. 3) 1) Ved hjelp av Simulink: Simulinkmodellen er kalt: ov2_1a.mdl Fra Matlabs kommandovindu: [t,n,z,p]=phlinmod('ov2_1a') phbode(t,n); Bodediagrammet blir som vist for første alternativ. b) Åpen sløyfefunksjon med antialiasing-filter:

4 Løsningsforslag heimeøving 2 i Sanntid 4 M-fila blir nå når vi tegner opp åpen sløyfefunksjon både med og uten filter for sammenlikningas skyld: 1) Med LTI-strukturer: >> a=tf([2],[ ],'iodelay',0.0365); >> b=tf([1.1],[0.02 1]); >> e=tf([1],[ ]) s^ s + 1 >> f=a*b*e 2.2 exp(-0.036*s) * e-008 s^ e-006 s^ s^ s^ s + 1 >> bode(f); NB! phbode virker ikke direkte med en LTI-modell. Du må bruke vanlig bode som vist over. Derimot kan du hente ut verdiene fra LTI-modellen manuelt og bruke dem i phbode: >> phbode(f.num{1},f.den{1},'tau',f.iodelay); Av figuren ser vi nå at fasekryssfrekvensen med filter er redusert, ù forsterkingsmarginen med filter er redusert, ÄK = 5 db = 1, = 17 rad/sek og

5 Løsningsforslag heimeøving 2 i Sanntid 5 2) Kommandoer samla i ei tekstfil: %STov1a2 clf; %Opptegning av bodediagram med analogisert regulator: %Motor og likeretter uten tidsforsinkelsen: [tm,nm]=series([2],[0.03 1],[1],[0.2 1]); %Tidsforsinkelsen totalt (tredje ordens pade-approksimasjon): [ttau,ntau]=pade(0.0365,3); %Turtallsmåler: tml=[1.1]; nml=[0.02 1]; %Åpen sløyfe med Kp=1: [t,n]=series(tm,nm,ttau,ntau); [t,n]=series(t,n,tml,nml); %Opptegning i bodediagram med phbode uten filter: phbode(t,n); %Inkluderer filteret; d=0.707; w0=47.6; %[t,n]=series(t,n,[1],[1/(w0^2) 2*d/w0 1]); [t,n]=series(t,n,[1],[ ]); hold on; phbode(t,n); title('frekvensanalyse med og uten 2. ordens filter'); 3) Ved hjelp av Simulink: Simulinkmodellen her er kalt: ov2_1b.mdl Fra Matlabs kommandovindu: [t,n,z,p]=phlinmod('ov2_1a') phbode(t,n); hold on; [t,n,z,p]=phlinmod('ov2_1b') phbode(t,n); Bodediagrammet blir som vist forførste alternativ. c) Sammenlikning med og uten filter: Filteret fører til at fasekryssfrekvensen reduseres og at forsterkingsmarginen reduseres. Resultatet er at sløyfa blir tregere med filter enn uten. Vi må ha med antialiasing-filteret. Resultatene våre ville blitt feil om vi bare hadde kutta ut antialiasing-filteret fra utrekningene.

6 Løsningsforslag heimeøving 2 i Sanntid 6 d) Anbefalte innstillinger for PI-regulator etter Ziegler-Nichols tommelfingerregler: Fra b): K k = ÄK = 1,8 og T k = 2ð/ù 180 = 2ð/17 = 0,37 [sek] K = K * 0,45 = 1,8 * 0,45 = 0,8 i p k k T = T * 0,85 = 0,37 * 0,85 = 0,31 [sek] e) (Ikke spurt om:) Sprangresponsen ved et sprang i referansen med PI-regulatoren: Med Simulink: Det kan også gjøres fra Matlabs kommandovindu: %Stov1b %Forutsetter at STov1a2 kjøres først clf; %sprangrespons med PI-regulator: kp=0.85; ti=0.31; tr=[kp*ti kp]; nr=[ti 0]; %Åpen sløyfefunskjon: [tmr,nmr]=series(t,n,tr,nr); %Følgeforholdet: [tc,nc]=cloop(tmr,nmr); step(tc,nc); title('sprangrespons med filter og PI-regulator'); grid;

7 Løsningsforslag heimeøving 2 i Sanntid 7 Som vi ser blir innsvingningsforløpet sånn omtrent minimum areal. I Simulink er det enkelt å simulere med digital regulator direkte. Her er filteret satt i tilbakekoplinga. Det er kanskje litt mer rett enn det som er gjort i kommandofila over hvor filteret er satt i direktefunksjonen. Legg merke til at her er det brukt en digital regulator med samplingstid, h = 0,0215 sek. Tidsforsinkelsen for prosessen er nå bare 0,005 sek. På figuren under er både sprangresponsen for regulaeringssløyfa med den analoge regulatoren og ekstra tidsforsinkelse tekna opp sammen med responsen for den digitale regulatoren med tidforsinkelsen til prosessen. Som du ser er det vedlig liten forskjell på de to kurvene.

8 Løsningsforslag heimeøving 2 i Sanntid 8 Oppgave 2 Z-planet og pulstog u(k) er et pulstog hvor alle u(k)=1 for alle k 0 og u(k)=0 ellers. Bruker Matlab og dlsim til å rekne ut verdiene for y(k) for 0 k<8:» u=[1,1,1,1,1,1,1,1]; >> BlokkZ2=tf([1],[1-0.7],1);» y=lsim(blokkz2,u) y = Bruker Matlab til å plotte verdiene (Matlab antar holding på utgangen): lsim(blokkz2,u)

9 Løsningsforslag heimeøving 2 i Sanntid 9 Oppgave 3 Z-planet og pulstog Må først gjøre om differenslikningene til overføringsfunksjoner i z-planet for å få brukt dlsim i Matlab. Denne omgjøringa er ganske enkel om man bruker forskyvingssatsen: -n u(k-n) = u(k)*z dvs u(k-1) = u(k)*z, u(k-2) = u(k)*z, u(k-3) = u(k)*z osv a) Matlabkommandoer: u=[ ]; BlokkZ3a=tf([1],[1 1],1); y=lsim(blokkz3a,u) For å slippe å få alle tallene under hverandre i ei kolonne og i stedet få dem på ei rekke brukes transponering av y: x=y' x = lsim(blokkz3a,u)

10 Løsningsforslag heimeøving 2 i Sanntid 10 b) u=[ ]; BlokkZ3b=tf([1 1 1],[ ],1); y=lsim(blokkz3b,u); x=y' x = lsim(blokkz3b,u);

11 Løsningsforslag heimeøving 2 i Sanntid 11 c) u=[ ]; BlokkZ3c=tf([ ],[1 0 0],1); y=lsim(blokkz3c,u); x=y' x = Columns 1 through Columns 8 through y=lsim(blokkz3c,u); d)» u=[ ];» [y]=dlsim([1 0],[1-1 -1],u);» x=y' u=[ ]; BlokkZ3d=tf([1 0],[1-1 -1],1); y=lsim(blokkz3d,u); x=y' x = lsim(blokkz3d,u);

12 Løsningsforslag heimeøving 2 i Sanntid 12 Oppgave 4 Fra s-planet til z-planet Bruker Matlab-kommandoen c2dm med 'zoh' til å finne H(z) for hver av blokkene under. a) Samplingsintervall 1 sek >> sys4a=tf([3],[1 1]) s + 1 >> sys4az=c2d(sys4a,1,'zoh') %Her er det satt inn samplingstid lik 1 sys4az = z Sample time: 1 seconds Discrete-time transfer function. b) Samplingsintervall 0,5 sek sys4b=tf([3],[1 1]); sys4bz=c2d(sys4b,0.5,'zoh') %Her er det satt inn h lik 0,5 sys4bz = z Sample time: 0.5 seconds

13 Løsningsforslag heimeøving 2 i Sanntid 13 c) Samplingsintervall 2 sek sys4c=tf([3],[2 4]); sys4cz=c2d(sys4c,2,'zoh') %Her er det satt inn h lik 2 sys4cz = z Sample time: 2 seconds Discrete-time transfer function. d) Samplingsintervall 0,1 sek sys4d=tf([3],[1 0 0]); sys4dz=c2d(sys4d,0.1,'zoh') %Her er det satt inn h lik 0.1 sys4dz = z z^2-2 z + 1 Sample time: 0.1 seconds e) Samplingsintervall 0,5 sek sys4e=tf([4],[1 0 9]); sys4ez=c2d(sys4e,0.1,'zoh') %Her er det satt inn h lik 0.1 sys4ez = z z^ z + 1 Sample time: 0.5 seconds f) Samplingsintervall 1 sek sys4f=tf([5],[5 2 0]); sys4fz=c2d(sys4f,0.1,'zoh') %Her er det satt inn h lik 0.1 sys4ez = z z^ z Sample time: 1 seconds

14 Løsningsforslag heimeøving 2 i Sanntid 14 g) Samplingsintervall 1 sek sys4g=tf([3 5 3],[1 1 1]) 3 s^2 + 5 s s^2 + s + 1 sys4gz=c2d(sys4g,1,'zoh') 3 z^ z z^ z Sampling time: 1